100 bài toán hình học ôn tập tốt nghiệp THCS

MOÄT TRAÊM BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC OÂN TAÄP TOÁT NGHIEÄP THCS(04-05)
Baøi 1 : Ñöôøng troøn (O,R) coù AB laø ñöôøng kính daây MN = R( Mvaø N thuoäc nöûa ñöôøng troøn theo thöù tö A, M ,N ,B).Goïi S laø giao ñieåm cuûa AM vaø BN, H laø giao ñieåm cuûa BM vaø AN
a)Tính soá ño cung MN.
b)Tính soá ño caùc goùc ASB , MHN.
c)Chöùng minh SMHN noäi tieáp .
d) Chöùng minh: SH.
 e) Goïi I laø trung ñieåm SH. Chöùng minh IM laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O).
Baøi 2 Cho hình veõ : Bieát noäi tieáp (O) coù AK , CE , BF laø ba ñöôøng cao , AD laø ñöôøng kính cuûa (O) , AK caét (O) taïi M (khaùc A ). xy laø tieáp tuyeán taïi A cuûa (O)
a) Tìm vaø chöùng minh ba töù giaùc coù ñænh laø H noäi tieáp ñöôùng troøn .
 b)Tìm vaø chöùng minh ba töù giaùc coù caïnh laàn löôït laø ba caïnh cuûa tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôùng troøn .
c) Chöùng minh :
 BH = BM ; HE = NE
d) Chöùng minh : EF//NP// xy .
d) Chöùng minh BHCD laø hình bình haønh .
e) Chöùng minh BMDC laø hình thang caân .
Baøi 5 : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O) (AB < AC ) AH ; AK laàn löôït laø ñöôøng cao vaø phaân giaùc cuûa tam giaùc ABC , AI caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai laø K ( K khaùc A ) 
a) Chöùng minh : BK = CK.
b) Chöùng minh AK laø phaân giaùc cuûa OÂH
c) Keû ñöôøng kính AD cuûa ñöôøng troøn (O) .Chöùng minh : AB.AC = AH.AD .
d) Chöùng minh : IA.I K = IB.IC .
 vaø AB.KC = AK.BI .
e) Chöùng minh KB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABI.
Baøi 6: 
Cho ñöôøng troøn (O; R) , Vôùi caùc kí hieäu coù treân hình haõy chöùng minh:
 a)Töù giaùc CAIM , BDMI noäi tieáp .
 b)Tam giaùc CID vuoâng .
 c)EF // AB .
 d)Khi M coá ñinh I thay ñoåi treân AO , tìm vò trí cuûa I ñeå AC .BD lôùn nhaát .
 e) Cho bieát khi OI = vaø AM = R .Haõy tính ñoä daøi ñoaïn thaúng CD vaø dieän tích tam giaùc CID theo R .
Baøi 9 : Cho ñöôøng troøn (O ;R ) vaø ñieåm M sao cho OM = 2R . Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB vôùi ñöôøng troøn (O) ( A , B thuoäc (O) ). C laø ñieåm baát kì thuoäc cung nhoû AB .Tieáp tuyeán taïi C caét MA vaø MB laàn löôït taïi E vaø F . 
a)Chöùng minh : EF = EA + FB .
b) Tính chu vi cuûa tam giaùc MEF theo R .
c) Tính E Ô F .
c) Goïi I vaø K laàn löôït laø giao ñieåm cuûa OE vaø OF vôùi AB .Chöùng minh boán ñieåm F , I , O ,B cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .
d) Khi Sñ cung BC baèng 900 ,Tính ñoä daøi EF vaø dieän tích tam giaùc OIK theo R.
Baøi 10 : Cho ñöôøng troøn (O ; R ) coù AB laø ñöôøng kính Treân hai nöûa khaùc nhau cuûa ñöôøng troøn ta laáy hai ñieåm M vaø N sao cho AM = R ; AN = R.Caùc ñöôøng thaúng AM vaø AN caét tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn ôû C vaø D . Chöùng minh
a) AM.AC = AN.AD .
b)Töù giaùc MNDC noäi tieáp .
c) Goïi MK , NI , AJ laø ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc AMN .Tính soá ño goùc vaø ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc KIJ.
Baøi 13 :Cho đường tròn tâm (O;R) có AB và CD là hai đường kính vuông góc nhau .I là một điểm nằm trên OB sao cho OI = . Đường thẳng CI cắt đường tròn tại E và cắt BD tại K. Đường thẳng AE cắt CD tại F .Chứng minh: 
a)Töù giaùc OIED noäi tieáp vaø tính CI.CE theo R .
c)Chöùng minh I laø troïng taâm cuûa tam giaùc CBD töø ñoù tính KE.KC theo R .
d)Chöùng minh F laø trung ñieåm cuûa OD.
e)Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACE theo R. 
f)Trong tröôøng hôïp I thay ñoåi treân OB chöùng minh dieän tích töù giaùc CAFI khoâng ñoåi.
Baøi 14 :
Vôùi hinh veõ treân cho bieát : MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (O) , CI AB ;CK MA ; CD MB 
Tìm vaø chöùng minh boán töù giaùc noäi tieáp coù trong hình veõ.
Chöùng minh CK .CD = CI2..
Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø KI , E laø giao ñieåm BC vaø ID .Chöùng minh töù giaùc CHIE noäi tieáp .
Chöùng minh EH // AB.
Chöùng minh :.
Baøi 17 :Cho nöûa ñöôøng troøn (O) coù ñöôøng kính AB .Töø A ,B veõ hai tieáp tuyeán Ax vaø By .Qua moät ñieåm M thuoäc nöûa ñöôøng troøn naøy ,keû tieáp tuyeán thöù ba caét caùc tieáp tuyeán Ax ,By taïi E vaø F 
a) Chöùng minh töù giaùc AEMO noäi tieáp . 
b) AM caét OE taïi P ,BM caét OF taïi Q.Töù giaùc MPOQ laø hình gì ?
c)Chöùng minh: OP.OE = OQ.OF vaø AE.BF = R2
d) Keû MH vuoâng goùc AB ,Klaø giao ñieåm MH vaø EB .So saùnh MK vaø HK.
e) Cho AB= 2R vaø r laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc EOF .Chöùng minh :
Baøi 18 :Cho nöûa ñöôøng troøn (O; R) coù ñöôøng kính AB,keû tieáp tuyeán Bx vôùi nöûa ñöôøng troøn ,C laø ñieåm treân nöøa ñöôøng troøn sao cho cung AC baèng cung CB .Treân cung CB laáy ñieåm D tuøy yù ( D khaùc C vaø B ) .Caùc tia AC vaø AD caét Bx laàn löôït taïi E vaø F . Chöùng minh:
a)Tam giaùc ABE vuoâng caân .
b)Töù giaùc CEFD noäi tieáp .
c)Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn ,D di ñoäng treân cung CB thì AC.AE= ADAF vaø coù giaù trò khoâng ñoåi .
d) Khi Sñ cung CD baèng 600 vaø K thuoäc tia DA sao cho DK = DB .Tính dieän tích AKB vaø chu vi cuûa töù giaùc CDFE theo R.
Baøi 21 : Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät daây cung AB .Treân tia AB laáy moät ñieåm C naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Töø ñieåm chính giöõa P cuûa cung lôùn AB ke ûñöôøng kính PQ caét daây AB taïi D .Tia CP caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai I .Caùc daây AB vaø QI caét nhau taïi K .Chöùng minh
a)Töù giaùc PDKI noäi tieáp .
b)CI.CP = CK.CD 
c)IC laø tia phaân giaùc cuûa goùc ngoaøi ñænh I cuûa tam giaùc AIB.
 d) Khi A , B ,C coá ñònh ñöôøng troøn (O) thay ñoåi nhöng vaãn ñi qua A ,B thì ñöôøng thaúng QI luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh .
Baøi 22:Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø moät ñöôøng thaúng d caét (O) taïi C vaø D .Moät ñieåm M di ñoäng treân d sao cho MC < MD vaø ôù ngoaøi ñöôøng troøn (O) .Qua M keû hai tieáp tuyeán MA vaø MB .Goïi H laø trung ñieåm cuûa CD vaø giao cuûa OM , d , OH vôùi AB laàn löôït laø I , E vaø F .
Chöùng minh :
a) Caùc töù giaùc MIHF ; OHEI noäi tieáp .
b) MA2 = MCMD vaø MC.MD = MI.MO
c) FI . EI = vaø OH .OF = OI.OM
d)Ñöôøng thaúng AB ñi qua ñieåm coá ñònh .
Baøi 25 : 
Cho ñöôøng troøn (O ,R ) coù AB laø ñöôøng kính ,C vaø D laø hai ñieåm naèm treân hai nöûa ñöôøng troøn khaùc nhau sao cho AC = R vaø OD AB .Tính
a)Soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ACE vaø tam giaùc ACD
b)Ñoä daøi caùc caïnh cuûa töù giaùc ACDB theo R
c) Ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng AE ,CE , BE , CD theo R .
d) Dieän tích tam caùc tam giaùc ACE vaø CDB.
Baøi 26 :
Cho ñöôøng troøn (O,R ) coù OM laø baùn kính . BC laø daây cung trung tröïc cuûa OM .A laø moät ñieåm baát kyø treân cung lôùn BC .Goïi AD , BE , CF laø ba ñöôøng cao caét nhau taïi H . 
a) Chöùng minh töù giaùc BOCM laø hình thoi .
b) Tính soá ño caùc goùc BAC vaø BHC .
c)Chöùng minh tam giaùc MOH caân .
d)Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BHO
e) Goïi K laø trung ñieåm HC .Chöùng minh töù giaùc EFDK noäi tieáp .
f)Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc EFD
Baøi 29 :Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O, R ) .Caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc keû töø caùc ñænh A , B , C ñoàng quy taïi S vaø laàn löôït caét ñöôøng troøn taïi Q , P , R .
a)Chöùng minh Q caùch ñeàu caùc ñænh cuûa tam giaùc BSC.
b) Goïi E vaø F laàn löôït laø giao ñieåm cuûa RP vôùi AB vaø AC .Chöùng minh AQ vuoâng goùc RP; Ñieåm S goïi laø gì trong tam giaùc QRP?
c)Goïi I laø giao ñieåm cuûa RQ vaø AB , J laø giao ñieåm cuûa PQ vaø AC Chöùng minh töù giaùc ARIS noäi tieáp .
d) Chöùng minh ba ñieåm I , S , J thaúng haøng .
Baøi 30 :
Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) AD , AM laàn löôït laø ñöôøng cao vaø trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC , d laø trung tröïc cuûa ñoaïn BC. Chöùng minh
a) Neáu H laø giao ñieåm cuûaAD vôùi ñöôøng thaúng noái O vaø troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC thì H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC.
bNeáu G laø giao ñieåm cuûa AM vôùi ñöôøng thaúng noái O vaø tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC thì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC
Baøi 33 :Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø moät daây cung AB khoâng qua taâm .Caùc tieáp tuyeán taïi A vaø B cuûa ñöôøng troøn (O) caét nhau taïi C .Goïi P laø ñieåm treân daây AB sao cho AP = 2 BP.Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi OP keû töø P caét ñöôøng thaúng CA ôû E vaø caét ñöôøng thaúng CB ôû D .
1)Chöng minh:
Caùc töù giaùc OPDB , OPAE noäi tieáp .
P laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng DE .
CE.CD = CA2 - AE2
2) Cho bieát AB = R .Tính dieän tích tam giaùc EOC theo R .
Baøi 34 : Cho ñöôøng troøn ( O,R ) ,ñöôøng thaúng d khoâng qua O caét ñöôøng troøn taïi hai ñieåm A vaø B .Töø moät ñieåm C treân d ( C naèm ngoaøi ñöôøng troøn ) ,keû hai tieáp tuyeán CM vaø CN ( M vaø N thuoäc (O) ) .GoÏi H laø trung ñieåm AB ,ñöôøng thaúng OH caét tia CN taïi K.Ñoaïn thaúng CO caét (O) taïi I . Chöùng minh:
1) C,O,H ,N cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.
2) KN.KC= KH.KO
3) I caùch ñeàu CM , CN , MN
4) Moät ñöôøng thaúng qua O song song MN caét tia CM vaø CN taïi E vaø F .Xaùc ñònh vò trí C treân d ñeå dieän tích tam giaùc CEF nhoû nhaát .
Baøi 37: Cho ñöôøng troøn (O,R) , Mlaø moät ñieåm sao cho OM = 2R .Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A , B thuoäc (O) ) . Ñöôøng thaúng MO caét ñöôøng troøn taïi E vaø F ( ME < MF ) .
1) Chöùng minh : 
a)MO laø trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vaø E 
 caùch ñeàu ba caïnh cuûa tam giaùc MAB.
b)Tam giaùc MAB ñeàu .Tính dieän tích ΔMAB.
c)MA = AF vaø töù giaùc MAFB laø hình thoi .
2) Goïi C laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua O .Ñöôøng thaúng MC caét AB taïi S . Chöùng minh dieän tích hình troøn ngoaïi tieáp ΔMBS gaáp ba laàn dieän tích hình troøn ngoaïi tieáp ΔASC .
Baøi 38.1: Cho ñöôøng troøn (O,R) , Mlaø moät ñieåm sao cho OM = 3R .Qua M veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB ( A , B thuoäc (O) ) . Tia ñoái cuûa tia MO caét ñöôøng troøn taïi C . Goïi D laø trung ñieåm MA ,ñöôøng thaúng MO laàn löôït caét AB vaø BD taïi I vaø G .Tính 
Ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc MAB
Ñoä daøi caïnh C A .
Ñoä daøi ñoaïn thaúng CD vaø dieän tích caùc tam giaùc MDC , DGC , DBC 
Tæ soá dieän tích hai tam giaùc DAK vaø BCK (Vôùi K laø giao ñieåm CD vaø AB )
Baøi 38.2 : Xaùc ñònh caùc goùc B vaø C cuûa tam giaùc vuoâng ôû A bieát BC= 2 vaø dieän tích tam giaùc ABC laø 
Baøi 41: Cho hai ñöôøng troøn taâm O ,hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc nhau , goïi I laø trung ñieåm cuûa OA .Qua I veõ daây cung MQ vuoâng goùc vôùi OA ( .Ñöôøng thaúng vuoâng goùc MQ taïi M caét ñöôøng troøn (O) taïi P. 
Chöùng minh raèng :
 a)Töù giaùc PMIO laø hình thang vuoâng .
 b) Caùc ñieåm P, O ,Q thaúng haøng .
2) Goïi S laø fgiao ñieåm cuûa AP vaø CQ .Tính soá ño goùc CSP.
3) Goïi H laø giao ñieåm cuûa AP vaø MQ .Chöùng minh raèng :
 a) MH.MQ = MP2
 b) MP laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc QHP.
Bài 42: Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C. Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB là hình thang cân. 
b) MA . MB = R2. 
c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 . 
d) Cho bieát : OA = 2R , Tính SMBCN theo R.
Bài 45 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O) và (O’) về phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O), (O’) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. 
1) Chứng minh IA vuông góc với CD. 
2) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. 
3) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. 
Bài 46 : Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
c) Chứng minh : OK.OS = R2.
Baøi 49 ( Ñeà thi toát nghieäp 04 -05 - Ñaø Naüng)
Cho hình vuoâng ABCD ,goïi E laø trung ñieåm cuûa AD .Noái B vôùi E .Ñöôøng thaúng qua E vuoâng goùc vôùi EB caét CD taïi F . Chöùng minh :
a) Töù giaùc CBEF noäi tieáp ñöôïc trong moät ñöôøng troøn .Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn ñoù .
b) ED laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I 
c) BE = 2 EF .
d) FE laø phaân giaùc cuûa goùc DFB .
Baøi 50 : ( Ñeà thi toát nghieäp 04 -05 - Haø noäi )
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A .Laáy ñieåm M tuøy yù naèm giöõa A vaø B .Ñöôøng troøn ñöôøng kính BM caét ñöôøng thaúng BC taïi ñieåm thöù hai laø E . Caùc ñöôøng thaúng CM vaø AE laàn löôït caét ñöôøng troøn taïi caùc ñieåm thöù hai laø H vaø K 
1) Chöùng minh : 
Töù giaùc AMEC laø töù giaùc noäi tieáp 
Goùc ACM baèng goùc KHM.
Caùc ñöôøng thaúng BH , EM , vaø AC ñoàng qui.
2) Giaû söû AC< AB ,haõy xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå töù giaùc AHBC laø hình thang caân .
Baøi 53: (Phoûng theo baøi taäp baùo Toaùn hoïc vaø tuoåi treû)
Goïi A vaø B laø caùc giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (O,R ) vaø ( O’; R’) .Treân nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng OO’ vaø coù chöùa ñieåm B veõ T T’laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ( T thuoäc (O) vaø T’thuoäc (O’) ) .Goïi I laø giao ñieåm cuûa AB vaø TT’.Chöùng minh 
OO’ vuoâng goùc AB .
IT2 = IB .IA suy ra I laø trung ñieåm TT’
SOIO’ = S OO’T’T
B laø troïng taâm cuûa tam giaùc ATT’ khi vaø chæ khi OO’ = ( R + R’ ) 
Baøi 54: (Phoûng theo baøi taäp baùo Toaùn hoïc vaø tuoåi treû)
Cho hình vuoâng ABCD .Treân caïnh BC vaø CD laáy hai ñieåm töông öùng M vaø N sao cho MÂN = 450 , BD caét AM vaø AN taïi I vaø K .Chöùng minh 
1).Chöùng minh 
a)Töù giaùc AIND noäi tieáp ñöôøng troøn suy ra NI 
b) AK .AN = AI.AM 
2) Goïi H laø giao ñieåm cuûa NI vaø MK .Tính 
3) Chöùng minh SΔCIK = SMNIK
Baøi 57 :( Ñeà thi HSG 03 -04- Tænh Thöøa Thieân – Hueá - Voøng 1 ) 
Cho tam giaùc ABC nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O ,goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,H laø tröïc taâm tam giaùc ABC vaø K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân caïnh BC.
Tính ñoä daøi AK vaø dieän tích tam giaùc ABC bieát raèng OM= HK = vaø AM = 30cm.
Baøi 58: :( Ñeà thi HSG 03 -04- Tænh Thöøa Thieân – Hueá - Voøng 2 ) 
Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O , goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC ,M laø ñieåm treân ñoaïn CI ( M khaùc C vaø D ) ,ñöôøng thaúng AM caét ñöôøng troøn (O) taïi D .Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AMI taïi M caét caùc ñöôøng thaúng BD ,DC taïi P vaø Q .
1)Chöùng minh DM.IA = MP.IB
2) Tính tæ soá 
Baøi 61: (Ñeà thi tuyeån vaøo lôùp 10 , 95 -96 Thaønh phoá Hoà Chí Minh)
Cho hình vuoâng ABCD coá ñònh caïnh a .Ñieåm E di chuyeån treân caïnh CD ( E D ) Ñ öôøng thaúng AE caét ñöôøng thaúng BC taïi F ,ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AE taïi A caét ñöôøng thaúng CD taïi K .
1)Chöùng minh ΔABF = ΔADK ,suy ra ΔAKF vuoâng caân
2)Goïi I laø trung ñieåm cuûa FK .Chöùng minh laøtaâm ñöôøng troøn qua A ,C ., F ,K vaø I di chuyeån 
treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh khi E di ñoäng treân CD.
3)Chöùng minh töù giaùc ABFI noäi tieáp ñöôïc .
4) Cho DE = x (0 < x ) .Tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa ΔAEK theo a vaø x .
5) Haõy chæ ra vò trí cuûa E ñeå EK ngaén nhaát .
Baøi 62: (Ñeà thi tuyeån vaøo lôùp 10 , 02 -03 tröôøng Leâ Quyù Ñoân , Ñaø Naüng )
Cho ñöôøng troøn taâm O vaø moät daây cung AB cuûa ñöôøng troøn ñoù .Caùc tieáp tuyeán veõ töø A vaø B cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi C .Keû daây CD cuûa ñöôøng troøn taâm I coù ñöôøng kính OC .(D khaùc A vaø B ) .CD caét cung AB cuûa ñöôøng troøn (O) taïi E ( E naèm giöõa C vaø D ) .Chöùng minh :
BÊD = D ÂE vaø DE 2 = DA .DB
Goïi S laø dieän tích töù giaùc AIOB .Chöùng minh 
 OI + AB 2 
 Baøi 65: Cho ΔABC vôùi BC = a , AC = b , AB = a . Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc vaø tieáp xuùc vôùi BC, AC, AB laàn löôït taïi D , E , F .Veõ 
BK AI taïi K vaø AH BI taïi H .
1)Tính AF , DC , B D theo a , b , c .
2) Chöùng minh töù giaùc AEHI noäi tieáp .
3) Boán ñieåm E , H , K , D thaúng haøng .
Baøi 66: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn .Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ,M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa H leân phaân giaùc trong vaø phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A trong tam giaùc ABC.
1) Chöùng minh MN ñi qua trung ñieåm S cuûa AH.
2) Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC ,coøn I ,E laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø AC .Chöùng minh tam giaùc OIE ñoàng daïng vôiù tam giaùc AHB.
3 Chöùng minh ba ñieåm M , I , N thaúng haøng.
4 ) Chöùng minh OI = AH .
Baøi 69 ;Töø moät ñieåm ôû ngoaøi ñöôøng troøn ,veõ hai tieáp tuyeán IA vaø IB ñeán (O) .Goïi M laø trung ñieåm cuûa IB , AM caét (O) taïi A vaø K .
1)Chöùng minh IO vuoâng goùc AB .
2)Goïi C laø giao ñieåm cuûa IO vaø AB
.Chöùng minh hai tam giaùc AKB vaø AMC ñoàng daïng ,suy ra AB2 = 2AK . AM
3)Goïi D laø giao ñieåm thöù hai cuûa IK vaø (O) Chöùng minh MB2 = MK.MA vaø AD // IB .
4 ) Chöùng minh AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng roøn ngoaïi tieáp tam giaùc IKB.
Baøi 70.1:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø ñieåm D treân caïnh BC .Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua AB vaø G laø giao ñieåm cuûa AB vôùi DE .Töø giao ñieåm H cuûa AB vôùi CE haï IH BC taïi ñieåm I .Caùc tia CH vaø IG caét nhau taïi K . Chöùng minh
1)Töù giaùc GHDI vaø BKHI noäi tieáp .
2) KC laø tia phaân giaùc cuûa goùc IKA 
Baøi 70.2:Cho hai ñieåm A vaø B coá ñònh .Ñöôøng troøn taâm O vaø ñöôøng troøn taâm O’ laàn löôït tieáp xuùc AB taïi A vaø B , bieát (O) vaø (O’) caét nhau taïi M vaø N .Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua ñieåm coá ñònh khi hai ñöôøng troøn thay ñoåi 
Baøi 73 ; Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O ; R)coù M , N laø trung ñieåm cuûa AB vaø AC , ñöôøng cao AH .Ñöôøng troøn (I) ngoaïi tieáp tam giaùc AMN 
Chöùng minh O ,I , A thaúng haøng .
Chöùng minh goùc IAC = goùc HAB .
Keû daây AE cuûa (I) song song MN , HE caét MN taïi K .Chöùng minh KM = KN . 
HE caét (I) taïi D . Chöùng minh töù giaùc BHDM noäi tieáp .
Baøi 74 ; Ñöôøng troøn (O) noäi tieáp tam giaùc ABC tieáp taïi caùc ñieåm A’, B’, C’ Ñöôøng thaúng B’C’ caét OA ôû H vaø BC ôû K , AA’ caét OK ôû M .Chöùng minh
Hai tam giaùc OAA’ vaø OA’H ñoàng daïng .
Töù giaùc AHMK noäi tieáp .
AA’ vuoâng goùc OK .
Naêm ñieåm O ,A , B’, C’ , M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn .
Baøi 77: Cho hai ñöôøng troøn (O; R ) vaø (O; R’) caét nhau taïi A vaø B .Moät ñöôøng thaúng (d) quay quanh A caét (O) vaø (O’) taïi C vaø D .
1)Chöùng minh ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng CD luoân ñi qua ñieåm coá ñònh .Xaùc ñòmh ñieåm coá ñònh aáy .
2)Vôùi vò trí naøo cuûañöôøng thaúng (d) thì tam giaùc BCD coù dieän tích lôùn nhaát .
Baøi 78 (Thi lôùp 10 Buøi Thò Xuaân 94-95 HCM)
 Cho ΔABC caân taïiA vaø ñieåm D di chuyeån treân caïnh BC ( D khaùc B vaø C ) .Döïng qua D hai ñöôøng troøn (O ; R ) vaø (O’; R’) laàn löôït tieáp xuùc vôùi AB taïi B vaø AC taïi C ,hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi K vaø D .
1)Chöùng toû töù giaùc ABKD noäi tieáp ñöôïc.
2) Chöùng toû ba ñieåm A ,D ,K thaúng haøng vaø tích AD .AK khoâng ñoåi .
3) Chöùng toû toång R+R’ khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm D treân caïnh BC 
4) Tìm ñöôøng di chuyeån cuûa trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng OO’
Baøi 81.1 : Cho ñöôøng troøn (O) , töø moät ñieåm M naèm ngoaøi ñöôøng troøn keû tieáp tuyeán MA (A (O)) vaø caùt tuyeán MBC ( B; C thuoäc (O) , MB < MC ) ) .Cho AB = c , BC = a , AC = b . Tính MA.
Baøi 81.2 : Cho hình vuoâng ABCD .Laáy ñieåm M naèm trong hình vuoâng sao cho MÂB = MBA = 150 .Chöùng minh tam giaùc MCD ñeàu .
Baøi 82.1 : Cho töù giaùc ABCD coù AC = 10 cm ,BD= 12 cm vaø goùc giöõa AC vaø BD baèng 300 .Tính dieän tích töù giaùc ñoù .
Baøi 82.2 : Cho tam giaùc ABC coù AB < AC vaø BM , CN laø hai trung tuyeán .So saùnh BM vaø CN .
Baøi 85: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O; R ) , M laø moät ñieåm treân cung nhoû BC , MA caét BC taïi D .Chöùng minh raèng : 
AD.AM = AB2 .
MA = MB +MC 
MA +MB +MC 4R 
 MA2 +MB2 + MC2 = 6R2
MA4 +MB4 + MC4 = 18R4
Baøi 86.1:
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao. Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính HC .Keû tieáp tuyeán BK vôùi (O) ( K laø tieáp ñieåm ) .Tính tæsoá 
Baøi 86.2: Cho tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O ; R) .Ñieåm D di ñoäng treân cung AC .Goïi E laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD , F laø giao ñieåm cuûa AD vaø BC .Chöùng minh raèng :
a)Goùc AFB = goùc ABD .
b) Tích AE . BF khoâng ñoåi .
Baøi 89:
Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp (O) . I laø moät di ñoäng treân cung AB .AI caét CB taïi M , AB caét IC taïi N. 
Chöùng minh raèng : AMC + ANC = 2 ACB .
Chöùng minh tích AI .AM khoâng ñoåi .
Veõ daây cung IK song song vôùi BC ,IK caét
AC ôû E .Chöùng minh : ΔACK ~ ΔAMB,
ΔACM ~ ΔAKB vaø ΔAEK ~ ΔAIB.
d) Xaùc ñònh vò trí cuûa I ñeå AB = MB .
Baøi 90 :
Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm S naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Töø S keû hai tieáp tuyeán SA vaø SA’ vaø caùt tuyeán SBC tôùi ñöôøng troøn ( B naèm giöõa C vaø S ) .Phaân giaùc BÂC caét daây BC ôû D vaø caét cung BC ôû E .Goïi F laø giao ñieåm cuûa AA’ vôùi BC; G laø giao ñieåm cuûa OE vôùi BC . 
Chöùng minh EC2 = ED .EA .
 Chöùng minh SA2 = SG .SF.
Khi caùt tuyeán SBC quay quanh S thì D di ñoäng treân ñöôøng coá ñònh naøo ?
Bieát SB = a ; BC = tính SF.
Baøi 93 : Cho tam giaùc caân taïi A noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AM .Goïi D , H ,I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB , BC , AC . 
1) Chöùng minh :
A , O , H thaúng haøng vaø AC2 = 2 AO .AH .
Boán ñieåm O ,I , C ,H cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn coù taâm laø (O’)
 Ñöôøng troøn (O’) tieáp xuùc vôùi (O).
Goïi H’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC .Chöùng minh CH’ laø tieáp tuyeán cuûa (O) .
Goïi E ,G laàn löôït laø troïng taâm cuûa tam giaùc ACD vaø ABC .Chöùng minh hai tam giaùc AGC vaø IEO ñoàng daïng .
Baøi 94.1 :
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao , I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .Phaân giaùc BÂH vaø CÂH caét BC taïi D vaø E 
.
Chöùng minh I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC
Baøi 94.2 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O), phaân giaùc trong AD .
 a) Xaùc ñònh taâm O’cuûa 
 ñöôøng troøn ñi qua A vaø 
 tieáp xuùc vôùi BC taïi D.
 b) Chöùng minh ñöôøng 
 troøn O’) tieáp xuùc vôùi 
 -ñöôøng troøn (O) .
Baøi 97 :
Cho tam giaùc ABC coù ba goùc ñeàu nhoïn ,AH laø ñöôøng cao .Keû HM .Goïi I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua M , K laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua N .Ñöôøng thaúng IK caét AB vaø AC taïi E vaø F .Chöùng minh:
Goùc AIK = goùc AKI
 Töù giaùc MNBC noäi tieáp .
CE vuoâng goùc AB 
ΔABC thoûa ñieàu kieän gì thì IN = MK.
Baøi 98.1 : Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn ( O) coù tröïc taâm laø H , M laø ñieåm baát kì treân cung BC khoâng chöùa A .
a)Xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå töù giaùc BHCM laø hình bình haønh.
b) Goïi N vaø E laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC .Chöùng minh töù giaùc ANBH noäi tieáp .
c) Chöùng minh N , H , E thaúng haøng .
Baøi 98.2 :Cho tamgiaùc ABC vuoâng taïi B coù ñöôøng cao AH .Treân tia ñoái cuûa BA laáy E sao cho BE = BA .Goïi D laø trung ñieåm HB 
Chöùng minh HE vuoâng goùc CD.
Baøi 3 : Cho ΔABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R ) coù AK , BF , 
CE laø ba ñöôøng cao caét nhau tai ïH .Goïi I laø trung ñieåm BC 
 A Chöùng minh 
a) Neáu M vaø H ñoái xöùng nhau qua K thì M (O) .
b) Neáu D vaø H ñoái xöùng mhau qua I thì D .
c) OA (ba caùch) vaø H laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp .
 d) Tính R( theo R.
Baøi 4 : Cho hình veõ : Bieát tam giaùc ABC noäi tieáp (O;R ) AD , BE laø hai ñöôøng cao caét nhau taïi H . AK laø ñöôøng kính , AD caét ñöôøng troøn taïi I , Goïi F laø giao ñieåm CH vaø AB. Ñöôøng thaúng EF caét (O) taïi M vaø N
I 
a)Chöùng minh BI KC laø hình thang caân.
b)Chöùng minh BHCK laø hình bình haønh .
c)Chöùng minh 
 AE.AC = AF .AB 
 CD. CB = CE .CA 
 AH.AD = AF.AB 
 d)Chöùng minh AM = AN 
e) Chöùng minh OA EF 
f) Cho bieát : AC = R . Tính F Ê D vaø ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng DF , BH theo R .
g)Tính DA2 +DB2 + DC2 + DI 2 theo R .
Baøi 7 : Cho hình veõ : Bieát hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A .CD laø tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ( C (O) , D 
a)Chöùng minh CAD vuoâng 
b)Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD .Chöùng minh MA laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) , töø ñoù suy ra OM O’M 
 c) Caùc ñöôøng thaúng CA vaø DA laàn löôït caét (O) 
 vaø (O’) ôû F vaø E .Chöùng minh C, O , E 
 thaúng haøng vaø D , O , F thaúng haøng . 
 d) Tính CD2 + EF2 theo R vaø R’.
 e) Chöùng minh : S S
Baøi 8 :
Cho hình veõ , vôùi caùc kí hieäu coù treân hình chöùng minh :
a) CD = AC + BD vaø C ÔD = 900
b) 
c) CN = CA
d) Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø AD , F laø giao ñieåm cuûa MI vaø AB . Chöùng minh MI // AC vaø I laø trung ñieåm cuûa MF.
e) Chöùng minh : AB tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính CD.
Baøi 11 : Cho ñöôøng troøn (O);R) vaø ñieåm M naèm ngoaøi ñöôøng troøn .Qua ñieåm M veõ hai tieáp tuyeán MA , MB (A vaø B thuoäc (O) )vaø caùt tuyeán MCD (MC < MD) .Goïi I laø trung ñieåm cuûa CD .Ñöôøng thaúng OI caét ñöôøng thaúng AB taïi K .Chứng minh
 a) Caùc töù giaùc MAOB , MHIK noäi tieáp 
 ñöôøng troøn .
 b) OI .OK = R2
 c) MH . MO = MC.MD 
 d) CĤD = 2CÂD
 e)
 f)Cho bieát OM = 3R , CD = ,Tính dieän tích tam gi