11 đề ôn tập môn Toán
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu 11 đề ôn tập môn Toán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y =
x + 2
1- x
có đồ thị (C)
a. Giải phương trình log (2x -1).log (2x+ 1 - 2) = 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx - 4 - 2m luôn đi qua một điểm cố định của đường
cong (C) khi m thay đổi . .
Câu II ( 3,0 điểm )
2 2
ò
-p/2 (2 + sinx)
b. Tính tìch phân : I =
0
sin2x
2
dx
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y =
đường thẳng (d) : 5x - 4y + 4 = 0 .
x2 - 3x +1
x - 2
, biết rằng tiếp tuyến này song song với
x Tại điểm
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của
hai khối chóp M.SBC và M.ABC .
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục
Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; -1) Hãy tính diện tích tam giác ABC .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = x2 , (d) : y = 6 - x và trục hoành . Tính diện tích
của hình phẳng (H) .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) ,
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ ..
b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’ .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) : y = 2x2 + ax + b tiếp xúc với hypebol (H) : y = 1
M(1;1)
- 1 -
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x -¥ 1 +¥
y¢ + +
y +¥
-1
-¥
-1
Hệ thức (*) đúng với mọi m Û í
Û í
( Vì tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y =
1- x
® t = - 4 Û log (2x -1) = -4 Û 2x = Û x = log2
® x = 0 Þ t = 2 , x = - Þ t = 1
2(t - 2) 1 1 1 4
2 2 2 2
® I = ò ò ò
dt = 2 dt - 4 dt = 2ln t
+ 4
= ln4 - 2 = ln
t t2
e2
t 1
b) 1đ
Ta có : y = mx - 4 - 2m Û m(x - 2) - 4 - y = 0 (* )
ìx - 2 = 0 ìx = 2
î-4 - y = 0 îy = -4
Đường thẳng y = mx - 4 - 2m luôn đi qua
điểm cố định A(2; - 4) thuộc (C)
x + 2
)
Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ Điều kiện : x > 1 .
pt Û log (2x -1).[1+ log (2x -1)] -12 = 0 (1)
2 2
Đặt : t = log (2x -1) thì (1) Û t2 + t -12 = 0 Û t = 3Ú t = -4
2
® t = 3 Û log2 (2x -1) = 3 Û 2x = 9 Û x = log2 9
17 17
2 16 16
b) 1đ Đặt t = 2+ sinx Þ dt = cosxdx
p
2
2
2 t 1
1 1 1
c) 1đ Đường thẳng (d) 5x - 4y + 4 = 0 Û y =
5
4
x +1
Gọi D là tiếp tuyến cần tìm , vì D song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 5
4
Do đó : (D) : y =
5
4
x + b
ì x2 - 3x + 1 5
D là tiếp tuyến của ( C ) Û hệ sau có nghiệm x ¹ 2 : í 2
ï x - 4x + 5 = 5 (2)
î (x - 2)
ï = x + b (1)
ï x - 2 4
ï 2 4
- 2 -
® x = 0 ¾¾® b = - Þ tt(D1) : y =
x -
® x = 4 ¾¾® b = - Þ tt(D2) : y =
x -
(2) Û x2 - 4x = 0 Û x = 0 Ú x = 4
(1) 1 5 1
2 4 2
(1) 5 5 5
2 4 2
Câu III ( 1,0 điểm )
Ta có : VS.MBC
VS.ABC = = Þ VS.MBC S.ABC
= .V
SM 2 2
SA 3 3
(1)
= V
- V
= V
- .V
= .V
VM.ABC S.ABC S.MBC S.ABC S.ABC S.ABC (2)
Từ (1) , (2) suy ra : VM.SBC S.MBC
VM.ABC M.ABC= = 2
ï 3 = 1
ï y
ìx = 3
G(1;2; -1) là trọng tâm tam giác ABC Û í = 2 Û íy = 6
ï ï
ï ïîz = -3
ï z = -1
Mặt khác : VOABC = .d(O,(ABC).SABC Þ SABC = 3.VOABC
3 d(O,(ABC) 0,25đ
Phương trình mặt phẳng (ABC) : + + = 1
-3 0,25đ
2 1
3 3
V
V
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Vì các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz nên ta gọi A(x;0;0) , B(0;y;0),
C(0;0;z) . Theo đề :
ì x
0,5đ
3
ïî3
Vậy tọa độ của các đỉnh là A(3;0;0) , B(0;6;0), C(0;0; -3) 0,25đ
1
x y z
3 6
nên d(O,(ABC)) = = 2
+ +
1
1 1 1
9 36 9
0,25đ
VOABC = .OA.OB.OC = .3.6.3 = 9 0,25đ
2 0,25đ
x2 = 6 - x Û x2 + x - 6 = 0 Û ê
2 6 2
S= ò ò (6 - x)dx = [x ]20 26 =
x dx + + [6x -
Mặt khác :
1 1
6 6
Vậy : SABC = 27
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Phương trình hònh độ giao điểm của ( C ) và (d) :
éx = 2
ëx = -3
2 1 3 x 26
]
3 2 3
0 2
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Từ giả thiết ta tính được : B(a;0;a),
a a
D(0;a;0) , A(0;0;a) , M( ; 0;a) , N(a; ;0) .
2 2
- 3 -
uuur
AN = (a; ; -a) = (2;1; -2)
uuuur
a a
2 2
BD' = (-a;a; -a) = -a(1; -1;1)
Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với
AN và BD’ nên có VTPT là
r
uuur uuuur
n = [AN,BD'] = -
a2
2
(1; 4;3)
: (P) :1(x - ) + 4(y - 0) + 3(z - a) = 0 Û x + 4y + 3z - = 0
uuuur
uuur
- a2 + + a2
a2
1 3 3
3 3
AN . BD '
a
Suy ra :
a 7a
2 2
b) 1đ Gọi j là góc giữa AN và BD' . Ta có :
uuur uuuur
AN.BD ' 2
cosj = uuuur uuuur = = = Þ j = arccos
3a 9 9
.a 3
2
uuur uuuur 2 uuur
[AN,BD '] = (1; 4;3),AB = (a; 0; 0) = a(1; 0; 0)
2
a
2
Do đó : d(AN,BD') =
[AN,BD'].AB
uuur uuuur uuur a3
uuur uuuur = =
. 26
[AN,BD'] a2 26
2
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tiếp điểm M có hoành độ chính là nghiệm của hệ phương trình :
2x2 + ax + b =
ïï2x + ax + b = x
ï
Û í
í
2 + ax + b)' = ( )'
ï4x + a = -
ï(2x
x
ì
ì 1 2 1
1 1
îï
î x x2
(I)
Û í
Û í
Thay hoành độ của điểm M vào hệ phương trình (I) , ta được :
ì2 + a+ b = 1 ìa+ b = -1 ìa = -5
î
í4 + a = -1 îa = -5 îb = 4
Vậy giá trị cần tìm là a = -5,b = 4
*******************************************
- 4 -
ĐỀ SỐ 2
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là ( Cm ) .
1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1.
2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = – 1 .
1.Giải bất phương trình: log0,2 x - log0,2 x - 6 £ 0
3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có pt y =
Câu II ( 3,0 điểm )
2
p
x
6
+ 2 .
2.Tính tích phân I = ò
4
0
t anx
cos x
dx
x - x có đồ thị là (C) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C)
3.Cho hàm số y=
1 3 2
3
îlog2 (2x + y) - log3(2x - y) = 1
b/.Miền (B) giới hạn bởi đồ thi ̣ (C) của hàm số y =
x -1
và các đường thẳng y =0,x = 0,x = 3 quay quanh 0x.
Câu III ( 1,0 điểm )
3.Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a.
a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt cầu.
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( a ) qua ba điểm A(1;0;11),B(0;1;10),C(1;1;8).
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC
2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( a )
3.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng minh mặt cầu này cắt ( a )
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện : Z + Z + 3 = 4
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu Vb/.
ì 4x2 - y2 = 2
a/.Giải hệ phương trình sau : í
và hai trục tọa độ.
x + 1
1).Tính diện tích của miền (B).
2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy.
*****************************************
- 5 -
ĐỀ SỐ 3
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
Câu II ( 3,0 điểm )
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex ,y = 2 và đường thẳng x = 1.
p
sin 2x
2.Tính tích phân I = ò
0 4 - cos
2
2
x
dx
3.Giải bất phương trình log(x2 – x -2 ) < 2log(3-x)
Câu III ( 1,0 điểm )
Bài 4.Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 600.
1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón.
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm :
A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1.Viết phương trình đường thẳng OG
2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C.
3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S).
Câu V.a ( 1,0 điểm )
Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D
----> -> -> -> ----> -> -> ->
với A(1;2;2), B(-1;2;-1), OC = i + 6 j - k ; OD = - i + 6 j + 2 k .
1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau .
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .
3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD .
Câu Vb/.Cho hàm số: y = x +
4
1+ x
(C)
1.Khảo sát hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y =
1
3
x + 2008
*******************************************
- 6 -
ĐỀ SỐ 4
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y// = 0.
Câu II ( 3,0 điểm )
1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
b. f(x) = 2sinx + sin2x trên ê ú
a. f (x) = -x +1 -
4
x + 2
trên [-1; 2]
ë 2 û
0;
é 3p ù
2.Tính tích phân I = ò ( x + sin x ) cos xdx
p
2
0
- 4.3
3.Giải phương trình : 3
4x+8 2x+5
+ 27 = 0
Câu III ( 1,0 điểm )
Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính bằng a.Hãy
tính
a)Thể tích của khối trụ
b)Diện tích thiết diện qua trục hình trụ
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó .
1.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng ( D1 ) : í
x -1 y z
ìx + 2y - 2 = 0
îx - 2z = 0
và ( D2 ) :
= =
-1 1 -1
1.Chứng minh ( D1 ) và ( D2 ) chéo nhau
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ( D1 ) và
( D2 )
Câu V.a ( 1,0 điểm ).Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y= 2x2 và y = x3 xung quanh trục Ox
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) (P) : x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng (d)
có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + z - 3 = 0 và 2y-3z=0
1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua (d).
2.Viết phương trình chiń h tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Câu Vb/.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau :(2+i)3- (3-i)3.
- 7 -
ĐỀ 5
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y =
2x +1
x -1
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(1;8) . .
Câu II ( 3,0 điểm )
a) Giải bất phương trình 3
log
x-2
sin 2 x+ 4
> 1
ìï4 .log x = 4
Giải hệ phương trình sau : í
1
b) Tính tìch phân : I = ò (3x + cos2x)dx
0
c) Giải phương trình x2 - 4x + 7 = 0 trên tập số phức .
Câu III ( 1,0 điểm )
Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường
tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính
cạnh của hình vuông đó .
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó .
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng (P) :
2x - y + 3z +1= 0 và (Q) : x + y - z + 5 = 0 .
a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt
phẳng (T) : 3x - y +1= 0 .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = -x2 + 2x và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
z - 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : x + 3 = y + 1 = và mặt
2 1 1
phẳng (P) : x + 2y - z + 5 = 0 .
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
c. Viết phương trình đường thẳng ( D ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
-y
2
ïîlog2 x + 2-2y = 4
- 8 -
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a. (2d)
x -¥ 1 +¥
y¢ - -
y 2
-¥ +¥
2
= k(x -1) + 8 Û kx2 + 2(3- k)x - 9 + k = 0 (1)
b. (1đ) Gọi (D) là tiếp tuyến đi qua M(1;8) có hệ số góc k .
Khi đó : (D) y - 8 = k(x -1) Û y = k(x -1) + 8
Phương trình hoành độ điểm chung của (C ) và (D) :
2x +1
x -1
(D) là tiếp tuyến của (C ) Û phương trình (1) có nghiệm kép
ìïk ¹ 0
Û í
ïîD ' = (3- k) - k(k - 9) = 0
2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3x +11
Câu II ( 3,0 điểm )
Û k = -3
a. (1đ ) pt Û log sin 2 x+ 4
>0 Û 0 < < 1 ( vì 0 < sin2 < 1 )
x-2
x - 2
x + 4
ïï0 < x + 4
ïï0 < x + 4
ïï0 < x + 4
ï ï ï -6 < 0
Û í Û í Û í
< 1
-1< 0
Û í
Û í
x - 2 x - 2
ì ì ì x - 2
x - 2 x - 2
î î î
ï x + 4 ï x + 4 ï x + 4
ìx - 2 > 0 ìx > 2
îx + 4 > 0 îx > -4
Û x > 2
3 1 3 1 1 1 2 1
+ sin2x]10 = [
1
b. (1đ) I = ò (3x + cos2x)dx = [
0
x
+ sin2] - [ + sin0] = + sin2
ln3 2 ln3 2 ln3 2 ln3 2
c. (1đ) D ' = -3 = 3i2 nên
D ' = i 3
Phương trình có hai nghiệm : x1 2 = 2 + i 3
= 2 - i 3 , x
- 9 -
Câu III ( 1,0 điểm )
Xét hình vuông có cạnh AD không song song và vuông
góc với trục OO’ của hình trụ . Vẽ đường sinh AA’
Ta có : CD ^ (AA’D) Þ CD ^ A 'D nên A’C là đường
kính của đường tròn đáy .
Do đó : A’C = 4 . Tam giác vuông AA’C cho :
AC = AA '2+ A 'C2 = 16 + 2 = 3 2
Vì AC = AB 2 . S uy ra : AB = 3 .
Vậy cạnh hình vuông bằng 3 .
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1, Theo chương trình chuẩn :
3 b. (1,5đ) Vì
{
2 -1 3 2x - y + 3z +1 = 0
x + y - z + 5 = 0
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a. (0,5đ) d(M;(Q)) = 1
¹ ¹ Þ (d) = (P) Ç (Q) :
1 1 -1
Lấy hai điểm A( - 2; - 3;0), B(0; - 8; - 3) thuộc (d) .
+ Mặt phẳng (T) có VTPT là nT = (3; -1;0)
r r
r
uuur
+ Mặt phẳng (R) có VTPT là nR = [nT,AB] = (3;9; -13)
ì+ Qua M(1;0;5)
î+ vtpt : nR = (3;9; -13)
+ ( R) : í r
Þ (R) : 3x + 9y -13z + 33 = 0
16p
+ Thể tích : VOx = pò (-x2 + 2x) dx = p[ x2 - x4 + x ]20 =
2 + 2 -1 1 p
thì (m) : x = -3+ t ,y = -1+ 2t ,z = 3- t . Suy ra : (m) Ç(P) = A '(- ; 0; ) .
uuur 3
{
Đặt : u = 2-2y > 0,v = log2 x . Thì hpt Û Û u = v = 2 Þ x = 4; y = -
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
+ Phương trình hoành giao điểm : -x2 + 2x = 0 Û x = 0,x = 2
2
2 4 1 5
3 5 5
0
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a. (0,5đ ) Giao điểm I( - 1;0;4) .
b. (0,5d) sinj = = Þ j =
4 +1+1. 1+ 4 +1 2 6
c. (1,0đ) Lấy điểm A( - 3; - 1;3) Î(d). Viết pt đường thẳng (m) qua A và vuông góc với (P)
5 5
2 2
(D) º (IA ') : x = -1+ t,y = 0,z = 4 + t , qua I( - 1;0;4) và có vtcp là IA ' = - (1 ; 0; 1)
2
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
uv = 4 1
u + v = 4 2
ĐỀ 6
- 10 -
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7điểm)
Câu I (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x4 - 2x2 -1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 - 2x2 - m = 0 (*)
.
x - 2log cos
= 2
Câu II ( 3,0 điểm )
a) Giải phương trình 3
log
cos
p
3
p
x 3
+ 1
log x -1
x
ò x(x + e
b) Tính tích phân : I =
1
x )dx
0
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 -12x + 2 trên [-1;2] .
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC =
2cm .Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích
của khối cầu đó.
II . PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( - 2;1; - 1) ,B(0;2; - 1)
,C(0;3;0), D(1;0;1) .
a. Viết phương trình đường thẳng BC .
b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng .
c. Tính thể tích tứ diện ABCD .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Tính giá trị của biểu thức P = (1- 2 i )2 + (1+ 2 i )2 .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; - 1;1) , hai đường thẳng
= =
ìx = 2 - t
, (D2) : íy = 4 + 2t và mặt phẳng (P) : y + 2z = 0
ïz = 1
(D1) :
x -1 y z
-1 1 4
ï
î
b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng (D1 2) và nằm trong mặt
a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( D2 ) .
) ,(D
phẳng (P) .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm) : y =
x2 - x + m
x -1
với m ¹ 0 cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt A,B sao cho tuếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A,B vuông góc nhau .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
- 11 -
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x -¥ -1 0 1 +¥
y¢ - 0 + 0 - 0 +
y +¥
-2
-1
-2
+¥
b) 1đ pt (1) Û x4 - 2x2 -1= m -1 (2)
Phương trình (2) chính là phương trình điểm
chung của ( C ) và đường thẳng (d) : y = m – 1
Căn cứ vào đồ thị (C ) , ta có :
§ m -1 < -2 Û m < -1 : (1) vô nghiệm
§ m -1 = -2 Û m = -1 : (1) có 2 nghiệm
§ -2 < m-1<-1 Û -1 < m < 0 : (1) có 4 nghiệm
§ m-1 = - 1 Û m = 0 : (1) có 3 nghiệm
§ m – 1 > -1 : (1) có 2 nghiệm
Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ Điều kiện : 0 < x , x ¹ 1
- log x + 2log 2 + 1
pt Û 3 2 x
= 1 Û - log x + 2log 2 + 1 = 0
2 x
2 x - log x - 2 = 0 Û ê
Û log2
x =
Û ê 2
élog x = -1
2
2 êlog x = 2
ë 2
é 1
ê
êëx = 4
x )dx = x dx + xe dx = I + I1 2 với I1 = ò x dx = 3
Ta có : I = ò ò ò
x(x + e
b) 1đ
1 1 1 1
2 x 2 1
0 0 0 0
I2 = ò xe dx = 1.Đặt : u = x,dv = e dx . Do đó : I =
1
0
c) 1đ Ta có : TXĐ D = [-1;2]
x x
4
3
y¢ = 6x2 + 6x -12 , y¢ = 0 Û 6x2 + 6x -12 = 0 Û ê
éx = -2 (l)
ëx = 1
Vì y(-1) = 15,y(1) = 5,y(2) = 6
nên Miny = y(1) = 5 , Maxy = y(-1) = 15
[-1;2] [-1;2]
Câu III ( 1,0 điểm )
Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng D vuông góc với mp(SAB) thì D là trục của DSAB
vuông .
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường trung trực của cạnh SC của DSCI cắt D tại O là
tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC .
Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật .
Ta tính được : SI = 1 5AB =
2 2
, OI = JS = 1 , bán kính R = OS = 3
2
2 = 9p (cm )
Diện tích : S = 4pR
2
- 12 -
Thể tích : V = 4
3 2pR3 = p (cm )
ìï+ Qua C(0;3;0)
Þ (BC) : íy = 3+ t
a) 0,5đ (BC) : í
ï
ïz =
ïî+ VTCP BC = (0;1;1)
î
[AB,AC].AD =uuur uuur uuur
V =
c) 0,5đ
ïî+ ^ (D2)
9 3
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
. 1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
ìx = 0
uuur
t
uuur uuur uuur
b) 1,0đ Ta có : AB = (2;1;0),AC = (2;2;1),AD = (3; -1;2)
uuur uuur
[AB, AC] = (1; -2; 2)
uuur uuur uuur
Þ [AB, AC] .AD = 9 ¹ 0 Þ A, B,C, D
không đồng phẳng
1 3
6 2
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
P = -2
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Gọi mặt phẳng
ìï+ Qua M(1; -1;1)
(P) : í
ìï+ Qua M(1; -1;1)
ïî+ VTPT nP 2 = (-1;2; 0)
Þ (P) : í r r
=a
Þ (P) : x - 2y - 3 = 0
Khi đó : N = (D2) Ç (P) Þ N( ; ;1)
b) 1đ Gọi A = (D1 2) Ç (P) Þ B(5; -2;1)
19 2
5 5
) Ç (P) Þ A(1;0;0) , B = (D
= =
Vậy (m) º (AB) :
x -1 y z
4 -2 1
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Pt hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành : x2 - x + m = 0 (* ) với x ¹ 1
điều kiện m <
1
4
, m ¹ 0
Từ (*) suy ra m = x - x2 . Hệ số góc k = y¢ = =
(x -1)2
Gọi xA B là hoành độ của A,B thì phương trình (*) ta có : xA B A B = m
x2 - 2x +1- m 2x -1
x -1
,x + x = 1 , x .x
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì
y¢(xA B A B A B) + 2 = 0 Û 5m -1= 0 Û m =
).y¢(x ) = -1Û 5x x - 3(x + x
1
Vậy giá trị cần tìm là m =
5
ĐỀ 7
- 13 -
1
5
thỏa mãn (*)
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
9 ; -1) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M( 14
Câu II ( 3,0 điểm )
.
a) Cho hàm số y = e -x2 + x
p
. Giải phương trình y¢¢ + y¢ + 2y = 0
sin2x
b) Tính tìch phân : I =
2
ò 2
0 (2 + sinx)
dx
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + cos x - 4sinx +1 .
Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , SAO = 30o ,
SAB = 60o . Tính độ dài đường sinh theo a .
3 2
Câu III ( 1,0 điểm )
·
·
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1) Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
= =
(D2) : íy = -5+ 3t
(D1) :
x -1 y - 2 z
2 -2 -1 ,
ìx = - 2t
ï
î
ïz = 4
a. Chứng minh rằng đường thẳng (D1) và đường thẳng (D2) chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (D1) và song song với đường
thẳng (D2) .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Giải phương trình x3 + 8 = 0 trên tập số phức ..
2) Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :
x + y + 2z +1= 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + 8 = 0 .
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Biểu diễn số phức z = -1+ i dưới dạng lượng giác .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
- 14 -
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x -¥ -1 1 +¥
y ¢ + 0 - 0 +
y 3 +¥
-¥
-1
b) 1đ Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Þ (d) : y +1 = k(x -
14
9
) Þ (d) : y = k(x -
14
9
) -1
ïx - 3x + 1 = k(x - 9 ) -1
î3x - 3 = k
Thay (2) vào (1) ta được : 3x3 - 7x2 + 4 = 0 Û x = - ,x = 1,x = 2
ì 3 14
(d) tiếp xúc ( C) Û Hệ sau có nghiệm í
ï 2
2
3
(1)
(2)
¾¾¾ k = - Þ tt (D1) : y = - x +
®
¡ x=
-2 (2) 5 5 43
3 3 3 27
¡ x = 1¾¾¾ k = 0 Þ tt (D2) : y = -1
®
¡ x = 2 ¾¾¾ k = 9 Þ tt (D3) : y = 9x -15
®
-x2 +x
a) 1đ ¡ y¢ = (-2x +1) e , y¢¢ = (4x2 - 4x -1) e-x +x
¡ y¢¢ + y¢ + 2y = (4x2 - 6x + 2) e ; y¢¢ + y¢ + 2y = 0 Û 2x2 - 3x +1 = 0 Û x = , x = 1
(2)
(2)
Câu II ( 3,0 điểm )
2
-x2 +x 1
2
b) 1đ
(2 + sinx) (2 + sinx) (2 + sinx)
Phân tích sin2xdx = 2sinx.cosxdx = 2sinx.d(2 + sinx)
2 2 2
Vì d(2 + sinx) = cosxdx
nên sin2xdx 2sinx.d(2 + sinx)
= = 2.[
-
(2 + sinx) (2 + sinx) (2 + sinx) (2 + sinx)
2 + sinx 2
2 2 2 2
]d(2 + sinx)
(File đính kèm:
11 ĐỀ & Đ.A MÔN TOÁN - ÔN TỐT NGHIỆP (3).docx
