4 Đề thi thử học sinh giỏi lớp 8

Đề1
Cõu 1 : (2 điểm) Cho P=
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của a để P nhận giỏ trị nguyờn
Cõu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyờn chia hết cho 3 thỡ tổng cỏc lập phương của chỳng chia hết cho 3.
b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để biểu thức :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cú giỏ trị nhỏ nhất . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú .
Cõu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trỡnh : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng :
 A = 
Cõu 4 : (3 điểm)
 	Cho tam giỏc đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một gúc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BDE và CED.
c) Chu vi tam giỏc ADE khụng đổi.
Cõu 5 : (1 điểm)
Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú số đo cỏc cạnh là cỏc số nguyờn dương và số đo diện tớch bằng số đo chu vi .	
Đề 2
Cõu1. (3đ)
a. Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trỡnh: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Cõu2. (3 đ) Cho biểu thức: 
 	a. Rỳt gọn biểu thức A. 
 	b. Tớnh giỏ trị của A , Biết |x| =.
 	c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
 	d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn.
Cõu 3.(3 đ) Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
Cõu 4. (1 đ) 
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
Đề 3
Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. 
a) Tớnh tổng 
b) Gọi Ai là phõn giỏc của tam giỏc ABC; im, in thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất?
Đề 4
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = với x khỏc -1 và 1.
a, Rỳt gọn biểu thức A.
b, Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x .
c, Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
	Cho .
 Chứng minh rằng .
Bài 3 (3 điểm)
	Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh.
 Một phõn số cú tử số bộ hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lờn 4 đơn vị thỡ sẽ được phõn số nghịch đảo của phõn số đó cho. Tỡm phõn số đú.
Bài 4 (2 điểm) 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 5 (3 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
 Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20092 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. 
ĐÁP ÁN đề 3
Bài 1(3 điểm):
 a) Tớnh đỳng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tớnh đỳng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đú: ( 0,25điểm )
Tớnh đỳng a = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tỡm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta cú: 
 (0,25điểm)
 Do đú: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm) 
 Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hỡnh đỳng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, abi, aic:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC 
AB = AC =BCABC đều
Kết luận đỳng (0,25điểm) 
*Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ hưởng trọn số điểm cõu đú
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 THI HỌC SINH GIỎI
Cõu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
 Nờu ĐKXĐ : a 0,25 
 Rỳt gọn P= 0,25
b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyờn khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 0,25
 Từ đú tỡm được a 0,25
Cõu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tỡm là a và b , ta cú a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta cú a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vỡ a+b chia hết cho 3 nờn (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9	 0,25
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0,5
 Ta thấy (x2+5x)2 0 nờn P=(x2+5x)2-36 -36 	 0,25
 Do đú Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Từ đú ta tỡm được x=0 hoặc x=-5 thỡ Min P=-36	 0,25
Cõu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,25
 ĐKXĐ : 	 0,25
 Phương trỡnh trở thành : 
 	 0,25
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đú tỡm được x=-13; x=2;	 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Từ đú suy ra a= ;	 0,5
 Thay vào ta được A= 0,25
 Từ đú suy ra A hay A	 0,25
Cõu 4 : (3 đ)
a) (1đ)	
 Trong tam giỏc BDM ta cú : 
 Vỡ =600 nờn ta cú : 
 Suy ra 
 Chứng minh ∾ (1) 	 0,5
 Suy ra , từ đú BD.CE=BM.CM
 Vỡ BM=CM= , nờn ta cú BD.CE= 	 0,5
b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nờn ta cú 
 Chứng minh ∾ 	 0,5
 Từ đú suy ra , do đú DM là tia phõn giỏc của gúc BDE
 Chứng minh tương tự ta cú EM là tia phõn giỏc của gúc CED 	 0,5
c) (1đ) Gọi H, I, K là hỡnh chiếu của M trờn AB, DE, AC
 Chứng minh DH = DI, EI = EK 	 0,5
 Tớnh chu vi tam giỏc bằng 2AH; Kết luận. 	 0,5
Cõu 5 : (1đ)
 Gọi cỏc cạnh của tam giỏc vuụng là x , y , z ; trong đú cạnh huyền là z
 (x, y, z là cỏc số nguyờn dương )
 Ta cú xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta cú :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Từ đú ta tỡm được cỏc giỏ trị của x , y , z là :
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)	 0,25
HƯỚNG DẪN CHẤM đề2THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1
(6 điểm)
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 điểm)
b. (*)
Vỡ x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
(2 điểm)
c. Nhõn cả 2 vế của: 
với a + b + c; rỳt gọn đpcm	
(2 điểm)
Cõu 2
(6 điểm)
Biểu thức: 
a. Rỳt gọn được kq: 
(1.5 điểm)
b. hoặc 	
 hoặc 
(1.5 điểm)
c. 
(1.5 điểm)
d. 
(1.5 điểm)
Cõu 3
(6 điểm)
HV + GT + KL 
(1 điểm)
a. Chứng minh: 	
 đpcm
(2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(2 điểm)
c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
 khụng đổi
 lớn nhất (AEMF là hỡnh vuụng)
 là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Cõu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
Đỏp ỏn đề 4
Bài 1( 4 điểm ) 
a, ( 2 điểm )
Với x khỏc -1 và 1 thỡ :
 A= 
0,5đ
 =
0,5đ
 = 
0,5đ
 = 
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thỡ A = 
0,25đ
= 
0,25đ
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1)
0,25đ
Vỡ với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 
0,5đ
Biến đổi để cú 
0,5đ
Biến đổi để cú (*)
0,5đ
Vỡ ;;; với mọi a, b, c
nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đú suy ra a = b = c
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là (x là số nguyờn khỏc -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phõn số 
(x khỏc -15)
0,5đ
Theo bài ra ta cú phương trỡnh =
0,5đ
Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món)
1đ
Từ đú tỡm được phõn số 
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để cú A=
0,5đ
=
0,5đ
Vỡ và nờn do đú 
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
0,25đ
KL
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giỏc AMNI là hỡnh thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đú suy ra tứ giỏc AMNI là hỡnh thang cõn
0,5đ
b,(2điểm)
Tớnh được AD = ; BD = 2AD = 
AM = 
0,5đ
Tớnh được NI = AM = 
0,5đ
DC = BC = , MN = 
0,5đ
Tớnh được AI = 
0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để cú , 
0,5đ
Lập luận để cú 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xột để cú (1), xột để cú (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,5đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,5đ
từ đú cú (OM + ON). 
0,5đ
b, (2 điểm)
, 
0,5đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để cú 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đú SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đvdt)
0,5đ