50 đề thi vào 10 chuyên Toán
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu 50 đề thi vào 10 chuyên Toán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Sở giáo dục và đào tạo
HảI dương
Đề thi chính thức
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2009-2010
Môn thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu I (2.5 điểm):
1) Giải hệ phương trình:
2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
Câu II (2.5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức:
với
2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
Câu III (2.0 điểm):
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết . Chứng minh rằng: là hợp số.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng:
MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :.......................
Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị 2:............................
Hướng dẫn chấm
Câu
Phần
nội dung
Điểm
câu I
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Từ (2) x 0. Từ đó , thay vào (1) ta có:
0.25
0.25
0.25
Giải ra ta được
0.25
Từ ;
0.25
Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);;
0.25
2)
1,0điểm
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
0.25
. Vì (m - 2) > (m - 3) nên:
m = 2 hoặc m = 3.
0.25
Khi m = 2 = 0x = -1 (thỏa mãn)
Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại).
0.25
Vậy m = 2.
0.25
câu II
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Đặt
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
1,0điểm
(1)
Giả sử có (1)
Từ (1), (2)
0.25
Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
0.25
. Nếu b0 thìlà số hữu tỉ. Trái với giả thiết! . Từ đó ta tìm được c = 0.
0.25
Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
0.25
câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dương.
0.25
Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c
= 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)
0.25
Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c
= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)
= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)
0.25
Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số
0.25
2)
1,0điểm
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2)
0.25
Ta chứng minh được:
,
0.25
Mặt khác ta có:
0.25
Dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA
.Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB. Vậy Maxkhi x = 7.
0.25
câuIV
2 điểm
1)
0,75điểm
Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp , MCAP nội tiếp .
0.25
Lại có
(cùng phụ góc NMP)
(1)
0.25
Do DE // NP mặt khác
MANP (2)
Từ (1), (2) cân tại A
MA là trung trực của DE
MD = ME
0.25
2)
1,25điểm
Do DE//NP nên , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:
0.25
Theo giả thiết
Tứ giác MDEK nội tiếp
0.25
Do MA là trung trực của DE
0.25
.
0.25
Vì DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DABM là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
0.25
câu V
1 điểm
Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B’ là điểm chính giữa cung
Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA
0.25
Ta có: (1) ; (2)
(3);Từ (1), (2), (3)
0.25
Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau
Ta có = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’.
0.25
Hoàn toàn tương tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung thì ta cũng có AD’ + CD’ AD + CD. Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.
Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung của đường tròn (O)
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.
Sở giáo dục và đào tạo
Hưng yên
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho
Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
a)
b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ.
------------ Hết ------------
Họ và tên thí sinh:.........
Chữ ký của giám thị .....................
Số báo danh:......Phòng thi số:......
Hướng dẫn chấm thi
Bài 1: (1,5 điểm)
0,5 đ
a =
0,25 đ
Đặt
0,5 đ
Vậy phương trình nhận làm nghiệm
0,25 đ
Bài 2: (2,5 điểm)
a) ĐK:
0,25 đ
Giải (2)
0,25 đ
* Nếu .
Thay vào (1) ta được
0,25 đ
(phương trình vô nghiệm)
0,25 đ
* Nếu .
Thay vào (1) ta được
0,25 đ
- Với (thoả mãn điều kiện)
- Với (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
b) Đặt (*)
Phương trình đã cho trở thành:
(1)
0,25 đ
Từ (*) ta thấy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
0,25 đ
0,25 đ
Vậy với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
0,25 đ
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Vì k > 1 suy ra
- Xét
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xét
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xét
không là số nguyên tố.
0,25 đ
- Xét
không là số nguyên tố.
Do vậy
0,25 đ
b) Ta chứng minh: Với thì (*)
Thật vậy
(luôn đúng)
0,5 đ
áp dụng (*) ta có:
Suy ra (đpcm)
0,5 đ
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Xét và có:
0,5 đ
Do vậy và đồng dạng
Suy ra
0,5 đ
b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp
hay
0,5 đ
Suy ra
Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
0,5 đ
c) Kẻ đường kính MN của (O) ị NB ^ MB
Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp
Chứng minh tương tự I thuộc AN
Ta có CJ // IN
Chứng minh tương tự: CI // JN
0,5 đ
Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (không đổi)
0,5 đ
Bài 5: (1,0 điểm)
Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dương)
Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có số đo là:
0,25 đ
Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O
Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
ị MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ =
Ta có AB = CD nên:
Û (e - a) = h + b - f - d
0,5 đ
Nếu e - a ≠ 0 thì (điều này vô lý do là số vô tỉ)
Vậy e - a = 0 Û e = a hay EF = IJ (đpcm).
0,25 đ
------------ Hết ------------
SỞ GIÁO DỤC BèNH ĐỊNH KỲ THI TUỶấN SINH VÀO LỚP 10
BèNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN
NĂM HỌC 2009-2010
Đề chớnh thức Mụn thi:Toỏn (chuyờn)
Ngày thi:19/06/2009
Thời gian:150 phỳt
Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.Chứng minh rằng:
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phõn biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt.
Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiờn n,.Đặt
Chỳng minhSn<
Bài 4(3điểm)
Cho tam giỏc ABC nội tiếp trũn tõm O cú độ dài cỏc cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D.
a.Chỳng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tớnh độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn m,n.
**********************************************
ĐÁP ÁN MễN TOÁN THI VÀO 10
TRƯỜNG CHUYấN Lấ QUí ĐễN NĂM 2009
Bài 1:
Vỡ a,b,c là độ dài ba cạnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b
Nờn ta cú
Mặt khỏc
Vậy ta cú
Tương tự
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta cú điều phải chứng minh.
Bài 2:
ĐK: PT đó cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
Ta cú = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np =[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0
Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) 0
= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt
Bài 3
Do đú
Bài 3:
Ta cú ( Do cung EB = cung EC)
Và ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AC) nờn
Ta cú
(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn
AD(AE-AD) = DB.DC
Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú
vậy
theo cõu a ta cú AD2 = AB.AC – DB.DC =
Bài 5:
Vỡ
Ta xet hai trường hợp:
a)
Từ đú suy ra :
b)
Từ đú suy ra :
************************************************
Equation Chapter 1 Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MễN: TOÁN
Dành cho cỏc thớ sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
—————————
(Đề cú 01 trang)
Cõu 1: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh:
b) Giải và biện luận phương trỡnh: (p là tham số cú giỏ trị thực).
Cõu 2: (1,5 điểm)
Cho ba số thực đụi một phõn biệt.
Chứng minh
Cõu 3: (1,5 điểm)
Cho và
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của sao cho là một số nguyờn.
Cõu 4: (3,0 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuụng gúc với AD cắt đường thẳng qua M và vuụng gúc với BC tại Q. Chứng minh:
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Cõu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chỳng là 3 đỉnh của một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đó cho nằm trong một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 4.
—Hết—
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Họ tờn thớ sinh ..................................................................... SBD .......................
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
Dành cho lớp chuyờn Toỏn.
—————————
Cõu 1 (3,0 điểm).
a) 1,75 điểm:
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Điều kiện
0,25
Hệ đó cho
0,25
Giải PT(2) ta được:
0,50
Từ (1)&(3) cú:
0,25
Từ (1)&(4) cú:
0,25
Vậy hệ đó cho cú 4 nghiệm là:
0,25
b) 1,25 điểm:
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Xột 3 trường hợp:
TH1. Nếu thỡ PT trở thành: (1)
TH2. Nếu thỡ PT trở thành: (2)
TH3. Nếu thỡ PT trở thành: (3)
0,25
Nếu thỡ (1) cú nghiệm ; (2) vụ nghiệm; (3) cú nghiệm x nếu thoả món:
.
0,25
Nếu thỡ (1) cho ta vụ số nghiệm thoả món ; (2) vụ nghiệm; (3) vụ nghiệm.
0,25
Nếu thỡ (2) cho ta vụ số nghiệm thoả món ; (1) cú nghiệm x=2; (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm: x = 2 và
+ Nếu p = -1 thỡ phương trỡnh cú vụ số nghiệm
+ Nếu p = 1 thỡ phương trớnh cú vụ số nghiệm
+ Nếu thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = 2.
0,25
Cõu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trỡnh bày
Điểm
+ Phỏt hiện và chứng minh
1,0
+ Từ đú, vế trỏi của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
0,5
Cõu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Điều kiện xỏc định: x1 (do x nguyờn).
0,25
Dễ thấy , suy ra:
0,25
Nếu . Khi đú
Suy ra , hay khụng thể là số nguyờn với .
0,5
Nếu . Khi đú: (vỡ x nguyờn) và . Vậy là một giỏ trị cần tỡm.
0,25
Nếu . Khi đú (do x nguyờn). Ta cú:
và , suy ra hay và .
Vậy cỏc giỏ trị tỡm được thoả món yờu cầu là: .
0,25
Cõu 4 (3,0 điểm):
a) 2,0 điểm:
Nội dung trỡnh bày
Điểm
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
Gọi I là trung điểm AB, . Xột hai tam giỏc KIB và KED cú:
0,25
KB = KD (K là trung điểm BD)
0,25
0,25
Suy ra .
0,25
Chứng minh tương tự cú:
0,25
Suy ra: MI = MR
0,25
Trong tam giỏc IER cú IK = KE và MI = MR nờn KM là đường trung bỡnh KM // CD
0,25
Do CD // AB (gt) do đú KM // AB (đpcm)
0,25
b) 1,0 điểm:
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Ta cú: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bỡnh của ABD IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự trong ABC cú IM//BC hay IR//BC
0,25
Cú: (gt), IE//AD (CM trờn) . Tương tự cú
0,25
Từ trờn cú: IK=KE, là trung trực ứng với cạnh IE của . Tương tự QM là trung trực thứ hai của
0,25
Hạ suy ra QH là trung trực thứ ba của hay Q nằm trờn trung trực của đoạn CD Q cỏch đều C và D hay QD=QC (đpcm).
0,25
Cõu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Trong số cỏc tam giỏc tạo thành, xột tam giỏc ABC cú diện tớch lớn nhất (diện tớch S). Khi đú .
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giỏc, kẻ cỏc đường thẳng song song với cạnh đối diện, cỏc đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giỏc (hỡnh vẽ). Khi đú . Ta sẽ chứng minh tất cả cỏc điểm đó cho nằm trong tam giỏc .
0.25
Giả sử trỏi lại, cú một điểm nằm ngoài tam giỏc chẳng hạn như trờn hỡnh vẽ . Khi đú , suy ra , mõu thuẫn với giả thiết tam giỏc cú diện tớch lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả cỏc điểm đó cho đều nằm bờn trong tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 4.
0.25
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYấN CỦA HẢI PHềNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho tớnh
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trỡnh x2 + b.x + c = 0 ( 1 )
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 )
biết phương trỡnh ( 1 ) cú hai nghiệm x1 ; x2 và phương trỡnh ( 2 ) cú hai nghiệm thoả món điều kiện . xỏc định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )
Cho cỏc số dương a; b; c . Chứng minh rằng
Cho cỏc số dương a; b; c thoả món a + b + c . Chứng ming rằng
Bài 4 : ( 3, 5 điểm )
Cho tam giỏc ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là cỏc tiếp điểm của đường trũn tõm ( O) nội tiếp tam giỏc ABC với cỏc cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt cỏc tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC
Chứng minh tứ giỏc AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
Chứng minh Q; E; F thẳng hàng
Chứng minh
Bài 5 : ( 2 điểm )
Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn 3x - y3 = 1
Cho bảng ụ vuụng kớch thước 2009 . 2010, trong mỗi ụ lỳc đầu đặt một viờn sỏi . Gọi T là thao tỏc lấy 2 ụ bất kỡ cú sỏi và chuyển từ mỗi ụ đú một viờn sỏi đưa sang ụ bờn cạnh ( là ụ cú chung cạnh với ụ cú chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phộp thực hiện cỏc thao tỏc trờn ta cú thể đưa hết sỏi ở trờn bảng về cựng một ụ khụng
Lời giải
Bài 1 :
vậy P = 1
Bài 2 : vỡ =>
Theo hệ thức Vi ột ta cú
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 ú b = 1 ; b = -2
từ ( 4 ) => => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thỡ ( 5 ) luụn đỳng , phương trỡnh x2 + +b x + c = 0 trở thành
X2 + x + 1 = 0 cú nghiệm nếu
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trỡnh x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 cú nghiệm là x =
vậy b= 1; c ;
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :
1. Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho 3 số dương
=>
dấu “=” sảy ra ú a = b = c
2. ta cú
Áp dụng cõu 1 ta cú
=>
vậy . dấu “=” sảy ra ú a = b = c = 1
Bài 4 : a) ta cú
=> tứ giỏc BOPN nội tiếp
+) tương tự tứ giỏc AOQM nội tiếp
+) do tứ giỏc AOQM nội tiếp=>
tứ giỏc BOPN nội tiếp =>
=> => tứ giỏc AQPB nội tiếp
b ) tam giỏc AQB vuụng tại Qcú QE là trung tuyến nờn QE = EB = EA
=> => QE //BC
Mà E F là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC nờn E F //BC
Q; E; F thẳng hàng
c)
Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1
=> tồn tại m; n sao cho
+) nếu m = 0 thỡ y = 0 và x = 0
+) nếu m > 0 thỡ
=> => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vậy p/ trỡnh cú hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )
2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua
Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ
sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ
vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T
Sở giáo dục-đào tạo
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Hà nam
Năm học 2009-2010
Môn thi : toán(đề chuyên)
đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(2,5 điểm)
Giải phương trình:
Giải hệ phương trình:
Bài 2.(2,0 điểm)
Cho phương trình:
Tìm m để x = là nghiệm của phương trình.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn:
Bài 3.(2,0 điểm)
Cho phương trình: ( với m là tham số, x là ẩn số). Tìm giá trị của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ.
Tìm số thoả mãn:.
Bài 4.(3,5 điểm)
Cho ∆ABC nhọn có Đường tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE.
Chứng minh:.
Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET.
Gọi Bt là tia của đường thẳng BC và chứa điểm C. Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đường thẳng NE tương ứng luôn đi qua một điểm cố định.
----------- Hết----------
Gợi ý một số câu khó trong đề thi:
Bài 3:
Ta có =
Để phương trình có nghiệm hữu tỷ thì phải là số chính phương. Giả sử
= n2( trong đó n là số tự nhiên).
Khi đó ta có
Do nN nên 2m-3+n>2m-3-n
Và do mZ, nN và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
Từ đó xét 4 trường hợp ta sẽ tìm được giá trị của m.
2)Từ giả thiết bài toán ta có:
Ta có là số lẻ và do nên 5.
Mà là số chẵn nên phải có tận cùng là 6phải có tận cùng là 4 hoặc 9. (*)
Mặt khác và
là số lẻ<500(**)
Kết hợp (*) và (**) ta có {4; 9; 49; 64}
a+b {2; 3; 7; 8}
+ Nếu a+b{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k ± 1(kN) khi đó chia hết cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k ± 1+9a không chia hết cho 3 không 3 c N
+ Nếu a+b =3 ta có . Vì 0<a<4 và 1+3a71+3a=7a=2, khi đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn.
Kết luận số 216 là số cần tìm.
Bài 4:
* ý c : Chứng minh KT.BN=KB.ET
Cách 1:C/m AKTIET
C/m AKBINB
Do IE=IN từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Cách 2:
C/m TKETAI
C/m BIMBAK
Theo tính chất tia phân giác của ABT ta có
Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m
*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:
Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và không đổi (tia Bx là tia phân giác của )
Xét ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cos không đổi
Như vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K cố định đpcm.
Sở GD&ĐT Nghệ An
Đề thi chính thức
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trường thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010
Mụn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trỡnh
b) Giải hệ phương trỡnh
Bài 2: (1.0 điểm)
Tỡm số thực a để phương trỡnh sau cú nghiệm nguyờn
.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường phõn giỏc trong BE (E thuộc AC). Đường trũn đường kớnh AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khỏc B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, trung tuyến AO cú độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường trũn đường kớnh BC cắt cỏc cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khỏc B, N khỏc C). Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AMN và đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giỏc BOIM nội tiếp được một đường trũn và tứ giỏc BICK là hỡnh bỡnh hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a) Bờn trong đường trũn tõm O bỏn kớnh 1 cho tam giỏc ABC cú diện tớch lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trờn cạnh của tam giỏc ABC.
b) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món: .
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
----------------------------------------Hết----------------------------------------
Họ và tờn thớ sinh .... SBD.
Sở GD&ĐT Nghệ An
Đề thi chính thức
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên
phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Hướng dẫn chấm thi
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
3,5 đ
a
2,0đ
0.50đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
( thỏa mãn )
0.50đ
b
1,50đ
Đặt
0.25đ
Hệ đã cho trở thành
0.25đ
0,25đ
0,25đ
(vì ).
0,25đ
Từ đó ta có phương trình:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
0,25đ
Bài 2:
1,0 đ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: (*).
0,25đ
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).
Theo định lý Viet:
0,25đ
hoặc (do x1 - 1 ≥ x2 -1)
hoặc
Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ
Vì BE là phân giác góc nên
0,25đ
(1)
0,50đ
Vì M, N thuộc đường tròn đường kính AB nên
0,25đ
, kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK
0,50đ
0,25đ
ị AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
K
Chứng minh tương tự (1) ta được:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO2 - R2 = 3R2
0,25đ
ị AI.AO = 3R2 (2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R2
(3)
0,25đ
Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ
Bài 5:
2,0 đ
a,
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
nằm về 2 phía của đường thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH Ê AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
Suy ra (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b,
1,0đ
Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
0,25đ
mà a3 + ab2 ³ 2a2b (áp dụng BĐT Côsi )
b3 + bc2 ³ 2b2c
c3 + ca2 ³ 2c2a
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
0,25đ
Suy ra
0,25đ
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t ³ 3.
Suy ra ị P ³ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
Đề chớnh thức
MễN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009
Cõu 1: (2,0 điểm)
Cho số x () thoả món điều kiện : . Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức : A = và B = .
Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 (a 0) cú hai nghiệm x1, x2 thoả món điều kiện: . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: .
Cõu 3: (2,0 điểm)
Giải phương trỡnh: .
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyờn tố.
Cõu 4: (3,0 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của cỏc đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK BN.
Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = . Vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm). Một gúc xOy cú số đo bằng 450 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng .
Cõu 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đú ad – bc = 1. Chứng minh rằng: P .
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
Họ và tờn thớ sinh: .. Số bỏo danh: ..
sở giáo dục - đào tạo hà nam
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 - 2010
Môn thi : toán(Đề chung)
đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức P =
Tìm điều kiện xác định của P
Rút gọn P
Tìm x để P > 0
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
Bài 3. (2 điểm)
Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x2
Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau).
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N.
Chứng minh ACB và AMN đồng dạng
Chứng minh KN là tiếp tuýn với đường tròn (AH)
Tìm trực tâm của ABK
Bài 5. (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + x = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
-----File đính kèm:
50 de thi chuyen 09.doc
