500 bài toán bất ðẳng thức chọn lọc

500 
 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
Cao Minh Quang 
♦♦♦♦♦ 
Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 2 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
♦♦♦♦♦ 
1. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 21 1 1
2
a b b c c a+ − + + − + + − ≥ . 
Komal 
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < . 
Junior TST 2002, Romania 
3. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng 
minh rằng 
3b c c a a b a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + + . 
Gazeta Matematică 
4. Nếu phương trình 4 3 22 1 0x ax x bx+ + + + = cĩ ít nhất một nghiệm thực, thì 
2 2 8a b+ ≥ . 
Tournament of the Towns, 1993 
5. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 
3 3 3 3x y z xyz+ + − . 
6. Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh 
rằng 
( )( )2ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c+ + + + + + + ≤ + + . 
Ukraine, 2001 
7. [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
9
4
a b c
a b cb c c a a b
+ + ≥
+ ++ + +
. 
8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0a b c≥ . Chứng minh rằng 
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 22 2 2a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab+ + + + + + + + ≥ + + + + + . 
Gazeta Matematică 
9. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2abc = . Chứng minh rằng 
3 3 3a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
10. [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) 4
1
1 3 8 9 6 7
xyz
x x y y z z
≤
+ + + +
. 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 3 
Gazeta Matematică 
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( )2 2 2 3 3 35 6 1a b c a b c+ + ≤ + + + . 
12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., nx x x ∈ℝ , 2, 0n a≥ > sao cho 
2
2 2 2
1 2 1 2... , ... 1n n
a
x x x a x x x
n
+ + + = + + + ≤
−
. 
Chứng minh rằng 
20, , 1, 2,...,i
a
x i n
n
 
 ∈ =
  
. 
13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
1
4 4 4
b a c b a c
b c c a c a a b a b b c
+ + ≥
− − −
. 
14. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc≤ . Chứng minh rằng 
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + + . 
15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn điều 
kiện , a x b y c z a b c x y z+ ≥ + ≥ + + + = + + . Chứng minh rằng 
ay bx ac xz+ ≥ + . 
16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
1abc = . Chứng minh rằng 
3 61
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
. 
Junior TST 2003, Romania 
17. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
18. Cho 1 2, ,..., 0, 3nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
1 1 2 2 3 1
1 1 1
... 1
1 1 1 n nx x x x x x x x
+ + + >
+ + + + +
. 
Russia, 2004 
19. [ Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa điều kiện 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . 
Chứng minh rằng 
a) 1 ,
8
xyz ≤ 
b) 3 ,
2
x y z+ + ≤ 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 4 
c) 2 2 23 ,
4
xy yz zx x y z+ + ≤ ≤ + + 
d) 1 2
2
xy yz zx xyz+ + ≤ + . 
20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5, ,...,x x x ∈ℝ sao cho 1 2 5... 0x x x+ + + = . Chứng minh rằng 
1 2 5cos cos ... cos 1x x x+ + + ≥ . 
Gazeta Matematică 
21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 23 1 1 1xy yz zx x y z+ + ≥ + + + + + + . 
22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện , , 1x y z>− . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2
1 1 1
x y z
y z z x x y
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
. 
JBMO, 2003 
23. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
. 
24. Cho , , 0a b c≥ thỏa mãn điều kiện ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + . Chứng minh 
rằng 
( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + . 
Kvant, 1988 
25. Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 
1 2
1 1 1 1
...
1998 1998 1998 1998nx x x
+ + + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng 
1 2... 1998
1
n
nx x x
n
≥
−
. 
Vietnam, 1998 
26. [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2x y z xyz+ + = . 
Chứng minh rằng 
a) 27,xyz ≥ 
b) 27xy yz zx+ + ≥ , 
c) 9x y z+ + ≥ , 
d) ( )2 9xy yz zx x y z+ + ≥ + + + . 
27. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng 
x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 5 
Russia 2002 
28. [ D. Olteanu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3
. . .
2 2 2 4
a b a b c b c a c
b c a b c c a b c a a b c a b
+ + +
+ + ≥
+ + + + + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
29. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
a b c c a a b b c
b c a c b a c b a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
. 
India, 2002 
30. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 ab bc caa b c
b bc c c ac a a ab b a b c
+ +
+ + ≥
− + − + − + + +
. 
Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 
31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số nguyên đơi một phân biệt nhau. Chứng 
minh rằng 
2 2 2
1 2 1 2 2 3 1... ... 2 3n nx x x x x x x x x n+ + + ≥ + + + − . 
32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n≥ > thỏa mãn điều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2 2
1 2 2 3 1 1... n n nx x x x x x x x−+ + + + . 
Crux Mathematicorum 
33. Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn điều kiện 1 1 2 ...k kx x x x+ ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị 
lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2... ...n nx x x c x x x+ + + ≤ + + + . 
IMO Shortlist, 1986 
34. Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn điều kiện 1a x b y c z+ = + = + = . Chứng 
minh rằng 
( ) 1 1 1 3abc xyz
ay bz cx
 + + + ≥   
. 
Russia, 2002 
35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 
rằng 
( )1
2 2 2 4
ab bc ca
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
36. Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + + . 
37. [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 6 
( )( ) ( )( ) ( )( )
1x y z
x x y x z y y z y x z z x z y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
. 
Crux Mathematicorum 
38. Cho 1 2, ,..., , 2na a a n≥ là n số thực sao cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng 
4 4 4 4 4 4
1 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 
39. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
 + + + + + ≥ + +   + + +
. 
40. Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số 
1
1 ,
a a 12 3 1,..., ,
aaa nn
na a a
− nhỏ hơn hoặc bằng 3 3 . 
Adapted after a well – known problem 
41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
a) 1
8
xyz ≤ , 
b) 3
2
x y z+ + ≥ , 
c) ( )1 1 1 4 x y z
x y z
+ + ≥ + + , 
d) ( ) ( )
( )
{ }
22 11 1 1 4 , max , ,
2 1
z
x y z z x y z
x y z z z
−
+ + − + + ≥ =
+
. 
42. [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + . 
43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
{ } { }max , , min , , 1a b c a b c− ≤ 
Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 21 6 3 3 3a b c abc a b b c c a+ + + + ≥ + + . 
44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
2 2 2 1 1 127 2 2 2 6a b c a b c
bc ca ab a b c
            + + + + ≥ + + + +                  
. 
45. Cho 
2
0 k+1
1
, a
2
k
k
a
a a
n
= = + . Chứng minh rằng 
11 1na
n
− < < . 
TST Singapore 
46. [ Călin Popa ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 7 
2 2 2
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 4
a b c a b c
a b c a b c
 − − −  + + ≥ + +  − − −  
. 
47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , 1x y z ≤ thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1 27
1 1 1 10x y z
+ + ≤
+ + +
. 
48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 151 1 1 2x y z xyz x y y z z x− − − ≥ + + + . 
49. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2xyz x y z= + + + . Chứng minh rằng 
a) ( )2xy yz zx x y z+ + ≥ + + , 
b) 3
2
x y z xyz+ + ≤ . 
50. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2x y z+ + = . Chứng minh rằng 
2x y z xyz+ + ≤ + . 
IMO Shortlist, 1987 
51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ và σ là một hốn vị của 
{ }1,2,...,n . Chứng minh rằng 
( )
1
1 1
1 11 .
1 1 .
n
in n
i
i ii i i
x
x n x x
σ
=
= =
        ≥ +    − −       
∑
∑ ∑ . 
52. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
1
1 1
1
n
i ix=
=
+∑ . Chứng minh rằng 
( )
1 1
11
n n
i
i i i
x n
x= =
≥ −∑ ∑ . 
Vojtech Jarnik 
53. [ Titu Vàreescu ] Cho 3n> và 1 2, ,..., na a a là các số thực thỏa mãn điều kiện 
1
n
i
i
a n
=
≥∑ 
và 2 2
1
n
i
i
a n
=
≥∑ . Chứng minh rằng 
{ }1 2max , ,..., 2na a a ≥ . 
USAMO, 1999 
54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
0a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
. 
55. Cho ,x y là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1y xx y+ > . 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 8 
France, 1996 
56. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )4 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + − . 
MOSP, 2001 
57. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) ( )2 2 2a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca+ + + − + − + − ≤ + + . 
58. [ D.P.Mavlo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 11 1 13 3
1
a b ca b c
a b c
a b c b c a abc
+ + +
+ + + + + + + + + ≥
+
. 
Kvant, 1988 
59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
( )
1 1 1
1
. 1
n
n nn
n n
i i
i i i i
n x x
x= = =
  + ≥ +   
∑ ∑∏ . 
60. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
3 3 3 1 1min ,
4 9 27
d
a b c abcd
   + + + ≥ +    
. 
Kvant, 1993 
61. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 1 1a b a c b c a b c a b b c c a+ + − − ≥ + + + − − −∑ . 
AMM 
62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
1xyz = và 1α≥ . Chứng minh rằng 
3
2
x y z
y z z x x y
α α α
+ + ≥
+ + +
. 
63. Cho 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x y y y ∈ℝ thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 21 2 1 2... ... 1n nx x x y y y+ + + = + + + = . 
Chứng minh rằng 
( )21 2 2 1
1
2 1
n
i i
i
x y x y x y
=
  − ≤ −   ∑ . 
Korea, 2001 
64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương khác nhau từng đơi một. 
Chứng minh rằng 
( )2 2 21 2 1 2
2 1
... ...
3n n
n
a a a a a a
+
+ + + ≥ + + + . 
TST Romania 
65. [ Călin Popa ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng 
minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 9 
( ) ( ) ( )
3 3
43 3 3
b c c a a b
a c ab b a bc c b ca
+ + ≥
+ + +
. 
66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện 
( )( )( )( )2 2 2 21 1 1 1 16a b c d+ + + + = . Chứng minh rằng 
3 5ab bc cd da ac bd abcd− ≤ + + + + + − ≤ . 
67. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )2 2 22 2 2 9a b c ab bc ca+ + + ≥ + + . 
APMO, 2004 
68. [ Vasile Cirtoale ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn các điều kiện 0 ,x y z< ≤ ≤ 
 2x y z xyz+ + = + . Chứng minh rằng 
a) ( )( )( )1 1 1 0xy yz zx− − − ≥ , 
b) 2 3 2 321,
27
x y x y≤ ≤ . 
69. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc+ + ≥ . 
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là đúng 
2 3 6 2 3 6 2 3 66, 6, 6
a b c b c a c a b
+ + ≥ + + ≥ + + ≥ . 
TST 2001, USA 
70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều 
kiện x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 6 3 10x y z− − − ≤ − . 
71. [ Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 3 3 3
4
a b b c c aa b b c c a
a b b c c a
− + − + −− − −
+ + ≤
+ + +
. 
Moldova TST, 2004 
72. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )35 2 5 2 5 23 3 3a a b b c c a b c− + − + − + ≥ + + . 
USAMO, 2004 
73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 
2
1 1
1 1
n n
k
k k k
x n
x= =
     = +     
∑ ∑ . 
Chứng minh rằng 
( )
2 2
2
1 1
1 24
1
n n
k
k k k
x n
x n n= =
     > + +    −  
∑ ∑ . 
74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các số thực dương. 
Chứng minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 10 
( )( )( )2 2 2 2 3 1 1 1a b c abc a b c+ + + + ≥ + + + . 
75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2
8
2 2 2
a b c b a c c b c
a b c b a c c a b
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
. 
USAMO, 2003 
76. Cho ,x y là các số thực dương và ,m n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )( ) ( )1 11 1 1m n m n m n n m m n m nn m x y m n x y x y mn x y y x+ + + − + −− − + + + − + ≥ + . 
Austrian – Polish Competition, 1995 
77. Cho , , , ,a b c d e là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abcde= . Chứng minh rằng 
10
1 1 1 1 1 3
a abc b bcd c cde d dea e eab
ab abcd bc bcde cd cdea de deab ea eabc
+ + + + +
+ + + + ≥
+ + + + + + + + + +
. 
Crux Mathematicorum 
78. [ Titu Vàreescu ] Cho , , 0,
2
a b c π
 ∈   
. Chứng minh rằng 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
sin .sin .sin sin .sin .sin sin .sin .sin
0
sin sin sin
a a b a c b b c b a c c a c b
b c c a a b
− − − − − −
+ + ≥
+ + +
. 
TST 2003, USA 
79. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + + . 
KMO Summer Program Test, 2001 
80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2na a a n> > thỏa mãn điều kiện 
1 2... 1na a a = . Hãy tìm hằng số nk nhỏ nhất sao cho 
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 3 11 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
...
n
n
n n
a a a aa a k
a a a a a a a a a a a a
+ + + ≤
+ + + + + +
. 
81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 23ax by cz a b c x y z a b c x y z+ + + + + + + ≥ + + + + . 
Kvant, 1989 
82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
3 1 2a b c b c a
b c a a b c
     + + − ≥ + +       
. 
83. [ Walther Janous ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . 
Chứng minh rằng 
1 1
11
1
n n
i
i ii i
n x
x x= =
   −   + ≥      −   
∏ ∏ . 
Crux Mathematicorum 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 11 
84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều 
kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
1 2
1 1 1
... 1
1 1 1 nn x n x n x
+ + + ≤
− + − + − +
. 
TST 1999, Romania 
85. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa điều kiện 2 2 2 4a b c abc+ + + = . 
Chứng minh rằng 
0 2ab bc ca abc≤ + + − ≤ . 
USAMO, 2001 
86. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ){ }2 2 23 max , ,3
a b c
abc a b b c c a+ + − ≤ − − − . 
TST 2000, USA 
87. [ Kiran Kedlaya ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3
3
. .
3 2 3
a ab abc a b a b c
a
+ + + + +
≤ . 
88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n khơng chính phương, ta 
cĩ 
( ) ( )1 sinn n kπ+ > . 
Vietnamese IMO Training Camp, 1995 
89. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa điều kiện ( )3 32x y z xyz+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( )
4 4 4
4
x y z
x y z
+ +
+ +
. 
Vietnam, 2004 
90. [ George Tsintifas ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 42 2 2 216a b b c c d d a a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + . 
Crux Mathematicorum 
91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều 
kiện 1a b c+ + = và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )
1 1 1
n n n
ab bc ca
ab bc ca
+ +
− − −
. 
92. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )3 3
1 1 1 3
1 1 1 1a b b c c a abc abc
+ + ≥
+ + + +
. 
93. [Trần Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 9a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 12 
( )2 10a b c abc+ + − ≤ . 
Vietnam, 2002 
94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 3a b b c c a
b c c a a b
                  + − + − + + − + − + + − + − ≥                            
. 
95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất nm và số 
thực nhỏ nhất nM sao cho với các số thực dương bất kì 1 2, ,..., nx x x (xem 0 1 1,n nx x x x+= = ), 
ta cĩ 
( )1 1 12 1
n
i
n n
i i i i
x
m M
x n x x= − +
≤ ≤
+ − +∑ . 
96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x xy y y yz z z zx x x y z
+ + ≥
+ + + + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )3 3 3 3 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c d abcd a b c d+ + + + ≥ + + + + + . 
Gazeta Matematică 
98. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 447a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + . 
Vietnam TST, 1996 
99. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + +
. 
Bulgaria, 1997 
100. [Trần Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa 21 2 8 12ab bc ca+ + ≤ . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 2 3
a b c
+ + . 
Vietnam, 2001 
101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn 
điều kiện 3xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) 3a b cy z z x x y
b c c a a b
+ + + + + ≥
+ + +
. 
102. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 22 2 2
3
5
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
. 
Japan, 1997 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 13 
103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho { }1 2 1 2, ,..., 0, min , ,...,n n na a a a a a a≥ = . 
Chứng minh rằng 
( ) 1 2 11 2 1 2
...
... ... 1
1
n
n n n n
n n n
a a a
a a a na a a n a
n
− + + + + + + − ≥ − −   −
. 
104. [ Turkervici ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22x y z t xyzt x y y z z t x z y t+ + + + ≥ + + + + . 
Kvant 
105. Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2
1 , 1 1
n n
i i j
i i j
ij
a a a
i j= =
   ≤   + − 
∑ ∑ . 
106. Cho ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 1001,2002n na a a b b b ∈ sao cho 2 2 2 2 2 21 2 1 2... ...n na a a b b b+ + + = + + + . 
Chứng minh rằng 
( )
33 3
2 2 21 2
1 2
1 2
17
... ...
10
n
n
n
aa a
a a a
b b b
+ + + ≤ + + + . 
TST Singapore 
107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều 
kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28a b b c c a a b b c c a+ + + ≥ + + . 
108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abcd = . 
Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1a b c d
+ + + ≥
+ + + +
. 
Gazeta Matematică 
109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực 1 2, ,..., na a a . Chứng minh rằng 
( )
2
2
* 1
...i i j
i j ni
a a a
≤ ≤ ≤∈
   ≤ + +   
∑ ∑
ℕ
. 
TST 2004, Romania 
111. [Trần Nam Dũng ] Cho [ ]1 2, ,..., 1,1nx x x ∈ − thỏa mãn điều kiện 3 3 31 2 ... 0nx x x+ + + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 2 ... nx x x+ + + . 
112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực 1 2, ,..., , 2na a a n≥ thỏa mãn điều 
kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 14 
( )2 2 21 2 1 2
2
... 1 ...
1
n
n n
n
a a a n n a a a n
n
+ + + − ≥ − + + + −
−
. 
113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 3a b c
a b b c c a
+ + ≤
+ + +
. 
Gazeta Matematică 
114. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 9
4
xy yz zx
x y y z z x
 
 + + + + ≥ 
+ + +  
. 
Iran, 1996 
115. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
( )
1
3 1 2
n
n
i
i
x
=
+ ≤∏ . 
Chứng minh rằng 
1
1
6 1 3
n
i i
n
x=
≥
+∑ . 
116. [ Suranyi ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( )1 1 11 2 1 2 1 2 1 21 ... ... ... ...n n n n n nn n n nn a a a na a a a a a a a a− − −− + + + + ≥ + + + + + + . 
Miklos Schweitzer Competition 
117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn điều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng 
minh rằng 
( )2 2
1 1
n
i j i
i j n i
x x x n
≤ ≤ ≤ =
− ≥ −∑ ∑ . 
A generazation of Tukervici’s Inequality 
118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho 1 2 1, ,..., 1na a a n . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
( )
1 2
1
...
1 1
n
n
i i
a a a
n a= − −
∑ . 
119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho [ )1 2, ,..., 0,1na a a ∈ thỏa mãn điều kiện 
2 2 2
1 2 ... 3
3
na a aa
n
+ + +
= ≥ . 
Chứng minh rằng 
1 2
2 2 2 2
1 2
...
1 1 1 1
n
n
aa a na
a a a a
+ + + ≥
− − − −
. 
120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn điều 
kiện 
500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 15 
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 4a b c x y z a b c x y z+ + + + = + + + + = . 
Chứng minh rằng 
1
36
abcxyz < . 
121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 1 2... 1nx x x = . Tìm 
hằng số nk nhỏ nhất sao cho 
1 2
1 1 1
... 1
1 1 1n n n n
n
k x k x k x
+ + + ≤ −
+ + +
. 
Mathlinks Contest 
122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn điều kiện 
2 2 2
1 2 ... 1nx x x+ + + = . Tìm hằng số nk lớn nhất sao cho 
( )( ) ( )1 2 1 21 1 ... 1 ...n n nx x x k x x x− − − ≥ . 
123. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
. 
IMO, 1995 
124. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
5 5 5 5 5 5 1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + +
. 
IMO Shortlist, 1996 
125. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1 18ab bc ca
c a b a b c
+ + +
+ + ≥
+ +
. 
Hong Kong, 2000 
126. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
1 1 1 1
21 1 1 1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + + + + +
. 
127. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
1 1 11 1 1 1a b c
b c a
       − + − + − + ≤           
. 
IMO, 2000 
128. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( )( ) (