7 bài ôn tập về tam giác và các đường trong tam giác

7 BÀI ƠN TẬP VỀ TAM GIÁC 
VÀ CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác.
Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. 
Mọi đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác đều thì chia tam giác đĩ thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau.
Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác. Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến tương ứng với cạnh này.
Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường trịn nội tiếp của tam giác.
Trong hai cạnh của cùng một tam giác cạnh đối diện với gĩc lớn hơn cĩ chiều dài lớn hơn. Gĩc đối diện với cạnh lớn hơn là gĩc lớn hơn.
Tổng các gĩc trong của một tam giác bằng hai gĩc vuơng
Diện tích tam giác = ½ đáy x chiều cao. Cũng cĩ thể tính diện tích tam giác S theo
 ______________
 Cơng thức Heron: S = Ưp(p-a)(p-b)(p-c) trong đĩ p là nửa chu vi của tam giác.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đĩ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đĩ song song với cạnh cịn lại của tam giác.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh cịn lại của tam giác thì nĩ tạo ra tam giác mới cĩ ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho. 
Độ dài mỗi cạnh của 1 tam giác lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng..

Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE và D CDE.

Lời giải : Gọi M là trung điểm của BC, dựng BI, CK song song với d (I, K nằm trên AM), khi đĩ MI = MK, Þ AI + AK = 2 AM mà AG = 2/3 AM 
 Þ AI + AK = 3AG
è AB/AD + AC/AE = AI/AG + AK/AG
 = 3AG/AG =3

Dựng AH, BB1, MM1, CC1 vuơng gĩc với d, 
 lúc đĩ AH = 2MM1.
Mặt khác, MM1 là đường trung bình của 
hình thang BB1C1C nên : 

BB1 + CC1 = 2MM1 = AH.

Từ đĩ : 

áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương ta được : 





Do đĩ :




Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AD/AB = AE/AC hay d // BC. Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác BDE và CDE là 4/9 diện tích tam giác ABC, đạt được khi d // BC. 

Bài 2: Trên 3 cạnh của DABC, lấy D,E,F lần lượt trên AC,AB, AC tạo ra các D tương ứng . Biết SI FC = 35 cm2; SIDC = 30 cm2; SIDB = 40 cm2
Tìm các diện tích các tam giác: DIAF, DIAE, DIEB ?
Lời giải : 
Đặt a, b, c là diện tích các tam giác: DIAF, DIAE, DIEB 
Trên IB và IF về 2 phía cĩ 2 cặp D chung đáy hoặc chung chiều cao, mà chung chiều cao thì tỷ lệ diện tích 2 D tương ứng = tỷ lệ IB/IF. Do cĩ
 SIAB / SIAF = SIBC/SIFC = (IB/IF) 
 Þ (b + c)/a = (30 + 40)/35 hay b + c = 2a (1*) 
Mặt khác, từ IA và ID tương tự như trên cĩ : 
 SIAB/SIDB = SIAC/SIDC (IA/ID)
 Þ (b + c)/40 = (a + 35)/40 Thay (*) vào ta được
 6a = 4(a + 35) Þ a = 70, từ đĩ b + c = 140 (2*) 
CM tương tự trên ta cĩ : SIBC/SIBE = SICA/SIEA (IC/IE)
 Þ (30 + 40)/b = (a + 35)/c (3*) 
Từ (2), (3) ta nhận được b = 56, c = 84.
 Do đĩ các diện tích a, b, c lần lượt là 70 cm2, 56 cm2, 84 cm2. (ĐS)

Bài 3: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C). Chứng minh : Trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN. 

Lời giải : Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt L là giao điểm của BG và AC ; O là giao điểm của BL và MN. 
Ta cĩ : AL = CL ; GB/GL = 2    (1) 
Theo giả thiết : S(AMN) = 1/2 . S(ABC) 
Mặt khác, vì AL = CL nên :
 S(ABL) = 1/2 . S(ABC) 
Vậy S(AMN) = S(ABL) Þ S(OLN) = S(OMB) 
 Þ S(BLN) = S(NMB) => ML // BN 
 OB/OL = BN/ML = AN/AL < AC/AL = 2 (2) (định lí Talét) 
Từ (1), (2) Þ OB/OL < GB/GL Þ OB/OL + 1 < GB/GL + 1 Þ BL/OL < BL/GL
GL < OL Þ G thuộc đoạn OL Þ G thuộc tam giác AMN (đpcm). 

Bài 4: Cho tam giác ABC cĩ AB > AC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm N, M tương ứng, sao cho AN = AM. Gọi O là giao điểm của BM, CN. 
Chứng minh rằng : OB > OC. 

Lời giải : 
*Vì AB > AC > AM = AN nên tồn tại điểm K thuộc đoạn BN sao cho : AK = AC. 
Gọi L là giao điểm của KM và CN. Vì K thuộc đoạn BN nên L thuộc đoạn ON
 Þ Ð OMN > ÐLMN. 
Mặt khác, dễ thấy tam giác LMN cân tại L
Þ ÐLNM =Ð LMN 
Vậy : Ð OMN > Ð ONM => ON > OM   (1). 
∆AKM = ∆ACN (c.g.c) => KM = CN   (2). 
*Vì AK = AC nên tam giác AKC cân tại A 
Þ ÐAKC 90o 
Þ Ð BKM > ÐKMB Þ BM > KM   (3). 
Từ (2) và (3) suy ra : BM > CN   (4) 
Từ (1) và (4) suy ra : BM - OM > CN - ON Þ OB > OC. ĐPCM
Bài 5: 
Cho tam giác ABC cĩ BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần lượt là độ dài các phân giác trong của các gĩc A, B, C. Chứng minh rằng : 

Lời giải : 
Gọi AD là phân giác của ÐA. Dựng qua B đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AC tại E. 
* Cĩ ÐAEB=ÐCAD (hai gĩc đồng vị) ; 
Þ ÐCAD = Ð ABE (hai gĩc so le trong)
Þ ÐDAB = ÐAEB Þ Ð ABE = ÐCAD=Ð DAB 
Þ ∆ ABE cân tại A Þ AB = AE = c. 
*Mặt khác : AD/BE = CA/CE hay x/BE = b/(b + c) 
 Þ suy ra BE = x.(b+c)/b 
*Trong ∆ABE cĩ BE < AB + AE hay BE < 2c (2). 
Từ (1), (2) ta cĩ x 1/x > 1/2 (1/b + 1/c) 
Tương tự 1/y > 1/2 (1/a + 1/c) ; 1/z 1/2 (1/a + 1/b) 
Do đĩ 1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b +1/c .
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương ta cĩ : 

Kết hợp với giả thiết a + b + c = 9 ta được 1/a + 1/b + 1/c ≥ 1 
Từ (3), (4) suy ra 1/x + 1/y = 1/z > 1 , điều phải chứng minh. 

Bài 6:
 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng : 


Lời giải 
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân các đường cao hạ từ A, B, C của ∆ ABC. 
Vì ∆ ABC nhọn nên H nằm trong tam giác. Vậy : 
S(HBC) + S(HCA) + S(HAB) = S(ABC). 
Mặt khác, dễ thấy ∆ CHB’ ~ ∆ CAC’ (g.g) 


Bài 7
Chia mỗi cạnh của 1 tam giác XYZ làm 3 phần bằng nhau, nối từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác tới 3 điểm 1/3 nằm trên cạnh đối diện (các đoạn đĩ gọi là cevian, đặt theo tên của Giovanni Ceva-nhà tốn học người Ý thế kỉ 17). 3 đoạn thẳng đĩ chia hình tam giác XYZ thành 7 phần, mà diện tích của mỗi phần là bội số của 1/21 tổng diện tích tam giác.(các tỷ lệ Ddo CeVa tìm rầGọi là D Cevian). Tính tỉ lệ diện tích của 7 phần trên theo diện tích tam giác XYZ

Bài giải
Đây là bài khĩ. Để dễ theo dõi, ta gọi So = SD XYZ đơng thời đánh số các tam giác nhỏ theo 3 loại diện tích (Hình trên) và Kí hiệu 
A = S1 = S2 = S3; B = S4=S5=S6; C=S7 kẻ thêm XW 
 Vì D XWT cĩ đáy = 2 đáy DYWT àSDXWT= 2B

Do cách chia ta cĩ: SDYTZ =1/3 So = 2B + A (*)
 S DYWZ = 2SDYWX àA + B = 2(B+2B)àA= 5B (**)
à thay vào (*) è B=1/21 So è A= 5/21So (***)
SDTXZ= 2A+B+C= 2/3So à thay (***) vào cĩ C=3B=3/21So

 Cĩ 5B = STWQR = STXVW àSDXWV = 3B
 èSDWUZ = 2. SDXWV = 8BàSDWVQ = 3B
 Mà 3B = 3/21So è SDXWV = 3/21So

Kết luận: Tinhd được
A = S1 = S2 = S3 = 5/21 SD XYZ; 
B = S4=S5=S6 =1/21; C=S7 =3/21 SD XYZ



 PHH Sưu tầm và chỉnh chọn lời giải 2-2014