Bài giảng Căn thức - Rút gọn biểu thức
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài giảng Căn thức - Rút gọn biểu thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phần I: Đại số CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức I. căn thức: Kiến thức cơ bản: 1. Điều kiện tồn tại : có nghĩa 2. Hằng đẳng thức: 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: 5. Đưa thừa số ra ngoài căn: 6. Đưa thừa số vào trong căn: 7. Khử căn thức ở mẫu: 8. Trục căn thức ở mẫu: Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Rỳt gọn biểu thức Bài1 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) Bài 2: 1) 2) 3) 4) - 5) + 6) 7) 8) 9) Lưu ý : Khi khai căn dạng E = ta làm như sau Tìm x, y sao cho x, y là nghiệm của hệ phương trình và đưa về biểu thức Giải phương trỡnh: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ; 10) ; 11) ; 12) 13) 14) II. các bài toán rút gọn: A.các bước thực hiên: 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại *Lưu ý: Trước khi tìm ĐKXĐ ta phân tích mẫu thức thành nhân tử ( nếu được) Sau đó rút gọn từng phân thức (nếu được) 2.Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : - Hệ số là BCLN của các hệ số - Biểu thức chứa chữ: là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. 3.Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. 4.Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. 5.Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên). 6.Rút gọn. B.Bài tập luyện tập: Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 1) Rỳt gọn biểu thức P. 2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1. Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa 2/.Rỳt gọn biểu thức A 3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) a) Rỳt gọn A b) Tỡm x để A = - 1 Bài 5: Cho biểu thức : B = a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị của B với x =3 c; Tìm giá trị của x để Bài 6: Cho biểu thức: P = a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = 2 Bài 7: Cho biểu thức: Q = ( a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q b; Tìm a để Q dương c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 Bài 8: Cho biểu thức: M = a/ Tìm ĐKXĐ của M. b/ Rút gọn M Tìm giá trị của a để M = - 4 Bài 9: Cho biểu thức: K = a. Tìm x để K có nghĩa b. Rút gọn K c. Tìm x khi K= d. Tìm giá trị lớn nhất của K Bài 10: Cho biểu thức: G= Xác định x để G tồn tại Rút gọn biểu thức G Tính số trị của G khi x = 0,16 Tìm giỏ trị lớn nhất của G Tìm x ẻ Z để G nhận giá trị nguyên Bài 11 : Cho biểu thức: P= Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 Rút gọn biểu thức trên Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1 Bài 12 : cho biểu thức Q= Tìm a dể Q tồn tại Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a Bài 13: Cho biểu thức : A= Rút gọn A Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2 Bài 14:Xét biểu thức: P= (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố ---------------------------------- CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất I. Hàm số: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. hàm số bậc nhất: Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Hàm số bậc nhất có dạng: Trong đó a; b là các hệ số Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là: Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 - m) x - 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Giải: Hàm số (1) là bậc nhất Tính chất: + TXĐ: + Đồng biến khi . Nghịch biến khi Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 - m) x - 2 (2) Tìm các giá trị của m để hàm số (2): + Đồng biến trên R + Nghịch biến trên R Giải: + Hàm số (1) Đồng biến + Hàm số (1) Nghịch biến Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x = 0 => y = b => điểm P(0; b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y = 0 => x = -b/a => điểm Q(-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b Đường thẳng qua hai điểm P(0;b) và Q (-b/a;0) là đồ thị H.Số y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x + 1 Giải: Cho x= 0 => y=1 => điểm P(0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Cho y=0 => x=-1/2 => điểm Q(-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Đường thẳng qua hai điểm P(0;1) và Q(-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1 Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + Cắt nhau: (d1) cắt (d2). */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện . */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : + Song song với nhau: (d1) // (d2). + Trùng nhau: (d1) (d2). Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m) x + 2 (d1) Và y = 2 x – m (d2) a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau. b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Giải: a/ (d1)//(d2) b/ (d1) cắt (d2) c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn. Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox Giải: Ta có: Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox. Ta có: Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xỏc dịnh cỏc giỏ trị của cỏc hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến; hai đường thẳng song song; cắt nhau; trựng nhau. Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên. - Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem lại các ví dụ ở trên. ÔXỏc định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. ÔTớnh chu diện tớch của cỏc hỡnh tạo bởi cỏc đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Pytago để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S . - Dạng 3: Tớnh gúc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ ở trên. - Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. - Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. - Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng: (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = - x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1 điểm cố định. b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1; d2 ; d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT đường thẳng (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 + m2 - 5 Với mọi m => m2(x0+1) - (x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi : x0+ 1 = 0 x0+ y0+ 5 = 0 suy ra : x0 =-1 Y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B(x;y) của (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 ta có y = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) *Hoặc toạ độ giao điểm B(x,y) của (d2) và (d3) là nghiệm của hệ phương trình: Vậy B (1;2) Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B (1;2) nên ta thay x =1 ; y = 2 vào PT (d1) ta có: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 , m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui. Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phộp tớnh. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a .Xỏc định hàm số, biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 .Xỏc định hàm số biết đồ thị đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vỡ sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tỡm điều kiện của m để hai đường thẳng trờn: Song song. Cắt nhau. Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trờn trục tung.Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với. (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10. Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). Bài 8: Cho hai đường thẳng: (d1): y = và (d2): y = a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B. Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax + b a; Xác định HS biết đồ thị của nó song song với Đ. thẳng y = 2x +3 và đi qua điểm A(1;-2) b; Vẽ đồ thị HS vừa xác định. Rồi tính độ lớn góc à tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 CHủ đề 3: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn I. các kháI niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(hoặc + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: . Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: + Dạng: + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình + Nếu hai phư ơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đư ờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phư ơng trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d) - Ph ương trình (2) được biểu diễn bởi đư ờng thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm. Hệ phư ơng trình tương đương: Hai hệ ph ương trình được gọi là tư ơng đư ơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm Ii. phương pháp giảI hệ phương trình: Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế: Quy tắc thế: + B ước 1: Từ một ph ương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để đư ợc một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bư ớc 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho ph ương trình thứ hai trong hệ (phư ơng trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đư ợc ở bước 1). Ví dụ: xét hệ phương trình: + Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y (gọi là rút x) ta có: Thay vào phương trình (2) ta được: + Bước 2: Thế phương trình vào phương trình hai của hệ ta có: b) Giải hệ : Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0). Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số: a) Quy tắc cộng đại số: + B ước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phư ơng trình của hệ của hệ phương trình đã cho để đư ợc một phương trình mới. + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai ph ương trình của hệ (và giữ nguyên ph ương trình kia) Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đư a về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) bài tập: Ô Giải hệ phư ơng trình bằng phư ơng pháp thế. Ô Giải hệ phư ơng trình bằng phương pháp cộng đại số ÔĐặt ẩn phụ rồi giải các hệ phư ơng trình sau Các bài tập tự luyện Bài 1 Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : a) b) c) Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó. Bài 4 : Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình khi a = 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó c) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình khi a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1 d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên. Bài 6: a) Giải và biện luận hệ phương trình: (I) b) Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1 Chủ đề 4 Các dạng toán về phương trình bậc hai bài mẫu: Giải các phương trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (.........) 1) Giải phương trình: 3x2 -27x = 0 ú 3x(x-……) = 0 ú 3x= 0 (1) hoặc .........................(2) Giải(1)ú x=………… Giải(2)ú x=………… Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 2) Giải các phương trình: 5x2 - 45 = 0 ú x2-…… = 0 ú x2 = 9 ú x1,2=……………… Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 3)Giải phương trình: 2x2 - 2007x +2005= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta có:a+b+c=………………………= 0 Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm …………… ; …………….. ??: Em hãy đề xuất một bài toán tương tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh hơn, trình bày ngắn gọn chính xác. 4) Giải phương trình: 2x2 +7x -5= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta có: ∆=………………….=………..>0 Vậy phương trình đã cho có…….nghiệm ………………. ; ………………….. 5) Giải phương trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*) Đặt x2 = y (y≥0) Lúc đó phương trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1) Giải(1) ta có: ∆=…………………….=………..>0 => Phương trình(1) có hai nghiệm y1=……………= …………; y2=……………=………….. Với y1=………; y2=…………thoả mãn điều kiện của bài toán Mà x2 = y Nên y1=………=> x2 =………..…………… y2=………=> x2 =………..…………… Vậy Phương trình (*)có ………nghiệm………….;…………….;…………….;………….. 6) Giải phương trình: (*) Đặt = y (y≥0) Lúc đó phương trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1) Giải(1) ta có: ∆=…………………….=………..>0 =>Phương trình(1) có hai nghiệm y1=……………= …………; y2=……………=………….. Với y1=………;………. thoả mãn điều kiện của bài toán => y1=………(loại) y2=…………thoả mãn điều kiện của bài toán Mà x2 = y Nên y2=………=> =………..…………… Vậy Phương trình (*)có ………nghiệm………….;…………….;…………….;………….. Bài 1: Giải các phương trình 2x2 - 50 = 0 c)54x2 = 27x e)y+-6=0 d) y+=0 f)y-5+4=0 Bài 2: Giải các phương trình 3x2 -17x - 20 = 0 2x2 - 2007x + 2005 = 0 x2 - 4x + 4= 0 x2 + 3x - 1 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp ẩn phụ 1) x4 - 5x2 - 6 = 0 2) x4 + 7x2 - 8 = 0 3) x4 + 9x2 + 2 = 0 4) 5) 6) 7) 8) 9) bài mẫu: Tìm giá trị của m để phương trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1) có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại Giải: Để phương trình(1) có một nghiệm x1=2 thì: 5.22 +m.2 -m2-12=0 ú 8+m.2 -m2=0 ú m2-2m - 8 = 0(*) Giải (*)Ta có: ∆'=……………..=……..> 0 =>=…… => phương trình (*) có hai nghiệm m1=…………=…….. ; m2=…………=…….. +)Với m1=………… phương trình(1) có một nghiệm x1=2. lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- . Mà x1=2 ; m1=…… Nên 2 + x2 =- ú x2=……….=……….. +)Với m2=………… phương trình(1) có một nghiệm x1=2. lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- . Mà x1=2 ; m2=…… Nên 2 + x2 =…….. ú x2=……….=……….. Vậy……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Bài 4: Với giá trị của b thì các phương trình a) 2x2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại b) b2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại Bài 5: Cho các phương trình ẩn x. Xác định k để các phương trình sau có nghiệm kép: a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0 b) x2 + kx + 2 = 0 d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0 Bài 6: Xác định k để các phương trình ở bài 5 vô nghiệm. Bài 7: Xác định k để các phương trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt bài mẫu: Chứng minh rằng phương trình: (m-3)x2 + m x +1= 0 có nghiệm với mọi giá trị của m Giải: phương trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) +) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 ú m =………..lúc đó phương trình(*) trở thành: 3x+1=0 ú x=………… => m = ……..thì phương trình(*) có một nghiệm x=…….(1) +) Xét a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0 ú m ≠…… Ta có: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(…..)2-…….. +12 = (… - ….)2 +………. Nhận thấy: ( m - ….)2≥0 Với mọi m ≠ 3ú ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Với mọi m ≠ 3 Hay ∆>0 Với mọi m≠ 3 => phương trình(*) có hai nghiệm Với mọi m ≠ 3 (2) Từ (1); (2) => phương trình(*) có nghiệm Với mọi m Chú ý: Với những phương trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trường hợp a=0 và a ≠ 0 Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m. a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - 4 = 0 c) -3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 e) (m+1)x2 + x - m = 0 bài mẫu:Tìm m để phương trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu. Giải: phương trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1) Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0 ú 30-5m m > 6 Vậy m………………………………………………………………………… Chú ý: Trong dạng toán này Với những phương trình có chứa tham số ở hệ số a ta không phải xét hai trường hợp a=0 và a ≠ 0 Bài 9: Tìm m để các phương trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu. a) x2 + 2x + m - 1 = 0 b) x2 + mx + 7 = 0 c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0 e) (m2 + 4 m +4)x2 + mx - 1 = 0 Bài 10: Cho phương trình : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 5 b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phương trình (1) c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Bài 11: Cho phương trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0 a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình Bài 12: Lập phương trình ẩn x có hai nghiệm là a) 3 và 5 b) 3- và 3 + c) 3- và 3 + d) và e) và với a ạ ± b bài mẫu: Lập phương trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- và 1 + Giải: Đặt x1=3- và x2= 3 + Ta có: x1+x2=………+………= 6 x1.x2=(………….).(……………..)=………….= 4 áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phương trình: ……………….= 0 Vậy phương trình cần lập là:……………………………….. bài mẫu: Không giải phương trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phương trình a) 5x2 - 7x - 1 = 0 Giải: có: a.c = ………….=-5 phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) 5x2 - 7x + 2 = 0 Giải: phương trình: 5x2 - 7x+2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta có : ∆=……………….= 9 > 0 áp dụng hệ thức Vi-et ta có: => phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương c) x2 + 11x + 5 = 0 Giải: phương trình: x2 +11x+5 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta có : ∆=……………….= …. > 0 áp dụng hệ thức Vi-et ta có: => phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm d) 5x2 + x + 2 = 0 Giải: phương trình: 5x2 + x +2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta có : ∆=……………….= …..< 0 => phương trình vô nghiệm Bài 13: Không giải phương trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau : 1) 3x2 + 5x - 1 = 0 3) 5x2 - 14x + 1 = 0 2) 7x2 -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - 3 = 0 5) 4x2 - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0 bài mẫu: Cho phương trình: x2 - 2x + m-3 = 0 (m là tham số) tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương ? Giải: phương trình: x2 - 2x + m-3 = 0 (*) (a=…..; b=…….; c=…….) Để phương trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dương thì: hay Giải(1): ú 4-m > 0 ú…………….……………… Giải(2): ú 2 > 0 luôn đúng Giải(3): ú……. > 0 ú…………….……………… Kết hợp ba điều kiện trên ta được:…………………………………… Vậy m……………………………………………………………………………… Bài 14: Cho phương trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phương trình 1) có 2 nghiệm trái dấu 2) có 2 nghiệm cùng dấu 3) Có ít nhất 1 nghiệm dương 4) Có 2 nghiệm cùng dấu dương 5) Có 2 nghiệm cùng âm Bài 15: Tìm giá trị của m để phương trình: a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dương b) 2x2 - 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm c) x2 - 2x + 2m -30 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu. Bài 16: Cho phương trình : 5x2 - 6x - 8 = 0 Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x1; x2là nghiệm của phương trình) 1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2 2) A = x12 + x22 ; B = ; C = ; D = x13 + x23 E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23 Bài 17: Cho phương trình : x2 - 8x + n = 0 (1) n là tham số a) Giải phương trình với n = 1 b) Tìm điều kiện của n để phương trình (1) có nghiệm c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình ; tìm n để phương trình có nghiệm thoả mãn 1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bài 18: Cho phương trình : 3x2 - 4x + m = 0 Tìm để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia b) Hiệu hai nghiệm bằng 1 Bài 19: Cho phương trình x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại c) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m d) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình. Hãy tính A = x12 + x12 theo m từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A. bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó Giải: a) phương trình: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta có : ∆'=……………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(…..)+(….)2 -………+24 =(…..-……)2 +……… Nhận thấy: (…..-……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m => (…..-……)2 +………≥……..> 0 với mọi giá trị của m Hay ∆'> 0 với mọi giá trị của m => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Theo a) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m áp dụng hệ thức Vi-et ta có: (I) Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) Thay (I)vào A ta được : A= -2(m-3)(…..-……) =………………………………………………. = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(…..)+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… Nhận thấy: (…..-……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m (…..-……)2 -………≥…….. với mọi giá trị của m Hay -4A ………… với mọi giá trị của m ú A…………….. với mọi giá trị của m Dấu "=" xảy ra khi ……………=0 ú m=……… Vậy giá trị ……………………………………………………………………………… Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 - 17 = 0 (1) (ẩn x) Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) ) Giải: phương trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (ẩn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta có : ∆'=……………………………………………………………………= 6m+18 Để Phương trình (1)có nghiệm thì ∆'≥ 0 hay……………………… ú m ≥ …… Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………………….. mà m …….=> 6m………. ú 6m+.............. Hay A………. Dấu "=" xảy ra khi m =............. Vậy A có giá trị nhỏ nhất là .........khi m=........ Bạn hãy tự phân chia các bước của bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai Bài 20: Cho phương trình x2 + (m+1)x + m = 0 (ẩn x
File đính kèm:
de cuong on thi vao 10.doc
