Bài giảng Đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song. luyện tập vẽ hai đường thẳng vuông góc

Ngaøy soaïn: 10/9/08
CHỦ ĐỀ : ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ 
 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
 LUYEÄN TAÄP VEÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
I. MUÏC TIEÂU : 
	-Hieåu ñöôïc theá naøo laø hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau.
- Coâng nhaän t/c : Coù duy nhaát moät ñöôøng thaúng b ñi qua A vaø ba.
- Hieåu theá naøo laø ñöôøng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng.
- Bieát veõ 1 ñöôøng thaúng ñi qua 1 ñieåm cho tröôùc vaø vuoâng goùc vôùi 1 ñöôøng thaúng cho tröôùc. Bieát veõ ñöôøng trung tröïc cuûa 1 ñoaïn thaúng.
- Söû duïng thaønh thaïo eâke , thöôùc thaúng.
II.LYÙ THUYEÁT:
Ñònh nghóa 1:Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc laø hai ñöôøng thaúng caét nhau vaø trong caùc goùc taïo thaønh coù moät goùc vuoâng.
Ñònh nghóa 2:Ñöôøng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng aáy taïi trung ñieåm cuûa noù.
Tính chaát: Coù duy nhaát moät ñöôøng thaúng b ñi qua A vaø ba.
III.BAØI TAÄP:
Daïng toaùn 1:Veõ hình:
 1.1:hình:
ke coù chöùa daïnh cuûa eâke coù chöùa dieåm ñaõ cho.âng goùc vôùi ñoaïn thaúng aáy taïi trung ñieåm cuûa noù.Veõ ñöôøng thaúng b ñi qua 1 ñieåm A cho tröôùc vaø vuoâng goùc vôùi 1 ñöôøng thaúng a cho tröôùc.
Caùch veõ:
+Ñaët eâke sao cho moät caïnh cuûa eâke truøng vôùi ñöôøng thaúng a ñaõ cho.
+Di chuyeån eâke sao cho ñieåm A ñaõ cho naèm treân caïnh coøn laïi cuûa eâke.
+Keõ ñöôøng thaúng b truøng vôùi caïnh cuûa eâke coù chöùa ñieåm A ñaõ cho.
2.Veõ ñöôøng thaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng:
+Xaùc ñònh trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng ñaõ cho.
+Veõ ñöôøng thaúng d qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng ñaõ cho.
Daïng toaùn 2:Taäp suy luaän ñeå chöùng toû hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc :
Baøi taäp 1:Chöùng toû raèng hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø vuoâng goùc vôùi nhau.
 Giaûi:
 Goïi xOz vaø zOy laø hai goùc keà buø.
Om laø tia phaân giaùc cuûa goùc yOz.
On laø tia phaân giaùc cuûa goùc xOz.
Ta coù: 
 =
Ta thaáy tia Oz naèm giöõa hai tia Om vaø On neân 
Do ñoù = 900. Vaäy .
Baøi taäp 2:ÔÛ mieàn trong goùc tuø xOy,veõ caùc tia Oz vaø Ot sao cho Oz vuoâng goùc vôùi Ox, Ot vuoâng goùc vôùi Oy.
Chöùng toû:
a) b)
 Giaûi:
a) 
 Vaäy 
b) 
 = 
Ngaøy soaïn: 15/10/08
 LUYEÄN TAÄP VEÀ HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG 
I.MUÏC TIEÂU:
-Coâng nhaän daáu hieäu nhaän bieát hai ñöôøng thaúng song song:”neáu moät ñöôøng thaúng caét hai ñöôøng thaúng a, b sao cho coù moät caëp goùc so le trong baèng nhau thì a//b”
-Bieát veõ ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm naèm ngoaøi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc vaø song song vôùi ñöôøng thaúng aáy.
-Söû duïng thaønh thaïo eâke vaø thöôùc thaúng hoaëc chæ rieâng eâke ñeå veõ hai ñ/thaúng song song.
II.LYÙ THUYEÁT:
Ñònh nghóa:Hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng thaúng khoâng coù ñieåm chung.
Tieân ñeà Ôc-lit:Qua moät ñieåm naèm ngoaøi moät ñöôøng thaúng,chæ coù moät ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng aáy.
Tính chaát vaø daáu hieäu nhaän bieát hai ñöôøng thaúng song song :ñöôøng thaúng c caét hai ñöôøng thaúng a vaø b;ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng thaúng b song song vôùi nhau neáu caùc goùc taïo thaønh coù:
 1) Caëp goùc so le trong baèng nhau.
 2) Caëp goùc ñoàng vò baèng nhau.
 3) Caëp goùc trong cuøng phía buø nhau.
III.BAØI TAÄP:
Daïng toaùn 1:Veõ hình:Veõ ñöôøng thaúng d qua ñieåm A vaø song song vôùi ñöôøng thaúng a cho tröôùc.
+Veõ ñöôøng thaúng a’ qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a.
+Veõ ñöôøng thaúng d qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a’.
+Ñöôøng thaúng d vöøa veõ laø ñöôøng thaúng qua A vaø song song vôùi a.
Daïng toaùn 2:Nhaän bieát caùc caëp goùc so le trong,caùc caëp goùc ñoàng vò,caùc caëp trong cuøng phía cuûa hai ñöôøng thaúng song song.
Baøi taäp 1:Cho a // b vaø .Tính soá ño caùc goùc coøn laïi?
 Giaûi:
(Ñoàng vò)
(Ñoàng vò)
(SLT)
(Ñoàng vò)
(Ñoàng vò)
Baøi taäp 2:Cho hình veõ,tìm ñieàu kieän cuûa ñeå a // b.
Giaûi:
Ta coù: (ñoái ñænh)
Ñeå a // b thì caëp goùc trong cuøng phía buø nhau 
Hay 
Vaäy ñeå a // b thì = 900
 Baøi taäp 3:
Cho ñoaïn thaúng AB. Treân cuøng moät nöûa maët phaúng bôø AB,veõ caùc tia Ax vaø By cuøng moät  trong ñoù , .Tính ñeå cho Ax song song vôùi By.
 Giaûi: 
Ñeå Ax song song vôùi By thì hai goc trong cuøng phía vaø buø nhau.
Hay + =1800 
 Hay 
 => 
 => 
Vaäy vôùi thì Ax // By.
 LUYEÄN TAÄP VEÀ: TÖØ VUOÂNG GOÙC ÑEÁN SONG SONG 
Ngaøy soaïn:29/10/2007
I.MUÏC TIEÂU:
	- Naém vöõng quan heä giöõa 2 ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc hoaëc cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù 3
- Reøn kyõ naêng phaùt bieåu meänh ñeà toaùn hoïc.
- Böôùc ñaàu taäp suy luaän.
II.LYÙ THUYEÁT:
Tính chaát:
III.BAØI TAÄP:
Baøi taäp 1:Cho hai ñöôøng thaúng xx’ vaø yy’song song vôùi nhau.Treân xx’ vaø yy’ laàn löôït laáy hai ñieåm A, B sao cho AB yy’.
	a) Chöùng toû raèng AB xx’
	b) Treân By’ laáy dieåm C. Treân Ax’ laáy dieåm D sao cho .
	 Tính soá ño caùc goùc ;;.
Giaûi:
a) 
b) Vì xx’ // yy’ neân +(2 goùc trong cuøng phía)
	=>= = 
 Ta coù : +(2 goùc keà buø)
	 	=>= = 
(hoaëc coù theå duøng tính chaát cuûa 2 goùc SLT ñeå giaûi)
 Vì xx’ // yy’ neân ==1200 (SLT)
Baøi taäp 2:Cho goùc =900 .Treân nöõa maët phaúng bôø CA khoâng chöùa B veõ Cx AC.
Chöùng minh AB // Cx.
Goïi Ay laø tia ñoái cuûa tia AB. M laø ñieåm treân ñoaïn BC. Töø M veõ Mz CA. Chöùng minh Ay // Mz // Cx.
Giaûi:
Vì =900 => AB AC.
Ta coù: 
b)Vì Ay laø tia ñoái cuûa AB, maø AB // Cx neân Ay // Cx. (1)
Ta coù: (2)
Töø (1) vaø (2), ta coù: øigI:ính soá ño caùc goùc ao cho AB 
Ngµy so¹n: 6/11/08 
Tr­êng hîp b»ng nhau thø nhÊt cña tam gi¸c
c¹nh – c¹nh – c¹nh (c-c-c)
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
DABC = DA’B’C’
vÝ dô 1: cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. Gäi D lµ trung ®iÓm cu¶ BC. 
Chøng minh r»ng:
DADB = DADC;
AD lµ tia ph©n gÝc cña gãc BAC;
AD vu«ng gãc víi BC.
Gi¶i
xÐt DADB vµ DADC, ta cã:
AB = AC (GT), c¹nh AD chung, DB = DC (GT)
VËy DADB = DADC (c.c.c)
v× DADB = DADC (c©u a)
nªn (hai gãc t­¬ng øng)
mµ tia AD n»m gi÷a hai tia AB vµ AC, do ®ã AD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC.
Còng do DADB = DADC nªn (hai gãc t­¬ng øng)
Mµ = 1800 9hai gãc kÒ bï), do ®ã , suy ra AD ^ BC
Bµi tËp
Cho ®o¹n th¼ng AB = 6cm. Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ tam gi¸c ADB sao cho AD = 4cm, BD = 5cm, trªn nöa mÆt ph¼ng cßn l¹i vÏ tam gi¸c ABE sao cho BE = 4cm, AE = 5cm. Chøng minh:
DBD = DBAE;
DADE = DBED
Cho gãc nhän xOy . vÏ cung trßn t©m O b¸n k×nh 2cm, cung trßn nµy c¾t Ox, Oy lÇn l­ît t¹Þ ë A vµ B. VÏ cung trßn t©m A vµ B cã b¸n kÝnh b»ng 3cm, chóng c¾t nhau t¹i ®iÓm C n»m trong gãc xOy. Chøng minh OC lµ tia ph©n cña gãc xO y
Cho tam gi¸c ABC cã , vÏ cung trßn t©m B b¸n kÝnh b»ng AC, vÏ cung trßn t©m C b¸n kÝnh b»ng BA, hai cung trßn nµy c¾t nhau t¹i D n»mm kh¸c phÝa cña A ®èi víi BC.
TÝnh gãc BDC;
Chøng minh CD // AB.
Cho tam gi¸c ABC cã AC > AB. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho CE = AB. Gäi O lµ mét ®iÓm sao cho OA = OC, OB = OE .
Chøng minh:
DAOB = DCOE;
So s¸nh gãc OAB vµ gãc OCA
H­íng dÉn 
1) 
a) DABD vµ DBAE cã: AD = BE (=4cm)
Ab chung, BD = AE (5cm)
VËy DABD = DBAE (c.c.c)
chøng minh t­¬ng tù c©u a
DADE = DBED (c.c.c)
2) Ta cã
OA = OB (=2cm), OC chung
AC = Bc (=3cm)
VËy DOAC = DOBC (c.c.c)
Do ®ã 
Suy ra OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOB hay OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy
3) a) DABC vµ DDCB cã: AB = CD (GT)
BC chung, AC = DB (GT)
VËy DABC = DDCB (c.c.c)
Suy ra (hai gãc t­¬ng øng)
b) Do DABC = DDCB (c©u a)
Do ®ã ( hai gãc t­¬ng øng)
Hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong cña hai ®­êng th¼ng AB va CD c¾t ®­êng th¼ng BC do ®ã CD //AB.
4) a) theo ®Ò bµi, ta cã AB = C, AO = CO, OB = OE.
VËy DAOB = DCOE (c.c.c0
b) v× DAOB = DCOE , do ®ã hay 
Ngµy so¹n: 10/11/08
Tr­êng hîp b»ng nhau thø hai cña hai tam gi¸c
C¹nh – gãc – c¹nh (c.g.c)
I – C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña hai tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gÝac kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
DABC = DA’B’C’
HÖ qu¶: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau
DABC = DA’B’C’
Bµi tËp
Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. VÏ tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC ë D. Gäi M lµ trung ®iÓm n¨m gi÷a A vµ D. Chøng minh:
DAMB = DAMC
DMBD = DMCD
Gi¶i
DAMB vµ DAMC cã:
AB = AC (GT)
(vÝ AD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc A)
C¹nh AM chung
VËy DAMB = DAMC (c.g.c)
V× DAMB = DAMC (c©u a), do ®ã MB = MC 9c¹nh t­¬ng øng)
 (gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c )
Mµ , (hai gãc kÒ bï)
Suy ra , c¹nh MD chung. VËy DMBD = DMCD (c.g.c)
2) Cho gãc nhän xOy. Trªn tia Ox lÊy hai ®iÓm A, C, trªn tia Oy lÊy hai ®iÓm B, D sao cho OA = OB, OC = OD (A n¨m gi÷a O vµ C, Bn¨m gi÷a O vµ D).
a) Chøng minh DOAD = DOBC;
b) So s¸nh hai gãc vµ 
h­íng dÉn gi¶i
Ta cã OA = OB, OC = OD
L¹i cã gãc O chung, do ®ã:
DOAD = DOC (c.g.c)
V× DOAD = DOBC nªn (hai gãc t­¬ng øng)
Mµ (hai gãc kÒ bï)
Suy ra, 
2) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC.
a) Chøng minh DABC = DABD;
b) Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy diÓm M. Chøng minh DMBD = DMBC.
Gi¶i
a) ta cã: 
Mµ (GT) nªn 
AC = AD (GT), c¹nh AB chung
VËy DABC = DABD (c.g.c)
DABC = DABD (c©u a) nªn vµ BC = BD. VËy DMBD = DMBC (c.g.c)
3) Cho gãc nhän xOy vµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc ®ã. Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A, trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OA = OB. Trªn OZ lÊy ®iÓm I.
Chøng minh:
a) DAOI = DBOI
b) AB vu«ng gãc víi OI.
Gi¶i
a) Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy (GT)
nªn ; OA = OB (GT), c¹nh OI chung.
VËy DOAI = DOHB (c.g.c)
Do ®ã (gãc t­¬ng øng)
Mµ , suy ra = 900, v× thÕ AB ^ OI
b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AB víi OI. Ta cã: DOHI = DOHB (c.g.c), do ®ã (gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau)
mµ , suy ra , v× thÕ AB ^ OI.
4) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm E sao cho ME = MA.
a) Chøng minh r»ng AC // BE.
b) Gäi I lµ mét ®iÓm trªn AC, K lµ mét ®iÓm trªn EB sao cho AI = EK. Chøng minh ba ®iÓm I, M, K th¼ng hµng.
gi¶i
DAMC = DEMB (c.g.c)
Suy ra Hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong cña hai ®­êng th¼ng AC vµ BE c¾t ®­êng th¼ng song song ta cã AC//BE.
DAMI = DEMK (c.g.c), suye ra . Mµ (hai gãc kÒ bï), do ®ã , tõ ®ã ta cã ba ®iÓm I, M, K th¼ng hµng.
Cho tam gi¸c ABC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC cã chøa ®iÓm A vÏ tia Bx vu«ng gãc víi BC, trªn ia Bx lÊy ®iÓm D sao cho BD = BC. Trªn nöa m¨t ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C vÏ tia By vu«ng gãc víi AB, trªn By lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. So s¸nh AD vµ CE.
Gi¶i
ta cã: vµ 
suy ra . DABD = DEBC (c.g.c)
do ®ã AD = CE
C¸c bµi tËp häc sinh tù lµm ë nhµ
Qua trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB kÎ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi AB. Trªn ®­êng th¼ng d lÊy hai ®iÓm H vµ K sao cho m lµ trung ®iÓm cña HK. Chøng minh AB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HAK vµ HK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AHB.
Cho gãc xOy cã sè ®o 350. Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A. Qua A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox c¾t Oy ë B. Qua B kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Oy c¾t Ox ë C. Qua C kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox c¾t Oy ë D.
A) Cã bao nhiªu tam gi¸c vu«ng trong h×nh vÏ?
TÝnh sè ®o cña c¸c gãc .
Cho tam gi¸c ABC cã , tia ph©n gi¸c BD cña gãc B (D Î AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA.
So s¸nh ®é dµi c¸ ®o¹n AD vµ DE; so s¸nh vµ .
Chøng minh AE ^ BD.
Ngµy so¹n: 15/11/08
Tr­êng hîp b»ng nhau th­ ba cña hai tam gi¸c
Gãc – c¹nh – gãc (G – C – G)
I – C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.
NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cu¶ tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b¨ng nhau.
HÖ qu¶:
NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
Bµi tËp lµm t¹i líp.
Cho tam gi¸c ABC cã . Tia ph©n gi¸c BD vµ CE cña go¸c B vµ gãc C c¾t nhau t¹i O. tõ O kÎ OH ^ AC, OK ^ AB. Chøng minh:
DBCD = DCBE;
OB = OC;
OH = OK;
Gi¶i
XÐt DBCD vµ DCBE cã: (GT), c¹nh BC chung.
Tia BD vµ CE lµ tia ph©n gi¸c cña go¸c b vµ gãc C (GT)
Nªn , do ®ã . VËy DBCD = DCBE (GCG)
DBCD = DCBE (theo c©u a), ta cã: CD = BE (cÆp c¹nh t­¬ng øng)
L¹i cã (chøng minh trªn)
VËy DEOB = DDOC (g.c.g), suy ra OB = OC (hai c¹nh t­¬ng øng)
XÐt tam gi¸c vu«ng OKB vµ tam gi¸c vu«ng OHC, ta cã:
 9v× OK ^ AB, OH ^ AC), , OB = OC (theo c©u b)
VËy DOKC = DOCH (c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau), do ®ã OK = OH (hai c¹nh t­¬ng øng)
Bµi tËp HS tù lµm
Bµi 1: Cho ABC cã gãc A b»ng 600. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB ë N. Chøng minh r»ng BN + CM = BC.
Bµi 2: Cho ABC vu«ng t¹i A, M lµ trung ®iÓm cña AC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm K sao cho MK = MB. Chøng minh r»ng:
KC vu«ng gãc víi AC.
AK song song víi BC.
Bµi 3: Cho ABC, kÎ BD vu«ng gãc víi AC, kÎ CE vu«ng gãc víi AB. Trªn tia ®èi cña tia BD, lÊy ®iÓm H sao cho BH = AC. Trªn tia ®èi cña tia CE lÊy ®iÓm K sao cho CK = AB. Chøng minh r»ng AH = AK.
Bµi 4: Cho ABC cã AB = AC. Trªn c¹nh AB vµ AC lÊy c¸c ®iÓm D vµ E sao cho AD = AE. Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. Chøng minh r»ng:
a) BE = CD b) KBD = KCE. 
Bµi 5: Cho ABC cã gãc A = 600. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB ë E. C¸c tia ph©n gi¸c ®ã c¾t nhau ë I. Chøng minh r»ng ID = IE.
Bµi 6: Cho ®o¹n th¼ng AB, O lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB, vÏ c¸c tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB. Gäi C lµ mét ®iÓm thuéc tia Ax. §­êng vu«ng gãc víi OC t¹i O c¾t tia By t¹i D. Chøng minh r»ng: CD = AC + BD.
Bµi 7: Trªn c¹nh BC cña ABC, lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho BE =CF. Qua E vµ F vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi BA, chóng c¾t c¹nh AC theo thø tù ë G vµ H. Chøng minh r»ng: EG + FH = AB.
Bµi 8: Cho ABC vu«ng t¹i A, AB = AC. Qua A vÏ ®­êng th¼ng d sao cho B vµ C n»m cïng phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng d. KÎ BH vµ CK vu«ng gãc víi d. Chøng minh r»ng:
a) AH = CK b) HK = BH + CK 
Bµi 9: Cho ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC, N lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm E sao cho ME = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm F sao cho NF = NC. Chøng minh r»ng:
a) MAE = MCB.
b) AE = AF.
c) Ba ®iÓm A, E, F th¼ng hµng. 
Bµi 20: Cho ®o¹n th¼ng AB, D lµ trung ®iÓm cña AB. KÎ Dx vu«ng gãc víi AB. Trªn Dx lÊy hai ®iÓm M vµ N (M n»m gi÷a D vµ N). Chøng minh r»ng:
a) NAD = NBD.
b) MNA = MNB.
c) ND lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB.
d) Gãc AMB lín h¬n gãc ANB.