Bài giảng môn Giải tích lớp 12 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chương II: ứng dụng của đạo hàm
 Đ1: sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
 Tiết theo PPCT : 222, 223
 Tuần dạy :
 Năm học :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS biết cách tìm điểm tới hạn, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B- Kiểm tra bài cũ:
GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ. 
* Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
* Thế nào là hàm số đơn điệu?
C - Giảng bài mới:
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. 
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
 GV nêu định lý Lagrăng.
HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi: 
* Hàm số y = f(x) gọi là :
 - Đồng biến trên (a; b) nếu
"x1; x2ẻ(a; b), x1< x2ị f(x1)< f(x2)
 - Nghịch biến trên (a; b) nếu
"x1; x2ẻ(a; b), x1 f(x2)
* Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu trên (a; b) nếu nó đồng biến hoặc nghịch biến. 
HS đọc SGK (tr 47, 48).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Định lý Lagrăng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c ẻ (a;b) sao cho:
ý nghĩa hình học:
GV đặt câu hỏi: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) , B(b; f(b)).
* Tính hệ số góc của cát tuyến AB.
* Đẳng thức (*) có ý nghĩa gì ?
GV khẳng định: đó là ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng.
GV nêu định lý 2.
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b).
a) Nếu f'(x)< 0,"x ẻ (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b).
b) Nếu f'(x) > 0, " x ẻ (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b).
GV yêu cầu HS.
* Hãy áp dụng định lý Lagrăng để chứng minh định lý 2 (đồng thời dựa vào định nghĩa hàm số đơn điệu).
GV nêu và cho HS thừa nhận mở rộng của định lý 2:
Định lý 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b). Nếu f'(x)/0 (hoặc f'(x [0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên (a;b) thì hàm số tăng (hoặc giảm) trên (a;b).
HS theo dõi, ghi chép và thừa nhận định lý.
* Hệ số góc .
* Hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm C(c; f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB.
HS theo dõi và ghi chép.
* Ta có "x1, x2 ẻ(a; b), x1 < x2 theo định lý Lagrăng ị $c ẻ(a; b) sao cho: .
a) Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì f'(c) > 0 nên f(x2) - f(x1) > 0 ị hàm số đồng biến.
b) Tương tự phần a).
HS theo dõi và ghi chép.
 Hoạt động của GV
 Hoạt động của HS
GV nêu ví dụ:
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của mỗi hàm số sau:
a) y = x3 - 5x2 + 7x + 2
b) y = . 
c) y = x3
GV yêu cầu HS từ các ví dụ trên hãy cho biết các điểm nào có thể làm cho đạo hàm đổi dấu?
Giáo viên nêu định nghĩa điểm tới hạn.
3) Điểm tới hạn:
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), x0 e (a; b). Điểm x0 gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu f'(x0) = 0 hoặc f'(x0) không xác định.
* Ngoài các điểm tới hạn ra còn điểm nào làm cho đạo hàm đổi dấu không? Vì sao?
GV khẳng định: Vậy giữa hai điểm tới hạn kề nhau đạo hàm giữ nguyên một dấu.
* Hãy đưa ra các bước để tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số.
HS lên bảng giải từng ví dụ.
a) y' = 3x2 - 10x + 7
ị hàm số đồng biến trên (-Ơ;1) và , nghịch biến trên .
b) 
ị hàm số đồng biến trên (-Ơ; -5) và (-5; +Ơ).
c) y' = 3x2 ỏ0, "x
ị hàm số đồng biến trên R.
* Các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
HS theo dõi và ghi chép.
* Không còn điểm nào. (c/m phản chứng)
*Các bước tìm khoảng đơn điệu:
 + Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn.
 + Xét dấu đạo hàm.
 + Suy ra chiều biến thiên.
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1 (52). Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Bài 2 (53). Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Bài 3 (53). Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-Ơ; -1) và (1; +Ơ).
Bài 4 (53). Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
 Đ2: Cực đại - cực tiểu
 Tiết theo PPCT : 224, 225
 Tuần dạy :
 Năm học :
I - Mục đích , yêu cầu:
 Học sinh biết cách áp dụng dấu hiệu I , dấu hiệu II để một hàm số có cực trị: để tìm các điểm cức trị của hàm số, tìm giá trị của tham số để hàm số có cực trị hoặc cực trị thoả mãn điều kiện nào đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
x
-Ơ 1 7/3 +Ơ
y'
 + 0 - 0 +
y
 -6 +Ơ
-Ơ 
A - ổn định lớp , kiểm tra sĩ số.
B - kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1) Nêu điều kiện đủ để một hàm số tăng , giảm.
2) Nêu định nghĩa điểm tới hạn và các bước để xét sự biến thiên của hàm số.
áp dụng để xét sự biến thiên của hàm số:
y = x3 - 5x2 + 7x - 9
c - giảng bài mới:
GV đặt câu hỏi:
* Có nhận xét gì về các điểm (1;-6) và của đồ thị hàm số trên ?
GV khẳng định đó là các điểm cực đại, cực tiểu và nêu định nghĩa.
HS lên bảng trả lời câu hỏi.
áp dụng: Ta có y' = 3x2 - 10x + 7
Bảng biến thiên:
HS suy nghĩ và trả lời.
 Hoạt động của GV
 Hoạt động của HS
1) Định nghĩa:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) và điểm x0 e (a; b).
a) Khoảng V(d)=(x0 - d; x0+d) , d > 0 gọi là lân cận của điểm x0.
b) Điểm x0 gọi là điểm cực đại của y = f(x) nếu ứx e V(d) è (a; b) của điểm x0, ta có: f(x) < f(x0), x ạ x0.
Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0, f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số, điểm (x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của y = f(x) nếu ứx e V(d) è (a; b) của điểm x0, ta có: f(x) > f(x0), x ạ x0.
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0, f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, điểm (x0; f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
d) Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, giá trị của hàm số tại đó gọi là giá trị cực trị.
2) Điều kiện để hàm số có cực trị: 
 Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và x0 ẻ(a ; b).
GV nêu định lý Fecma.
Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì: f'(x0) = 0.
GV đặt các câu hỏi.
* Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x0?
* Nêu cách tính f'(x0-) và f'(x0+)?
* Hãy chứng minh cho trường hợp x0 là điểm cực đại, trường hợp x0 là điểm cực tiểu chứng minh tương tự.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
* $ f'(x0) Û f'(x0-) = f'(x0+)
* Nếu x0 là điểm cực đại. 
Chọn đủ nhỏ ta có:
 f(x0+Dx) < f(x0).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
ý nghĩa hình học của định lý Fecma:
GV đặt câu hỏi.
* Khi f'(x0) = 0 thì tiếp tuyến của đồ thị y=f(x) tại điểm x0 có tính chất gì? Suy ra ý nghĩa hình học của định lý Fecma.
GV nhận xét: phát biểu trên và cả SGK là chưa chính xác vì tiếp tuyến đó có thể trùng Ox.
* Sửa lại như thế nào?
* Khi f'(x0) = 0 thì x0 gọi là điểm gì? Từ đó hãy chứng minh hệ quả.
Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y=f(x) đều là điểm tới hạn.
* Điều ngược lại có đúng không?
Cho phản ví dụ.
*Có nhận xét gì về dấu của đạo hàm của hàm số y= x3 và hàm số y = x3-5x2 +7x+9?
* Từ nhận xét trên hãy đưa ra dấu hiệu để biết điểm x0 là cực đại hay cực tiểu.
GV chính xác hoá.
3) Dấu hiệu để hàm số có cực trị:
a) Dấu hiệu I (định lý I): Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0).
+ Với Dx > 0 
+ Với Dx < 0 
Do $ f'(x0) ị f'(x0-) = f'(x0+) = 0.
Vậy f'(x0) = 0.
* Tiếp tuyến tại x0 song song với trục hoành ị Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song với trục hoành.
* Tiếp tuyến tại x0 song song hoặc trùng với trục hoành.
* x0 gọi là điểm tới hạn.
Chứng minh:
Giả sử x0 là điểm cực trị. 
+ Nếu không $ f'(x0) ị x0 là điểm tới hạn.
+ Nếu $ f'(x0) thì theo đlý Fecma ị f'(x0) = 0 ị x0 là điểm tới hạn.
* Không phải mọi điểm tới hạn đều là điểm cực trị.
VD: y = x3 có x0 = 0 là điểm tới hạn nhưng lhông là điểm cực trị.
* Đạo hàm của hàm số y = x3 không đổi dấu. Đạo hàm của hàm số 
y = x3- 5x2 + 7x+ 9 thì đổi dấu hai lần.
* (HS trả lời)
 Hoạt động của GV
 Hoạt động của HS
+ Nếu thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).
+ Nếu thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).
GV yêu cầu HS đưa ra quy tắc để xét cực trị dựa vào dấu hiệu I.
b) Dấu hiệu II (định lý II):
 Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0) = 0, f''(x0)ạ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.
Hơn nữa:
+ Nếu f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ Nếu f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
GV yêu cầu HS đưa ra quy tắc để tìm cực trị dựa vào dấu hiệu II.
GV nêu ví dụ.
VD1. (Bài 2.a - SGK - tr60)
 Tìm các cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 +1.
VD2. (Bài 2.b - SGK - tr60)
 Tìm các cực trị của hàm số y = sin2x - x.
HS theo dõi, ghi chép và chứng minh dựa vào định lý Fecma.
* Quy tắc I:
 + Tính f'(x).
 + Tìm các điểm tới hạn.
 + Xét dấu f'(x).
 + Từ bảng biến thiên ị cực trị.
HS theo dõi và ghi chép.
* Quy tắc II:
 + Tính f'(x), tìm nghiệm phương trình f'(x) = 0.
 + Tính f''(x).
 + Xét dấu f''(x) tại các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 để suy ra cực trị.
HS suy nghĩ và giải từng ví dụ.
ĐS: x = -4 là điểm cực đại;
 x = ±1 là các điểm cực tiểu.
ĐS: là các điểm cực tiểu ; là các điểm cực đại.
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1 (60). áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2 (60). áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
Bài 3 (60). Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó.
Bài 4 (60). Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5 (60). Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có một cự đại và một cực tiểu.
Bài 6 (60). Tìm a và b để các cực trị của hàm số đều là những số dương và là điểm cực đại.
 Đ3: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 Tiết theo PPCT : 226,227
 Tuần dạy :
 Năm học :
I - Mục đích, yêu cầu:
 Học sinh biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, trên một đoạn; áp dụng vào bài toán thực tế.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
 x
-Ơ 1 1 +Ơ
 y'
 + 0 - 0 +
 y
 2
 -2
A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu hai dấu hiệu để tìm cực trị của một hàm số.
2. áp dụng để tìm cực trị của hàm số sau: y = x3 - 6x2 + 9x - 2
GV vẽ phác dạng đồ thị rồi đặt câu hỏi: 
* y = 2 (y = -2) có phải lá giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số không? Vì sao?
1. Học sinh nhớ lại kiến thức và trả lời.
2. + y' = 3x2 - 12x + 9
 + y' = 0 – x =1 hoặc x = 3
 + Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 2;
 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = -2.
* Không, vì hàm số còn có những giá trị lớn hơn (nhỏ hơn) giá trị đó.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
C - Giảng bài mới:
GV nêu định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
Kí hiệu : .
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
Kí hiệu : .
2. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:
GV tóm tắt kết quả:
 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b). Nếu trên (a; b) hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên khoảng (a; b).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x - 2 (đã xét) hãy:
 * Tìm 
 * Tìm 
 * Tìm 
 * Tìm 
HS theo dõi và ghi chép.
HS đọc bài toán SGK (tr 61).
HS theo dõi và ghi chép.
HS giải VD (có kèm giải thích dựa vào kết quả trên).
* vì trên (0; 2) chỉ có một cực trị là cực đại.
* Không $vì trên (0; +Ơ) có hai cực trị.
* vì trên (2; +Ơ) chỉ có một cực trị là cực tiểu.
* Không tồn tại .
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
 x
0 a/6 a/2
V'(x)
 + 0 - 
 V(x)
Ví dụ 2: SGK (tr 62)
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
GV nêu ví dụ.
VD: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2. Tìm :
 a) 
 b) .
GV yêu cầu HS so sánh với VD1 (phần 2) để nêu nhận xét.
Gv nêu quy tắc tìm :
10) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ..., xn của 
 f(x) trên [a; b].
20) Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
30) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m 
 trong các số trên thì:
 .
HS giải VD.
Gọi x là cạnh của các hình vuông bị cắt . Nên thể tích khối hộp là: 
(loại)
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi các hình vuông cắt đi có cạnh là a/6.
HS dựa vào bảng biến thiên để giải thích và nêu kết quả.
a) 
b) .
Nhận xét: Hàm số liên tục trên [a; b] thì luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1 (66). Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
Bài 2 (66). Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Bài 3 (66). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên [-4; 4].
 trên [-10; 10].
 trên [-1; 1].
 trên .
Bài 4 (66). Cho trước chu vi hình chữ nhật là p = 16cm, dựng hình chữ nhậtcó diện tích lớn nhất.
Bài 5 (66). Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
 Đ4: tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
 Tiết theo PPCT: 228, 229
 Tuần dạy:
 Năm học:
I - Mục đích, yêu cầu:
 Học sinh biết xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số. Từ đó biết tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có điểm uốn thoả mãn một số điều kiện nào đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn.
2. áp dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-7;5] 
 y = f(x) = 2x3 - 6x2 + 6x -10.
C - Giảng bài mới:
1. Khái niệm về tính lồi, lõm, điểm uốn:
GV giới thiệu khái niệm và minh hoạ bằng hình vẽ trên bảng.
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b).
+ Đồ thị y = f(x) gọi là lồi trên (a; b) nếu tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm M(x; f(x)) với x ẻ (a; b) đều nằm về phía trên của đồ thị.
+ Đồ thị y = f(x) gọi là lõm trên (a; b) nếu tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm M(x; f(x)) với xẻ(a; b) đều nằm về phía dưới của đồ thị.
+ Cho x0 ẻ (a; b), nếu đồ thị y = f(x) là lồi (lõm) trên (a; x0) và lõm (lồi) trên (x0; b) thì điểm M0(x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị y = f(x).
1. HS suy nghĩ và trả lời.
2. ĐS : 
HS theo dõi và ghi chép, quan sát hình vẽ để nắm định nghĩa.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa trên có nhận xét gì về tiếp tuyến tại điểm uốn ?
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn:
GV nêu định lý 1.
Định lý 1 (dấu hiệu lồi, lõm): Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a; b).
+ Nếu f''(x) < 0, "x ẻ (a; b) thì đồ thị của hàm số lồi trên (a; b).
+ Nếu f''(x) < 0, "x ẻ (a; b) thì đồ thị của hàm số lõm trên (a; b).
GV nêu định lý 2 và yêu cầu HS chứng minh.
Định lý 2 (dấu hiệu điểm uốn): Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tai x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
GV yêu cầu HS từ hai định lý vừa nêu đưa ra quy tắc tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
GV chính xác hoá.
Quy tắc:
+ Tính y'', tìm nghiệm của y'' và những điểm làm y'' không xác định.
+ Xét dấu y'', rồi dựa vào định lý 1 và định lý 2 để kết luận.
GV nêu các ví dụ.
VD1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) = x4 - 4x3.
VD2: Tìm a và b để điểm (1; 1) là điểm uốn của đường cong y = ax3 + bx2. Đường cong này còn có điểm uốn nào khác không ?
VD3: Chứng minh rằng hàm số có ba điểm uốn thẳng hàng.
HS suy nghĩ và trả lời: Tiếp tuyến tại điểm uốn xuyên qua đồ thị.
HS theo dõi, ghi chép và thừa nhận định lý 1.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải các ví dụ.
ĐS: Đồ thị hàm số lồi trên (-Ơ; 0) và (2; +Ơ), lõm trên (0; 2), có hai điểm uốn (0; 0) và (2; -16).
ĐS: a = -1/2 , b = 3/2 và đồ thị không còn điểm uốn nào khác.
ĐS: Ba điểm uốn là (0; 0), và .
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1 (70). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
a) y = 3 + 2x - x2 lồi trên khoảng (-Ơ; +Ơ).
b) y = lnx lồi trên khoảng (0; +Ơ).
c) y = 2x4 + x2 - 1 lõm trên khoảng (-Ơ; +Ơ).
Bài 2 (70). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = 3x2 - x3 lõm trên khoảng (-Ơ; 1), lồi trên khoảng (1; +Ơ) và M(1; 2) là điểm uốn.
Bài 3 (70). Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) 
b) 
c) 
Bài 4(70). Tìm a và b để hàm số y=x3- ax2+x+b nhận điểm (1; 1) làm điểm uốn.
Bài 5 (70). Tìm a để hàm số y = x4 - ax2 + 3
a) Có hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
Bài 6 (70). Chứng minh rằng đường cong có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng.
 Đ5: tiệm cận 
 Tiết theo PPCT: 230, 231
 Tuần dạy:
 Năm học:
I - Mục đích, yêu cầu:
 Học sinh nắm vững định nghĩa nhánh vô cực và các loại tiệm cận (tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số. Từ đó biết cách xét nhánh vô cực và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu định nghĩa tính lồi, lõm và định nghĩa diểm uốn của đồ thị hàm số.
2. Nêu dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
C - Giảng bài mới:
1. Định nghĩa:
GV nêu định nghĩa (SGK - tr71) và minh hoạ bằng hình vẽ.
+ Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M(x; y) là điểm thay đổi trên (C). Nếu ít nhất một trong hai tọa độ của M dần tới Ơ thì ta nói (C) có một nhánh vô cực.
 Ta cũng nói điểm M dần tới vô cực.
+ Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực, đường thẳng d được gọi là tiệm cận của (C) nếu:
 với M ẻ (C).
2. Cách xác định tiệm cận:
a) Tiệm cận đứng:
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV nêu định lý (SGK - tr71).
Định lý: Nếu thì đường thẳng d có phương trình x = x0 là một tiệm cận của đồ thị (C).
 Ta gọi đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 .
GV nêu chú ý (SGK - tr72).
Chú ý: Nếu (hay ) thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng bên phải (hay bên trái) của đồ thị hàm số y = f(x).
b) Tiệm cận ngang:
GV nêu định lý (SGK - tr72).
Định lý: Nếu thì đường thẳng d có phương trình y = y0 là một tiệm cận của đồ thị (C).
 Ta gọi đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
GV nêu chú ý (SGK - t72).
Chú ý: Nếu (hay) thì đường thẳng x = y0 là tiệm cận ngang bên phải (hay bên trái) của đồ thị hàm số y = f(x).
c) Tiệm cận xiên:
GV nêu định lý (SGK - tr73).
Định lý : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d có phương trình y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là: 
HS theo dõi và ghi chép.
HS tự đọc chứng minh trong SGK.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
Giải: TXĐ: R\ {1; 2}
Ta có: 
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là hai đường thẳng: x = 1 và x = 2.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS tự đọc chứng minh trong SGK.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
Giải: 
Ta có: 
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
hoặc 
hoặc .
 Ta gọi đường tiệm cận y = ax+ b với a ạ 0 là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Chứng minh rằng đường thẳng y = 3x - 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
GV nêu chú ý (SGK - t72).
Chú ý: Nếu thì đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị (C). Nếu thì đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị (C). Nếu thì đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên hai bên của đồ thị (C). 
* Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên: 
Chú ý: SGK (tr75 + 76).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
 .
HS tự đọc chứng minh trong SGK.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
Giải: Ta có
Suy ra đpcm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS đọc SGK (tr75).
HS ghi kết quả tóm tắt.
HS tự đọc chú ý trong SGK.
HS suy nghĩ và trình bày lời giải.
ĐS: áp dụng công thức trên ta được tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là: y = -x +1.
HS tự đọc các ví dụ trong SGK (tr76 + 77).
 Kiểm tra viết giữa chương II
 Tiết theo PPCT: 232
 Tuần kiểm tra:
 Năm học:
I - Mục đích, yêu cầu:
 Kiểm tra và đánh giá đúng từng HS về kỹ năng giải các bài toán: xét sự biến thiên và tìm cực đại - cực tiểu, xét tính lồi - lõm và tìm điểm uốn, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số; tìm giá trị của tham số để hàm số thoả mãn một số điều kiện nào đó.
II - Nội dung:
 A - Đề bài:
1. Cho hàm số y = x4 - 3mx2 + 5 (m là tham số)
 a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = .
 b) Với m tìm được ở trên, hãy:
 i) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
 ii) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
 iii) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng .
2. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục Oy.
3. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
 B - Đáp án, biểu điểm:
1. a) Điều kiện: (2đ)
 b) i) Hàm số đồng biến trên và . 
 Hàm số nghịch biến trên và . (1,5đ)
 ii) Đồ thị hàm số lồi trên (-1; 1), lõm trên (-Ơ; -1) và (1; +Ơ), 
 có hai điểm uốn là (±1; 0). (1,5đ)
 iii) (1đ)
2. Điều kiện Û phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trái dấu nhau
 Û m = (2đ)
3. Tiệm cận xiên trái y = -x, tiệm cận xiên phải y = x. (2đ) 
 Đ6: khảo sát hàm số 
 Tiết theo PPCT: 233 -> 242 (10t)
 Tuần dạy:
 Năm học:
I - Mục đích, yêu cầu:
 Học sinh nắm vững sơ đồ khảo sát hàm số; biết cách áp dụng sơ đồ đó vào việc khảo sát một số dạng hàm số cụ thể: 
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
 Hãy nêu cách xét sự biến thiên; cách tìm cự trị; cách xét tính lồi - lõm và tìm điểm uốn; cách tìm tiệm cận của một số hàm số.
C - Giảng bài mới:
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
GV khẳng định: Các kiến thức trên cho phép ta có thể khảo sát hàm số theo sơ đồ sau:
+ Tìm TXĐ của hàm số.
 Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).
+ Khảo sát sự biến thiên
 - Xét chiều biến thiên.
 - Tính các cực trị.
 - Tìm các giới hạn của hàm số, tìm tiệm cận.
 - Lập bảng biến thiên.
 - Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn.
+ Vẽ đồ thị, nhận xét về đồ thị.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
x
-Ơ -1 +Ơ
y''
 - 0 +
Đồ thị
 lồi điểm lõm 
 uốn 
 (-1;-2) 
x
-Ơ -2 0 +Ơ
y'
 + 0 - 0 +
y
 0 +Ơ
-Ơ -4
Chú ý: SGK (tr80).
2. Một số hàm số đa thức:
a) Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 +cx + d (a ạ 0).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 - 4.
GV hướng dẫn và yêu cầu HS thực hiện từng bước theo sơ đồ của bài toán khảo sát sự biến thiên.
* Hãy tìm TXĐ của hàm số.
* Xét chiều biến thiên:
 - Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến.
 - Tìm các cực trị.
 - Tính các giới hạn.
 - Lập bảng biến thiên.
 - Xét tính lồi, lõm, tìm điểm uốn.
* Vẽ đồ thị.
 - Tìm giao điểm với các trục tọa độ.
HS tiến hành từng bước theo yêu cầu của GV.
* TXĐ: D = R.
* Sự biến thiên:
- Ta có y' = 3x2 + 6x
 y' = 0 Û x = 0, x = -2
 y' > 0 Û x ẻ (-Ơ; -2) ẩ (0; +Ơ)
 y' < 0 Û x ẻ (-2; 0)
Hàm số nghịch biến trên (-2; 0), đồng biến trên (-Ơ; -2) và (0; +Ơ).
- Hàm số đạt CĐ tại x=-2 , yCĐ = 0
và đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -4.
- Ta có: nên đồ thị hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên:
- Ta có y'' = 6x + 6, y'' = 0 Û x = -1
* Vẽ đồ thị:
- Giao điểm với trục Ox là (-2; 0) và (1; 0), với trục Oy là (0; -4).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
1
-2
-4
-3
-2
-1
y
O
x
 - Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn.
GV vẽ và hướng dẫn HS cách vẽ (đặc biệt lưu ý bảo đảm tính lồi , lõm).
- Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị?
GV hướng dẫn HS chứng minh tính chất đối xứng:
Đặt ta được Y = X3 - 3X là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
GV nêu ví dụ 2.
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x2 - 4x + 2.
GV gọi HS khác nhận xét và chính xác hoá.
*Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số bậc ba (SGK-83).
b) Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ạ 0).
GV nêu ví dụ 1.
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 + 2.
GV gọi HS lên bảng làm từng bước, gọi HS khác nhận xét và chính xác hoá.
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là y'(-1) = -3.
- Đồ thị đi qua điểm (-3; -4).
HS tiến hành khảo sát hàm số ở ví dụ 2 theo đúng sơ đồ đã biết.
HS tự đọc SGK.
HS giải ví dụ 1.
* Tập xác định: D = R. Hàm số chẵn.
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x
 y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ± 1.
 y' > 0 trên (-1; 0) ẩ (1; +Ơ)
 y' < 0 trên (-Ơ, -1) ẩ (0; 1).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
1
1
-1
y
x
O
2
x
-Ơ +Ơ 
y''
 + 0 - 0 + 
Đồ
thị
 lõm điểm lồi điểm lõm
 uốn uốn
x
-Ơ -1 0 1 +Ơ 
y'
 - 0 + 0 + 0 -
y
+Ơ 2 +Ơ 
 1 1
GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị.
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số 
GV chính xác hoá (đặc biệt là cách vẽ đồ thị)
- Cực trị: hàm số đạt cực tiểu tại x= ± 1, yCT = 1, đạt cực đại tại x=0, yCĐ = 2.
- Giới hạn: đồ thị hàm số không có tiệm cận.