Bài giảng môn toán lớp 10 - Bài 03: Dấu của nhị thức bậc nhất

CẤU TRÚC ĐỀ ễN TẬP HỌC Kè II
Cõu 1: Xột dấu nhị biểu thức , Giải bất phương trỡnh ( 3 điểm)
S3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 
1. Nhị Thức bậc nhất 
Khỏi niệm: Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x)= ax+b trong đú a,b là hai số đó cho , a≠0
2. Dấu của nhị thức bậc nhất 
Khỏi niệm: Nhị thức f(x)=ax+b cú giỏ trị cựng dấu với hệ số a khi 
x lấy cỏc giỏ trị trong khoảng ; +Ơ , trỏi dấu với hệ số a khi 
x lấy cỏc giỏ trị trong khoảng -Ơ ; . 
Bảng xột dấu nhị thức
x
-Ơ - +Ơ
f(x) = ax + b
Trỏi dấu với a 0 Cựng dấu với a
- +
Bài tập 1: Xột dấu nhị thức sau :
f(x) = 2x + 4
f(x) = 6 – 3x 
f(x) = ( 2x + 4 ) + ( 6 – 3x ) 
 Giải : 
f(x) = 2x + 4 
f(x) = 0 Û 2x = -4
Û x = - = -2
BẢNG XẫT DẤU 
x
-Ơ -2 +Ơ
f(x) = 2x +4
 - 0 +
Vậy f(x) 0 khi xẻ (-2 ; +Ơ ).
f(x) = 6 – 3x 
f(x) = 0 Û 6 = 3x Û x = = 2
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ 2 +Ơ
f(x) = 6 – 3x
 + 0 -
	Vậy f(x) 0 khi x ẻ ( 2 ; +Ơ)
	c) f(x)= ( 2x + 4 ) ( 6 – 3x ) 	
 Ta cú : 2x + 4 = 0 Û x = -2
 6 – 3x = 0 Û x = 2
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -2 2 +Ơ
2x + 4
- 0 + ờ +
6 – 3x
+ ờ + 0 -
f(x)
- 0 + 0 -
Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; -2 ) Hoặc x ẻ ( 2 ; +Ơ ) 
 f(x) > 0 khi x ẻ ( -2 ; 2 )
Bài tập 2 : Xột dấu nhị thức sau : 
f(x) = 1 – x 
f(x) = 3x + 5 
f(x) = 
Giải 
a) f(x) = 1 – x 
Û f(x) = 0 Û 1 = x Û x = 1 
BẢNG XẫT DẤU 
x
-Ơ 1 +Ơ
f(x) =1 – x
 + 0 -
 Vậy f(x) 0 khi x ẻ ( -1 ; +Ơ )	
b) f(x) = 3x + 5 
Û f(x) = 0 Û 3x ẽ 5 Û x = 
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ +Ơ
f(x) = 3x +5
 - 0 +
Vậy f(x) 0 khi x ẻ ( ; +Ơ )
c) f(x) = 
f(x) = 0 Û 1- x = 0 Û x = 1 
 Û 3x – 5 = 0 Û x = -
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ - 1 +Ơ
1 - x
+ ẵ + 0 -
3x - 5
- 0 + ẵ +
f(x)
- ║ + 0 -
Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; -) hoặc x ẻ (1 ; +Ơ)
 f(x) > 0 khi x ẻ ( - ; 1 ).
II. XẫT DẤU TÍCH , THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT.
VD1: Xột dấu nhị thức sau : 
f(x) = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( 2x – 5 ) 
Giải 
Ta cú : x + 1 = 0 Û x = - 1
 x + 2 = 0 Û x = 2
 2x + 5 = 0 Û x = 	
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -1 2 +Ơ
x + 1
- 0 + ẵ + ẵ +
x + 2
- ẵ - 0 + ờ +
2x - 5
- ờ - ờ - 0 +
f(x)
- 0 + 0 - ║ + 
Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( - Ơ ; -1 ) hoặc ( 2 ; ) 
 f(x) > 0 khi x ẻ ( -1 ; 2 ) hoặc x ẻ 
VD2 : Xột dấu nhị thức 
 f(x) = 
Ta cú : 2 - x = 0 Û x = 2 
	2x - 4 = 0 Û x = - = -2
	1 - 3x = 0 Û x = 
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -2 2 +Ơ
2 - x
+ ù + ù + 0 -
2x - 4
- 0 + ù + ờ +
1 - 3x
+ ù +	0 - ù -
f(x)
- 0 + ║ + 0 + 
Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; -2 ) hoặc ( -2 ; )
 f(x) > 0 khi x ẻ ( -2 ; ).
Luyện Tập
Bài tập 1: Xột dấu cỏc biểu thức . 
a) f(x) = ( 2x - 1 ) ( x + 3 ) 
Ta cú : 2x -1 = 0 Û x = 
 x + 3 = 0 Û x = -3
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -3 +Ơ
2x -1 
- ù - 0 + 
x + 3
- 0 + ù + 
f(x)
+ 0 + 0 + 
 Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; -3 ) hoặc x ẻ ( ; +Ơ ) 
	f(x) > 0 khi x ẻ ( -3 ; 1 ) 	
b) f(x) = ( -3x - 3 ) ( x + 2 ) ( x + 3) 
Ta cú : -3x - 3 = 0 Û x = -1
 x + 2 = 0 Û x = -2
 x + 3 = 0 Û x = -3
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -3 -2 -1 +Ơ
-3x - 3
+ ù + ù + 0 -
x + 2
- ù - 0 + ờ +
x + 3
- 0 +	ù + ù +
f(x)
+ 0 - ║ + 0 - 
 Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; -3 ) hoặc ( -2 ; 1 )
 f(x) > 0 khi x ẻ ( -1 ; +Ơ ) 
c) f(x) = - 
Ta cú : = 
Û -5x -11 = 0 Û x = -
Û 3x + 1 = 0 Û x = -
Û 2 - x = 0 Û x = 2 
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ - - 2 +Ơ
-3x - 3
+ 0 - ù - ù -
x + 2
- ù - 0 + ờ +
x + 3
+ 0 +	 ù + 0 -
f(x)
- 0 + ║ - ║ +
	Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; - ) hoặc ( - ; - )
 f(x) > 0 khi xẻ ( - ; 2 ) 
d) 4x2 -1 
 Û (2x + 1) (2x + 1)
 Û 2x + 1 = 0 Û x = -
 Û 2x - 1 = 0 Û x = 
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ - +Ơ
2x + 1 
- 0 + ẵ + 
2x - 1
- ẵ - 0 + 
f(x)
+ 0 - 0 + 
	Vậy f(x) < 0 khi x ẻ ( -Ơ ; - ) hoặc x ẻ ( ; +Ơ ) 
2. Giải cỏc bất phương trỡnh 
a) Ê 
 Û Ê 0 	 
 Û Ê 0 
Ta cú : 
Û -x + 3 = 0 Û x = 3
Û x - 1 = 0 Û x = 1
Û 2x - 1 = 0 Û x = 
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ 1 3 +Ơ
-x + 1 
+ ẵ + ẵ + 0 -
x - 1
- ẵ - ẵ + 0 + 
2x - 1
- 0 + ẵ + ẵ +
f(x)
+ ║ - ║ + ║ - 
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là : ( ; 1) ẩ [3 ; +Ơ]
............................................................................................................
c) < 
Û < 0 Û < 0 
Ta cú : x + 12 = 0 Û x = -12
 x + 4 = 0 Û x = -4
 x - 3 = 0 Û x = -3
 x = 0 Û x = 0
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ -12 -4 -3 0 +Ơ
x + 12
- 0 + ẵ + ẵ + ẵ +	
x + 4 
- ẵ - 0 - ẵ - ẵ + 
x - 3
- ẵ - ẵ - 0 + ẵ + 
x
- ẵ - ẵ - ẵ - 0 +
f(x)
+ 0 - 0 + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là : (-12 ; -3) ẩ (-3 ; 0)
d) 
3. Giải cỏc bất phương trỡnh : 
a)ẵ5x - 4ẵ³ 6 
b)ẵẵ< ẵẵ
S5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. Định lớ về dấu của tam thức bậc hai 
1. Tam Thức Bậc Hai 
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức cú dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0, trong đú a,b,c là những hệ số, a ạ 0 . 
2. Dấu của tam thức bậc hai 
x
-Ơ x1 x2 +Ơ
f(x)
+ 0 - 0 +
 A > 0
x
-Ơ x1 x2 +Ơ
f(x)
- 0 + 0 -
A < 0 
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ạ 0), D = b2 - 4ac.
Nếu D < 0 thỡ f(x) luụn cựng dấu với hệ số a, với mọi x ẻ R
Nếu D = 0 thỡ f(x) luụn cựng dấu với hệ số a, trừ khi x = 
Nếu D > 0 thỡ f(x) cựng dấu với hệ số a khi x x2, trỏi dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đú x1 , x2 , (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x). 
VD1: f(x) = 3x2 + 2x -5 
D = b2 - 4ac = 22 - 4 . 3 . (-5) = 64 > 0 
 Û x1 = - x2 = 1
BẢNG XẫT DẤU
x
-Ơ - 1 +Ơ
f(x)
+ 0 - 0 +
Vậy f(x) > 0 khi x ẻ ( -Ơ ; ) hoặc x ẻ (1 ; Ơ)
	f(x) < 0 khi x ẻ ( - ; 1 ) 
II. BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI MỘT ẦN 
1. Bất phương trỡnh bậc hai 
Bất phương trỡnh bậc hai hai ẩn x là bất phương trỡnh dạng ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c ≥ 0, trong đú a, b, c là những số thực đó cho, a ạ 0.
2. Giải bất phương trỡnh bậc hai 
VD: Giải bất phương trỡnh sau : 
a) 3x2 + 2x + 5 > 0 
b) -2x2 + 3x + 5 > 0 
c) -3x2 + 7x - 4 < 0 
d) 9x2 - 24x + 16 ≥ 0 
Giải
	a) 3x2 + 2x + 5 > 0 	
	Ta cú : 	Tam thức f(x) = 3x2 + 2x + 5 = 0 
	 ∆′ = 1 - 3 . 5 < 0
 Hệ số a = 3 luụn dương (cựng dấu với a) , nờn f(x) > 0 
 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là : ( -Ơ ; +Ơ)	
	b) -2x2 + 3x + 5 > 0 	
	Ta cú : 	Tam thức f(x) = -2x2 + 3x + 5 > 0 
 Û x1 = -1 x2 = 
 Hệ số a = -2 < 0 nờn g(x) luụn dương với mọi x thuộc khoảng (-1 ; )	
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là : ( -1 ; )
c) -3x2 + 7x + 4 < 0 
Ta cú : Tam thức f(x) = -3x2 + 7x + 4 < 0 
 Û x1 = 1 x2 = 
Hệ số a = -3x < 0 nen h(x) luụn õm với mọi x thuộc khoảng ( -Ơ ; 1) hoặc ( ; +Ơ). 
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là : (-Ơ ; 1) ẩ ( ; +Ơ)
d) 9x2 - 24 + 16 ≥ 0 
Ta cú : Tam thức f(x) = 9x2 - 24 + 16 ≥ 0 
 ∆′ = 122 - 9 . 16 = 0 
Nờn f(x) cú nghiệm kộp x1 = nờn f(x) > 0 với mọi x ạ và f(x) = 0 với x = 
Bài Tập 1 : Xột dấu nhị cỏc tam thức bậc hai 
a) 5x2 – 3x + 1 
 b) -2x2 + 3x + 5
 c) x2 + 12x + 3
 d) (2x - 3) (x + 5)
Bài tập 2: Lập bảng xột dấu cỏc biểu thức sau : 
f(x) = (3x2 - 10x + 3) (4x - 5) ;
f(x) = (3x2 - 4x) (2x2 - x -1) ; 
f(x) = (4x2 - 1) (-8x2 + x - 3) (2x + 9) ; 
Bài tập 3: Giải bất phương trỡnh sau : 
 a) 4x2 - x + 1 < 0 
	b) -3x2 + x + 4 ≥ 0 
 c) < 
 d) x2 - x - 6 ≤ 0 
Bài tập 4: Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để cỏc phương trỡnh sau vụ nghiệm 
 a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 
	b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0
ΔÂ = bÂ2 - ac
a2 - 2ab + b2
	Û
Giải
a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 
a b c
 ò
 bÂ=2m - 3
Û (2m - 3)2 - (m - 2) . (5m - 6)
Û (2m)2 - 2 . 2m . 3 + 32
Û -(5m2 - 6m - 10m + 12)
Û 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 16m - 12
Û ΔÂ = -m2 + 4m - 3 
Để phương trỡnh vụ nghiệm thỡ ΔÂ < 0 hay -m2 - 4m - 3 < 0 
 m = 3
Ta cú : -m2 + 4m - 3 = 0 Û 
 m = 1
BẢNG XẫT DẤU
m
-Ơ 1 3 +Ơ
-m2 + 4m - 3
 - 0 + 0 - 
Vậy để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ m 3 
 m ẻ (-Ơ ; 1) hoặc m ẻ (3 ; +Ơ)
(-m - 3)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0
 Ta cú : 
 Û [-(m - 3 )] - (3 - m) . (m + 2)
 Û m2 - 2 . m . 3 + 32 - (3m2 + 6m - m2 - 2m)
 Û m2 - 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m 
 Để phương trỡnh ΔÂ < 0 hay 2m - 7m + 3m < 0 
 m = 3
	 Ta cú -2m2 - 7m + 3 = 0 Û 
 m = 
BẢNG XẫT DẤU
m
-Ơ 3 +Ơ
-2m2 - 7m + 3
 + 0 - 0 +
 Vậy để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ m 3