Bài giảng môn toán lớp 10 - Bài 1: Công thức lượng giác

GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
I. Đường tròn lượng giác. 
II. Công thức lượng giác cơ bản 
*   2 2sin 1 cos 1 cos 1 cosx x x x       2 2cos 1 sin 1 sin 1 sinx x x x     
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của cung x , biết 
1
sin
3
x  và 
2
x

  . 
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của cung x , biết 
3
sin tan
2
x x   và 0
2
x

  . 
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a, 
1
tan cot
sin cos
x x
x x
  b, 
sin cos 1 2
11 cos tan 1
cos
x x
x x
x
 

  
 . 
c. 
  2
2
1 sin tan 1
sin 1 sin
x x
x x



III. Cung có liên quan đặc biệt 
 Cos – Đối, Sin – Bù, Phụ - Chéo 
  
sin
sin
sin
x
x k
x


  

  
cos
cos
cos
x
x k
x


  

  tan tanx k x   cot cotx k x  
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a. sin cos
2
x x
   
 
 b. 
15
cos sin
2
x x
   
 
. 
Bài 5. Rút gọn biểu thức:   3 3cos sin tan cot
2 2 2
P x x x x
  
                 
     
. 
IV. Công thức nhân đôi, nhân ba. Công thức hạ bậc. 
* Công thức nhân đôi:   2 2cos2 cos sin cos sin cos sinx x x x x x x     
   2cos2 2cos 1 2 cos 1 2 cos 1x x x x     
  21 sin 2 sin cosx x x   
* Công thức nhân ba:     3 2sin3 3sin 4sin sin 4cos 1 sin 2cos 1 2cos 1x x x x x x x x       
   3cos3 4cos 3cos cos 1 2sin 1 2sinx x x x x x     
* Công thức hạ bậc: 2
1 cos2
cos
2
x
x

 2
1 cos2
sin
2
x
x

 
 3
cos3 3cos
cos
4
x x
x

 3
3sin sin3
sin
4
x x
x

 . 
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của cung 015x  . 
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của cung 
8
x

 . 
Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của cung 05x  . 
Bài 4. Chứng minh rằng: 4 4
3 cos 4
sin cos
4
x
x x

  b. 6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x   . 
GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
Bài 5. Rút gọn các biểu thức: 
a. 
 2sin cos sin 2
1 cos 2
x x x
P
x
 


 b. 
 sin 2 tan cot
5
sin 2
2
x x x
A
x



  
 
 c. 
 
2sin sin
1 cos 4 tan
2
x x
Q
xx 
 
 
d. 
2
2
sin 3 sin
1
1 2cos 2 2sin
2
x x
B
xx
  

 e. 
7
sin 2
sin 42
2 sin 1 2 cos 2 cos
x
x
C
x x x
  
  

 f. 
2
2 152cos sin cos
2 4 2 2
x x x
D
         
   
V. Công thức cộng cung. Công thức biến đổi tổng thành tích – Tích thành tổng 
 *  sin sin cos sin cosa b a b b a    cos cos cos sin sina b a b a b   
   tan tantan
1 tan tan
a b
a b
a b

 

   tan tantan
1 tan tan
a b
a b
a b

 

. 
Bài 1. Tính giá trị lượng giác của cung 075x  . 
Bài 2. Chứng minh sin cos 2 sin
4
x x x
    
 
. 
Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của cung x , biết 
5
tan 3
4
x
   
 
 và sin 0x  . 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: 
a. 
sin 5 sin
4sin 3
x x
A
x

 b. 
 5 34cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
1 2sin 2
x x
x x
x
  

Bài 5. Chứng minh rằng 2 2
3
sin sin sin .sin
3 3 4
x x x x
           
   
. 
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
1. Phương trình lượng giác cơ bản 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
a. sin 0x  b. 
1
sin
2
x  c. 
2
sin
4 2
x
    
 
. 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
a. cos 1x   b. 
1
cos 2
3 2
x
   
 
 c. tan 1x  . 
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác 
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
a. 2cos 3 0x   b.   2sin 3 1 3 cot 1 0x x   c.  2 sin cos 1 0
cot 1
x x
x

 

. 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
a. 22sin 3sin 1 0x x   b.  2tan 3 1 tan 3 0x x    . 
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
a. 22sin cos 2 0x x   b. 3cos 2 5sin 8 0x x   
c. 4 4
1
sin cos sin 2 0
2
x x x   d. 2cos 4 2cos 1 0x x   . 
GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
3. Phương trình lượng giác thường gặp 
a. Phương trình dạng sin cosA x B x C  
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
a. sin cos 0x x  b. 3 cos 2 sin 2 1 0x x   
c. 1 tan 2 2 sin
4
x x
    
 
 d. 
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x    
 
. 
Mở rộng:      2 2sin cos sinA f x B f x A B g x             
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
a. 3 cos5 sin 5 2sinx x x  b. sin 3 3 cos3 2cos 2 0x x x   
b. Phương trình đẳng cấp với sin và cos: 2 2sin sin cos cos 0A x B x x C x D    
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
a.  2 24sin 3sin cos 3 4 cos 4x x x x    b. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   . 
c. Phương trình dạng:  sin cos sin cos 0A x x B x x C    
Bài 4. Giải phương trình:  12 sin cos sin 2 12 0x x x    . 
Bài 5. Giải phương trình:  8 cos sin 3sin 2 7 0x x x    . 
4. Phương pháp giải phương trình lượng giác 
a. Đưa về phương trình tích 
Bài 1. Giải phương trình sau:  1 cos cot cos 2 sin sin 2x x x x x    
Bài 2. Giải phương trình sau: 2tan 2 cot 8cosx x x  
Bài 3. Giải phương trình sau:  
2 sin
4
1 sin 2 1 tan
cos
x
x x
x
  
     
Bài 4. Giải phương trình sau:  2 92cos sin cos 2sin sin 2
2
x x x x x
     
 
Bài 5. Giải phương trình sau:  24cos 1 2cos 2 sin 3 cos 0x x x x    
b. Loại nghiệm phương trình lượng giác 
Bài 1. Giải phương trình sau: 
2cos 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
  . 
Bài 2. Giải phương trình sau: 
 6 62 sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


. 
Bài 3. Giải phương trình sau: 
 1 sin cos 2 sin
cos4
1 tan 2
x x x
x
x
    
  

. 
Bài 4. Giải phương trình sau: 
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  


. 
Bài 5. Giải phương trình sau: 
 
  
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x


 
. 
GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
BÀI TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (P1) 
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a. 3 2
3
sin cos
tan tan tan 1
cos
x x
x x x
x

    b. 
1 cot tan 1
1 cot tan 1
x x
x x
 

 
 c. 
 3
tan sin 1
sin cos 1 cos
x x
x x x



. 
Bài 2. Rút gọn biểu thức: 
 2
2
1 cos1 cos
1
sin sin
xx
P
x x
 
  
  
 . Tính giá trị của biểu thức P , biết tan 3x   và 
2
x

  . 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức: 
a. 4 2 2 2sin cos sin .cosA x x x x   b. 
 2sin cos 1
tan sin cos
x x
B
x x x
 


 c.    3 3sin 1 cot cos 1 tanC x x x x    . 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức: 
a. 
3
sin( ) cos cot(2 ) tan
2 2
A x x x x
 
              
   
b. 
sin( ).cos( 2 ).sin(2 )
3
sin .cot( ).cot
2 2
x x x
B
x x x
  
 

  

        
   
c. 
2 2
3
sin sin( ) cos cos(2 )
2 2
C x x x x
 
 
                   
      
d. 
2 5 3
sin .tan .cos tan( ). tan
3 3 3 2
D a a a a a
   
                    
       
. 
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức: 
a. 2 0 2 0 2 0 2 0sin 15 sin 35 sin 55 sin 75   b. 
3
19
cos2
4
13
tan3
6
25
sin3

 
c. 
2 0 0 0 2 0
2 0 2 0
cos 696 tan( 260 ).tan 530 cos 156
tan 252 cot 342
  

. 
Phần 2 
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 
1. 
cos3 sin 3
sin cos
1 2sin 2
x x
x x
x

 

 2.  22cos 2 1sin sin 2 sin cos
1 tan 2
x
x x x x
x
   

3. 
2
cot sin 1 tan tan
2 sin 2
x
x x x
x
    
 
 4. 
   2
1 sin 2 cos 2
sin 2 sin cos
sin 1 cot
x x
x x x
x x
 
 

5. 
sin 3 cos3 sin cos
2cos 2
sin cos
x x x x
x
x x
  


 6. 
3 sin 2 cos 2 2cos 1
2cos
3 sin cos 1
x x x
x
x x
  

 
Bài 2. Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích: 
1. cos3 4cos 2 3cos 4x x x   2. 2 2 2 2cos cos sin sin
2 2 4
x x
x x
   
 
3.   2cos 1 2sin cos sin sin 2x x x x x    4. 1 sin cos sin 2 cos 2x x x x    
5.    2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x     6. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   
7.  2sin 1 cos 2 sin 2 2cos 1x x x x    8.  21 2sin cos 1 sin cosx x x x    
9.  sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sinx x x x x   10. sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x    . 
11. sin 2 2cos sin 1x x x   12.  2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1x x x x x    
13. cos sin cos 2 sin 2 1x x x x    14.  2 2 3sin cos 2 cos tan 1 2sinx x x x x   
GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
Phần 3 
Bài 1. Chứng minh 
a. sin 3 cos 2sin
3
x x x
    
 
 b. 3 cos sin 2cos
6
x x x
    
 
. 
Bài 2. Biến đổi các biểu thức sau thành tích 
a. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   b. 4 4
3
sin cos sin 3 cos
4 4 2
x x x x
           
   
c. 2 2cos 3 cos 2 cosx x x d. cos3 cos cos 2 1x x x   
e. 22sin 2 sin 7 1 sinx x x   f. 2cos 2 sin sin 3x x x  
Bài 3. Biến đổi các biểu thức sau thành tổng: 
a. 2cos 4 sin 3x x b. 
3
sin sin 3
2
x x
  
 
Bài 4. Chứng minh 
a. 
 
 
2
2 1 sin cos 2 sin
4 2cos sin
cos 1 tan
x x x
x x
x x
    
   

 b. 
1
sin 2
tan cot 2
x
x x


. 
c. 
sin cos
6 3
3 tan
cos
x x
x
x
         
     d. 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 2sin 5
3
x x x x x
     
 
. 
GV. Đinh Văn Trường. Mobi: 01677.10.19.15 
Victory loves preparation! 
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (P1) 
Giải các phương trình sau: 
1. cos 4 sinx x  2.  3sin 4sin 2cos 11 1
2 2
x x x
 
           
   
3. 3 2sin 2sin 3sin 6 0x x x    4. 2
3
cos cos
4
x
x  
5. 2cos 5 cos 2 cosx x x   6. sin 3 sin 6 sin 9x x x  
7.    22sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x    8. tan .tan 5 1x x  
9. 2sin cos 2 1 2cos 2 sin 0x x x x    10. 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x    
11. tan tan 2 sin 3 cosx x x x  12.   1 tan 1 sin 2 1 tanx x x    
13. 22cos 4 6cos 1 3cos 2 0x x x    14. 
 1 cos 2cos 1 2 sin
1
1 cos
x x x
x
  


15.   23cos 2 3 cos 1 cotx x x   16.  6 62 sin cos sin cos 0x x x x   
17. 
sin 3 cos3
7 cos 4 cos 2
2sin 2 1
x x
x x
x
     
 18. 2
3
2 tan 3
cos
x
x
  
19. 
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
  20. 
2
cot
tan 4
1 tan 2
x
x
x
  
 

Phần 2 
Giải các phương trình sau: 
1. sin 2 3 cos 2 1x x   2. 3 sin 4 cos 4 2sinx x x  
3. 33 cos3 3sin 2cos 4sinx x x x   4.  4 44 sin cos 3 sin 4 2x x x   
5. 2 23sin sin cos 4cos 0x x x x   6. 2 2sin 2cos 2 sin 2 cos 1 0x x x x     
7. 3 22cos sin 3sin cos 0x x x x   8.  5 sin cos 2sin 2 2x x x   
9. 
3 1
8sin
cos sin
x
x x
  10. sin 2 cos 2 cos sin 0x x x x    
11.  3 sin 3 cos cos3 sinx x x x   12. 2 2cos 3 sin 2 1 sinx x x   
13. 2tan sin cos cosx x x x  14.   sin cos sin 2 12 12cos 2 0x x x x    
15. 3 2sin sin 2cos 2 0x x x    16.  sin cos 1 cos 2 cos sin 0x x x x x    
17.     23 sin 3 sin 8 2 cosx x x    18. 
23 cos3 4sin cos
3
cos
x x x
x

 
19.  32cos 2cos 3 sin 3 cos 2 cos 2x x x x x    
20. 2 2 2 2
3
3sin cos 3sin cos sin cos sin cos
2 2
x x x x x x x x
           
   