Bài giảng môn toán lớp 10 - Bài tập ôn học sinh giỏi phần hình phẳng

Bài tập ụn học sinh giỏi phần hỡnh phẳng.
1. Tìm quỹ tích điểm giữa các dây cung đi qua gốc tọa độ của đường tròn: 
2. Cho tam giác vuông ABC có , AB = 2c, AC = 2b. Các cạnh góc vuông được chia thành các phần bằng nhau bởi các điểm chia. Qua các điểm chia trên cạnh AB kẻ các đường thẳng song song với AC. Nối các điểm chia tương ứng của AC với B (lấy từ B và C). Chứng minh rằng giao điểm các cặp đường thẳng tương ứng là môt parabol.
3. Cho đường thẳng trong mặt phẳng (P). Điểm M nằm ngoài mặt phẳng (P), kẻ MH vuông góc với (P), Hẻ(d). Lấy Nẻd. Kẻ phân giác góc cắt (P) tại I. Tìm quỹ tích điểm I khi N thay đổi trên d.
4. Tìm mối liên hệ giữa a, b để tồn tại tam giác vuông CDE 
vuông tại C, sao cho tìm được hai điểm A, B thỏa mãn: và a = CA, b=CB.
5. Cho đường thẳng D có phương trình: 
.
 a) Chứng minh rằng với mọi α thì D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Viết phương trình đường tròn đó.
b) Cho các điểm A(1; 0), . Xác định α để D cắt đoạn thẳng AB tại một điểm khác A và B.
6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M=(2; 4). Xét các tam giác có một cạnh vuông góc với trục Oy và 2 đỉnh nằm trên parabol sao cho M là trung điểm của một trong hai cạnh còn lại. Xác định tam giác có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
7. Cho tứ giác ABCD có nhọn, I là trung điểm AC, biết . Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
8. Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường tròn (Cm):
x2 + y2 – 2(m – 1)x – (m + 6)y + m + 10 = 0 (m ạ 0)
Chứng minh rằng: Các đường tròn (Cm) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định khi m thay đổi.
9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2-0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
10. Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của DACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh GI vuông góc với CM.
11. Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy 
cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). Biết (C) 
có phương trình . 
; A(2; 0) và diện tích tam giác ABC 
bằng 4. Tìm tọa độ các đỉnh B; C.
12. Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(-3; 0), C(3; 0). Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm I thuộc một đường cong cố định.
13. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x–y–8=0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
 14. Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính 
R và đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm A cố định. Từ 
điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (C) kẻ tiếp 
tuyến MT tới đường tròn (C) (T là tiếp điểm). Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của M lên d.Chứng minh rằng đường tròn 
tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn 
cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT= MH.
15. Trong mp(Oxy), cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(1;2). Gọi H là trực tõm tam giỏc ABC. Biết rằng đường trũn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC cú phương trỡnh là: x2+y2-2x+4y+4=0. Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): , và cỏc điểm 
. Tỡm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
17. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho điểm và đường trũn 
. Gọi là hai điểm phõn biệt thuộc đường trũn ( khỏc ). Viết phương trỡnh đường thẳng , biết là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc .
18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm I (6, 2) là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD. Điểm thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D : x + y – 5 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng AB.
19. Cho vuụng tại A cú đỉnh, phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh là . Viết phương trỡnh đường thẳng BC biết và điểm A cú hoành độ dương.
20. Cho cỏc đường thẳng . Gọi (T) là đường trũn tiếp xỳc với tại A, cắt tại 2 điểm B, C sao cho vuụng tại B. Viết phương trỡnh đường trũn (T) biết và điểm A cú hoành độ dương.
21. Cho điểm và elip . Gọi là cỏc tiờu điểm của (E), ( cú hoành độ õm), M là giao điểm cú tung độ dương của với (E); N là điểm đối xứng của qua M. Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp .
22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn (C) : và đường thẳng D : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tõm của đường trũn (C). Tỡm m để D cắt (C) tại 2 điểm phõn biệt A và B sao cho diện tớch DIAB lớn nhất.
23. Cho đường trũn và hai đường thẳng . Xỏc định tõm K và bỏn kớnh đường trũn biết tiếp xỳc với cỏc đường thẳng và tõm K thuộc đường trũn (C ).
24. Cho cõn tại A cú đỉnh và cỏc đỉnh B, C thuộc . Xỏc định tọa độ cỏc điểm B, C biết cú diện tớch bằng 18.
25. Cho đường trũn . I là tõm của (C) xỏc định điểm M thuộc (C) sao cho 
26. Cho cõn tại . Đường thẳng đi qua trung điểm cỏc cạnh AB, AC cú phương trỡnh là .Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B, C biết rằng điểm nằm trờn đường cao đi qua đỉnh C của tam giỏc đó cho.
27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y + 2 = 0 và đường trũn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tõm của (C), M là điểm thuộc D. Qua M kẻ cỏc tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là cỏc tiếp điểm). Tỡm tọa độ điểm M, biết tứ giỏc MAIB cú diện tớch bằng 10.
28.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : . Tỡm tọa độ cỏc điểm A và B thuộc (E), cú hoành độ dương sao cho tam giỏc OAB cõn tại O và cú diện tớch lớn nhất.
29. Trong mặt phẳng toạ đụ̣ Oxy, cho hai đường thẳng D : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2 = 0. Tỡm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng D tại điểm M thỏa món OM.ON = 8.
30. Trong mặt phẳng toạ đụ̣ Oxy, cho hai đường thẳng D : và d : 2x – y – 2 = 0. Tỡm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng D tại điểm M thỏa món OM.ON = 8.
31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú đỉnh B . Đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB tương ứng tại cỏc điểm D, E, F. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF cú phương trỡnh y – 3 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh A, biết A cú tung độ dương.
32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử và đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ điểm A.
33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C) : x2 + y2 = 8. Viết phương trỡnh chớnh tắc elip (E), biết rằng (E) cú độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hỡnh vuụng.
34. Trong mặt phẳng cú hệ tọa độ Oxy, cho cỏc đường trũn (C1) : , (C2): và đường thẳng d: . Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc (C2), tiếp xỳc với d và cắt (C1) tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho AB vuụng gúc với d.
35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú AC = 2BD và đường trũn tiếp xỳc với cỏc cạnh của hỡnh thoi cú phương trỡnh Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) đi qua cỏc đỉnh A, B, C, D của hỡnh thoi. Biết A thuộc Ox.
37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD cú phương trỡnh x + 2y – 6 = 0 và tam giỏc ABD cú trực tõm là H (-3 ; 2). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh C và D 
40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú chõn đường cao hạ từ A là H , chõn đường phõn giỏc trong của gúc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M (0 ; 1). Tỡm tọa độ đỉnh C.
41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm C thuộc đường thẳng d : và . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đường thẳng MD. Tỡm tọa độ cỏc điểm B và C, biết rằng N(5;-4).
42.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Đường trũn (C) cú bỏn kớnh R = cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trỡnh đường trũn (C).
43. Trờn mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng 
 và hai elớp , 
 cú cựng tiờu điểm. Biết rằng đi qua điểm M thuộc đường thẳng Tỡm toạ độ điểm M sao cho elớp cú độ dài trục lớn nhỏ nhất.
44.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn (T): và điểm . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là cỏc tiếp điểm. Tỡm tọa độ tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MAB.
45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đỉnh B(1;1), đường thẳng AC cú phương trỡnh: 4x+3y-32=0. Trờn tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM=75. Tỡm tọa độ đỉnh C biết bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AMC bằng