Bài giảng môn toán lớp 10 - Các dạng toán ôn tập chương 1 (tiếp)

CÁC DẠNG TOÁN ễN TẬP CHƯƠNG 1
Dạng 1. Xỏc một vectơ, sự cựng phương, cựng hướng:
 * Phương phỏp : Sử dụng cỏc khỏi niệm về vộctơ
+ K/n Vộctơ
+ K/n về hai vộctơ cựng phương, hai vộctơ cựng hướng
BÀI TẬP 
Bài 1: Cho tam giỏc ABC. Cú thể xỏc định được bao nhiờu vộctơ ( khỏc vectơ-khụng ) cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh tam giỏc?
Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Tỡm cỏc vectơ cựng phương với ;
Tỡm cỏc vectơ cựng hướng với ;
Tỡm cỏc vectơ ngược hướng với ;
Tỡm cỏc vectơ bằng với , bằng với .
Bài 3: Cho lục giỏc đều ABCDEF cú tõm O
a) Tỡm cỏc vectơ khỏc và cựng phương ;
b) Tỡm cỏc vectơ bằng vectơ ;
c) Hóy vẽ cỏc vectơ bằng vectơ và cú:
	+ Cỏc điểm đầu là B, F, C
	+ Cỏc điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm là O . Tỡm cỏc vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
bằng vectơ ; 
Cú độ dài bằng ờ ờ
HD:
Bài 1: cú cỏc cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xỏc định 2 vộctơ
Bài 2: 
Bài 3: 
Trờn tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đú 
* là vectơ cần tỡm
* Trờn tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB ị 
+ tương tự 
Bài 4: 
 ,
Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
 * Phương phỏp : Ta cú thể dựng một trong cỏc cỏch sau:
 + Sử dụng định nghĩa: 
 + Sử dụng tớnh chất của cỏc hỡnh . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ
,(hoặc viết ngược lại)
 + Nếu 
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
	Chứng minh: 	
Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD. 
Chứng minh rằng ABCD là hỡnh bỡnh hành khi và chỉ khi 
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD. Chứng minh rằng nếu thỡ 
Bài 4 : Cho tứ giỏc ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh : 
HD 
Bài 1: 
Cỏch 1: EF là đường trung bỡnh của D ABC nờn EF//CD, 
EF=BC=CDị EF=CDị (1)
 cựng hướng (2)
Từ (1),(2) ị 
Cỏch 2: Chứng minh EFDC là hỡnh bỡnh hành
	EF=BC=CD và EF//CDị EFDC là hỡnh bỡnh hànhị	
Bài 2: 
Chứng minh chiều : * ABCD là hỡnh bỡnh hành 	
 * 
Chứng minh chiều : * = , cựng hướng và 
 * và cựng hướng AB // CD (1)
 * AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hỡnh bỡnh hành
Bài 3 : ị AB=DC, AB//CDịABCD là hỡnh bỡnh hành ị 
Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vỡ chỳng bằng AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hỡnh bỡnh hành
ị đpcm
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:
 Phương phỏp: cú thể sử dụng cỏc phương phỏp sau
	1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đó biết là đỳng.
	3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
 Cơ sở : sử dụng cỏc quy tắc về vộctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tựy ý, ta cú : + =
A
B
C
D
 Quy tắc hỡnh bỡnh hành . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ + =
 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tựy ý cho trước ta cú:
 (hoặc )hay 
Tớnh chất trung điểm của đoạn thẳng :
 + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB Û
Tớnh chất trọng tõm của tam giỏc :
	+ Điểm G là trọng tõm tam giỏc ABC Û 
 BÀI TẬP
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + 
Bài 2 Gọi O là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD. CMR :
a/ + = 	b/ + =
c/ + + + = 	d/ + = + (với M là 1 điểm tựy ý)
Bài 3 Cho tứ giỏc ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = + 
Bài 4 Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tựy ý , , 
CMR : + + = + + .
 Bài 5 : Cho tam giỏc ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta cú:
 Bài 6: Cho lụ giỏc đều ABCDEF cú tõm là O . CMR :
	a) +++++=	b) ++ = 
	c) ++ =	d) ++ = ++ ( M tựy ý )
Dạng 4 .Tớnh độ dài của hệ thức vộctơ :
 Cơ sở: 
sử dụng cỏc quy tắc về vộctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tựy ý, ta cú : + =
+ Quy tắc hỡnh bỡnh hành . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ + =
A
B
C
D
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tựy ý cho trước ta cú:
 (hoặc )hay 
Sử dụng tớnh chất hai vộctơ :
+ Nếu hai vộc tơ , cựng hướng thỡ |+| = ||+||
+ Nếu hai vộc tơ ư¯ và || ≥ || thỡ |+|=||-||
 BÀI TẬP
Bài 1 Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tớnh ẵ- ỗ	
b/ Dựng = - . Tớnh ẵỗ
 Bài 2 Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tớnh ẵỗ	
b/ Tớnh ẵ- ỗ
 Bài 3 Cho DABC vuụng tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tớnhẵỗ
 Bài 4 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O . Đặt = ; = 
	Tớnh ; ; ; theo và 
 Bài 5 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Tớnh ỳỗ theo a
 Bài 6 Cho hỡnh chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tớnh ẵỗ	
b/ Dựng = . Tớnh ỳẵ
Dạng 5. Xỏc định vectơ k :
 *Phương phỏp : Dựa vào định nghĩa vectơ k và cỏc tớnh chất 
BÀI TẬP
 Vớ dụ 1. Cho và điểm O. Xỏc định hai điểm M và N sao cho :
O
M
N
Giải
 Vẽ d đi qua O và // với giỏ của (nếu O ẻ giỏ của thỡ d là giỏ của )
- Trờn d lấy điểm M sao cho OM=3| |, và cựng hướng khi đú .
- Trờn d lấy điểm N sao cho ON= 4||, và ngược hướng nờn 
 Vớ dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trờn đoạn AB sao cho AM=AB. Tỡm k trong cỏc đẳng thức sau:
Giải
a) , vỡ ị k=
b) k= -	c) k= -
 Vớ dụ 3. 
 a) Chứng minh:vectơ đối của 5 là (-5) 
b) Tỡm vectơ đối của cỏc vộctơ 2+3 , -2
Giải
a) -5=(-1)(5)=((-1)5) = -(-5) 
b) -(2+3)= (-1)( 2+3)= (-1) 2+(-1)3=(-2)+(-3) =-2-3
c) Tương tự
Dạng 6. Biểu diễn (phõn tớch, biểu thị) thành hai vectơ khụng cựng phương :
A
 Vớ dụ 1.Cho D ABC cú trọng õtm G. Cho cỏc điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hóy phõn tớch cỏc vectơ theo hai vectơ .
Giải Ta cú 
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC. Điểm M nằm trờn cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hóy phõn tớch vectơ theo hai vectơ .
Giải
	Ta cú 
	mà 
	ị 
Dạng 7. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
 Cơ sở: 
+ A, B, C thẳng hàng Û cựng phương Û$ 0≠k ẻ : 
 + Nếu và hai đường thẳng AB và CD phõn biệt thỡ AB//CD.
 Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
	Ta cú 
Ta cú
	Từ (1)&(2)ị ị B, I, K thẳng hàng.
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC. Hai điểm M, N được xỏc định bởi hệ thức: 
, . Chứng minh MN//AC
Giải
. Theo giả thiết
Mà A,B,C khụng thẳng hàng nờn bốn điểm A,B,C,M là hỡnh bỡnh hành
ị M khụng thuộc ACị MN//AC
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = 
a/ Tớnh , theo và 
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh cỏc tam giỏc ABC và A’B’C’ cú cựng trọng tõm.
Dạng 8. Xỏc định vị trớ của một điểm nhờ đẳng thức vộctơ :
 Cơ sở:
	+ 
	+ Cho điểm A và . Cú duy nhất M sao cho : 
+ 
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cú D là trung điểm BC. Xỏc định vị trớ của G biết .
Giải
ị A,G,D thẳng hàng. 
AG=2GD gà G nằm giữa A và D. 
Vậy G là trọng tõm tam giỏc ABC.
Vớ dụ 2. Cho hai điểm A và B. Tỡm điểm I sao cho: .
	hay IA=2IB , . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=AB
Vớ dụ 3. Cho tứ giỏc ABCD. Xỏc định vị trớ điểm G sao cho: 
Giải
Ta cú , trong đú I là trung điểm AB
Tương tự , K là trung điểm CD
ị G là trung điểm IK
BÀI TẬP
 Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tựy ý)
 d/ Xỏc định vị trớ của điểm M sao choẵ + ++ẵ nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tựy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : +++ = +++
c/ CMR : + = 4 (với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai DABC và DEF cú trọng tõm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2+ 4= 
Bài 5: Cho DABC cú M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trờn cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + 	b/ CMR : = + 
Bài 6: Cho DABC. Trờn hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = + 
b/ = +