Bài giảng môn toán lớp 10 - Chương I: Mệnh đề - Tập hợp

Chương I: MÊNH ĐỀ - TÂP HƠP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Mệnh đề.
. Một khẳng định hoặc đúng hoặc sai, khơng thể vừa đúng vừa sai gọi là một mệnh đề.
. Một mệnh đề cịn phụ thuộc vào những giá trị của biến số gọi là mênh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến x kí hiệu là: P(x).
. Mệnh đề “ khơng phải P” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là .
. Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: . Mệnh đề chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Định lí là một mệnh đề đúng và thường cĩ dạng .
Mệnh đề được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề .
. Nếu cả hai mênh đề đều đúng ta nĩi P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đĩ ta kí hiệu và đọc là : P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.
. Kí hiệu đọc là “ với mọi “, nghĩa là tất cả.
. Kí hiệu đọc là “ cĩ một “ ( tồn tại một) hay “ cĩ ít nhất một “.
B. BÀI TẬP
1/ Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.
 a) 2011 + 1 = 2012 b) x + 10 = 1
 c) x + 2y > 0 d) 5 - 
2/ Nếu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đĩ đúng hay sai:
P: “ Phương trình x2 – x + 1 = 0 cĩ nghiệm “
Q: “ 17 là số nguyên tố “
R: “ Số 963 chia hết cho 3 “ 
S: “ 25 khơng thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương “
3/ Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “ Điều kiện cần và đủ “
Một hình chữ nhật cĩ hai cạnh liên tiếp bằng nhau là hình vuơng và ngược lại.
Một tam giác cĩ ba đường cao bằng nhau là tam giác đều và ngược lại.
Một số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại.
4/ Dùng kí hiệu để viết các mệnh đề sau:
Cĩ số tự nhiên chia hết cho 11.
Mọi số nhân với chính nĩ đều là số khơng âm.
5/ Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
P: “ 
Q: “ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
2. Tập hợp.
. Tập hơp là một khái niệm cơ bản của tốn học. Để chỉ a là một phần tử của tâp hơp A, ta viết a A( đọc là a thuộc A). Để chỉ a khơng phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a A( đọc là a khơng thuộc A). Tập hợp rỗng kí hiệu là tập hợp khơng chứa phần tử nào.
. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nĩi A là một tập hợp con của B và viết AB( đọc là A chứa trong B). A
Khi A ta nĩi tâp A bằng tập B và viết là: A = B. Nhu vậy A = B 
. Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B
 ; 
. Tâp hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B.
. Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng khơng thuộc B gọi là hiệu của A và B.
B. BÀI TẬP.
1/ Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
A = {x Ỵ N / x có hai chữ số và chữ số hàng chục là 3}
B = {x Ỵ N / x là ước của 15}
C = {x Ỵ N / x là số nguyên tố không lớn hơn 17}
D = {x Ỵ N* / 3 < n2 < 30}
E = {x Ỵ R / (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0}
F = {x Ỵ Z / 2x2 – 7x + 5 = 0}
G = {x Ỵ Q / (x – 2)(3x + 1)(x + ) = 0}
H = {x Ỵ Z / }
I = {x Ỵ Z / x2 – 3x + 2 = 0 hoặc x2 – 1 = 0}
J = {x Ỵ R / x2 + x – 2 = 0 và x2 + 2x – 3 = 0}
2/ Xét xem hai tập sau có bằng nhau không ?
A = {x Ỵ R / (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0}
B = {5, 3, 1}
3/ Trong các tập sau tập nào là con tập nào ?
M = {x Ỵ Q / 1 £ x £ 2}; N = {x Ỵ Z / }
P = {x Ỵ N / x2 + 3 = 5}
4/ Xác định tất cả tập con của các tập sau :
a/ A = {a} b/ B = {0, 1} c/ C = {a, b, c}
5/ Tìm tất cả tập hợp X sao cho : {1, 2, m} Ì X Ì {1, m, 2, a, b, 6}
6/ Xác định A Ç B, A È B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau :
a/ A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
b/ A = {x Ỵ N / x £ 20}; B = {x Ỵ N / 10 < x < 30}
7/ Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số :
a/ [-3;1) Ç (0;4] b/ (-¥;1) È (-2;+¥) c/ (-2;3) \ (0;7)
d/ (-2;3) \ [0;7) e/ R \ (3;+¥) f/ R \ (-¥;2]
8/ Xác định A È B, A Ç B, A \ B, B \ A :
a/ A = [-2;4], B = (0;5] b/ A = (-¥;2], B = (0;+¥) c/ A = [-4;0), B = (1;3]
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
3. Sai số.
. Nếu a là số gần đúng của thì được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
. Nếu . Ta nĩi a là số gần đúng của với độ chính xác h, và viết là .
. Để quy trịn số gần đúng , người ta thường quy ước làm trịn đến hàng cụ thể ( hàng trăm, hàng nghìn,..).Để làm trịn đến hàng k, người ta thường quan tâm đến hàng k + 1. Nếu chữ số đĩ lớn hơn hoặc bằng 5 ta cộng vào chữ số k một đơn vị, nếu chữ số nhỏ hơn 5 ta giữ nguyên chữ số hàng k.
B. BAI TẬP
1/ Cho số = 37975421. Hãy viết số quy trịn của sở975421.
2/ Độ cao của một ngọn núi là h = 1372,5m. Hãy viết số quy trịn của số 1372,5.
Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
A. KIẾN THỨC CẦ NHỚ.
1. Khái niệm hàm số.
. Cho một tập hợp khác rỗng D R 
Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc, nhờ đĩ với mỗi số x luơn tìm được một số thực y duy nhất gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí hiệu là y = f(x).
. Tập D gọi là tập xác định( hay miền xác định), x gọi là biến số độc lập (hay biến số) hay đối số, y gọi là biến số phụ thuộc của hàm số f.
, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi nĩi (G) là đồ thị của hàm số f xác định trên tập D, ta hiểu rằng:
2. Sự biến thiên của hàm số.
Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số f gọi là đồng biến ( hay tăng) trên K nếu . Hàm số đồng biến thì đồ thị đi lên.
Hàm số f gọi là nghịch biến ( hay giảm ) trên K nếu . Hàm số nghịch biến thì đồ thị đi xuống.
3. Một số tính chất cơ bản của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D.
. f(x) là hàm số chẳn trên D
. f(x) là hàm số lẽ trên D
. Hàm số y = ax + b (a gọi là hàm số bậc nhất. Đồ thị của nĩ là một đường thẳng, a gọi là hệ số gĩc của đường thẳng đĩ. Hàm số này đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
. Hàm số y = ax2 + bx + c (agọi là hàm số bậc hai. Đồ thị của nĩ là một parabol.
B. BÀI TẬP. 
1. Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số :
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
2. Xét tính đơn điệu của hàm số :
a/ y = 2x + 5; y = -3x + 2; y = 1/2x – 10 trên R 
b/ y = 2x2 trên (0;+¥); y = x – 2x2 trên (1/4;+¥)
3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
a/ y = x2 + 1; y = 3x4 – 4x2 + 3; y = 4x3 – 3x; y = 2x + 1; y = x3 - 1
 y = x4 + x + 10; y = ; y = x2 + ; y = y = x|x|
b/ y = ; y= ; y = ; y = y = 
4. Vẽ đồ thị hàm số y = 
5. Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng :
a/ Đi qua hai điểm A(-3;2), B(5;-4).
b/ Đi qua A(3;1) và song song với Ox.
Vẽ các đường thẳng vừa tìm được trên cùng hệ trục tọa độ.
6. Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c, biết rằng đồ thị của nĩ 
a) Cĩ trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0 ; 4).
b) Cĩ đỉnh là I(-1 ; -2)
c) Đi qua hai điểm A(0 ; -1), B(4 ; 0)
d) Cĩ hịanh độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1 ; -2)
7. Tìm a, b, c biết rằng parabol y = ax2 + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm A(1;0), B(-3;0) và có hoành độ đỉnh
 là -1. Vẽ parabol vừa tìm được .
8. Tìm giao điểm của parabol y = 2x2 + 3x – 2 với các đường thẳng
 a) y = 2x + 1 b) y = x – 4 c) y = - x – 4
 bằng cách giải phương trình và bằng đồ thị.
9. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 2|x| + 1
10. Vẽ đồ thị hàm số y = |x2 – 6x + 5| 
Chưong III. PHƯƠNG TRINH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình.
*. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm.
*Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của (1).
* Cho phương trình f(x) = 0 , y = h(x) là một hàm số.
*Bình phương hai vế của một phương trình ta được một phương trình hệ quả.
* Đối với phương trình chứa căn ta cĩ: 
2.Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.
* Phương trình ax + b = 0, (a cĩ nghiệm x = .
 .Nếu a = 0, b = 0 phương trình cĩ vơ số nghiệm.
 .Nếu a = 0, b phương trình vơ nghiệm.
* Phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ trong đĩ b = 2b’.
 . Nếu phương trình cĩ nghiệm x = 
 . Nếu phương trình vơ nghiệm.
* Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì 
* Nếu hai số cĩ tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0
3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Ta cĩ: 
D : Hệ cĩ một nghiệm duy nhất (x ; y) trong đĩ x = 
D = 0: 
* : Hệ vơ nghiệm
* : Hệ cĩ vơ số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình 
ax + by = c
B. BÀI TẬP
1. Giải phương trình :
2. Giải phương trình (trị tuyệt đối) :
3. Giải phương trình (chứa căn thức) : 
4. Giải phương trình (đặt ẩn phụ) :
5. Giải và biện luận phương trình (bậc 1) theo tham số m :
a/ m(x – m) = x + m – 2; b/ m2(x – 1) + m = x(3m – 2);
c/ (m2 + 2)x – 2m = x – 3; d/ m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6 
6. Giải và biện luận phương trình (bậc 1 có mẫu số) theo tham số m : 
7. Giải và biện luận phương trình (bậc 2) theo tham số m :
a/ (m – 1)x2 + 3x – 1 = 0; b/ x2 – 4x + m – 3 = 0;
c/ mx2 + (4m + 3)x + 4m + 2 = 0
8. Cho phương trình ax2 + bx +c = 0 có hai nghiệm x1, x2. Đặt S = x1 + x2; P = x1.x2
a/ Hãy tính các biểu thức sau theo S, P : 
b/ Aùp dụng : Không giải phương trình x2 – 2x – 15 = 0 hãy tính :
_ Tổng bình phương hai nghiệm.
_ Bình phương tổng hai nghiệm
_ Tổng lập phương hai nghiệm.
9. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa :
a/ x2 + (m – 1)x + m + 6 = 0 thỏa : x12 + x22 = 10.
b/ (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 thỏa : 4(x1 + x2) = 7x1x2
10. Cho phương trình (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = 0
a/ Định m để phương trình có nghiệm bằng -3, tính nghiệm còn lại 
b/ Định m để phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tính các nghiệm.
11. Định m để phương trình vô nghiệm :
a/ mx2 - (2m + 3)x + m + 3 = 0; b/ mx2 – 2(m + 1)x +m + 1 = 0
12. Định m để phương trình có nghiệm kép :
a/ (m + 2)x2 – 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 ; b/ x2 – (2m + 3)x + m2 = 0
13. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt :
a/ (m – 1)x2 – 2(m + 4)x + m – 4 = 0; b/ (m – 2) x2 – 2(m + 3)x + m – 5 = 0
14. Định m để phương trình có nghiệm :
a/ (m + 3)x2 – (2m + 1)x + m – 2 = 0; b/ x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0
15. Định m để phương trình có đúng một nghiệm :
a/ mx2 – 2(m + 3)x + m = 0; b/ (m – 1)x2 – 6(m – 1)x + 2m – 3 = 0
16.Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0
17. Giải các hệ phương trình.
a) 	b) 	c) 
18. Giải các hệ phương trình: 
a) 	b) 	c) 
19. Tìm giá trị của m để các hệ phương trình sau vơ nghiệm,
a) 	b) 
20. Tìm các giá trị của a và b để các hệ phương trình sau vơ nghiệm.
a) 	b) 
21.*Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
22.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
23.*Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
24.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
25.*Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
26.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
27.*Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
28.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Bất đẳng thức.
a) Tính chất:
a > b và b > c 
a > b 
a > b và c > d 
a + c > b 
a > b 
a > b 
a > b 
 (a > 0)
b) Bất đẳng thức Cơ-si.
* 
* 
BÀI TẬP. 
1.V ới x, y, z tùy ý . Chứng minh rằng:
a). x4 + y4 b) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z. 
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
Với " a, b, c Ỵ R :
a/ a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c) b/ a2 + b2 + a2b2 + 1 ³ 4ab
c/ d/ a3 + b3 ³ a2b + ab2 
e/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) f/ a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca
g/ (a + b + c)2 £ 3(a2 + b2 + c2 ) h/ a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b 
 3. Với a, b, c > 0 :
 f/ g/ h/ 
 k/. l/. m/. (a + b)(b + c)(c + a) n/ p/ 
4.. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = với 0 < x < 1.
5.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt của hàm số sau trên TXĐ của hàm số y = 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
2. Bất phương trình.
a) Bất phương trình tương đương.
* Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm.
Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết: 
* Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình
 - f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
 - f(x).h(x) 0 
 - f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 
f(x) < g(x) 
f(x) 0, g(x) > 0
b) Bất phương trình bậc nhất và bậc hai.
* ax + b < 0 (1)
i) Nếu a > 0 thì (1) 
ii) Nếu a < 0 thì (1) 
iii) Nếu a = 0 thì (1) 
 . b bất phương trình vơ nghiệm.
 . b < 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
* Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a . Ta cĩ : 
 x x0 
 f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a. Ta cĩ:
Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.
Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 
Nếu thì f(x) cĩ hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đĩ, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x
(tức là x1 x2)
* Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai luơn âm hoặc luơn dương ta áp dụng:
* Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai
B. BÀI TẬP 
1. Giải bất phương trình :
2. Giải hệ bất phương trình :
3. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :
a/ m(x – m) £ x – 1 b/ mx + 6 > 2x + 3m c/ (m + 1)x + m < 3x + 4
4. Xét dấu biểu thức sau :
a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x; b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)
c/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x); d/ f(x) = 
e/ f(x) = ; f/ f(x) = 
5. Giải bất phương trình :
6.Giải phương trình chứa trị tuyệt dối :
a/ ; b/ 
7. Xét dấu biểu thức sau :
8. Giải các bất phương trình sau :
9. Giải các hệ sau :
10.Định m để "x Ỵ R, ta có :
a/ x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 2 > 0 b/ (m + 1)x2 – 8x + m + 1 ³ 0 
c/ (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 £ 0 d/ m(m + 2)x2 + 2mx + 3 < 0
11. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :
a/ 3x2 + 2(2m – 1)x + m + 4 £ 0 b/ (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 > 0
12. Giải bất phương trình :
13. Giải bất phương trình : 
14. Giải bất phương trình: 
 a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3) 	 b/ (x + 4)(x + 1) - 
 c/ d/ 
Chương V. THỐNG KÊ.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Một số kiến thức cơ bản.
* Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu. Dãy các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu.
* Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đĩ.
* Tần suất fi của giá trị xi là tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N. 
fi = 
* Người ta cĩ thể liệt kê tần số và tần suất của đơn vi điều tra thành bảng, ta được bảng phân bố tần số, tần suất. Nếu bảng đĩ cĩ chia lớp, ta được bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp.
2. Các số đặc trưng.
* Số trung bình: 
Đối với bảng phân bố tần số ta cĩ: 
Số trung bình dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.
* Số trung vị: Giả sử ta cĩ một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự khơng giảm. Nếu N là một số lẽ thì số liệu đứng thứ ( số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị. Nếu N là số chẳn, ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ làm số trung vị. Số trung vị được kí hiệu là m.
* Mốt: Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số. Giá trị cĩ tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là mo.
* Phương sai: Để đo mức độ biến động, chênh lệch giữa các giá tri của dấu hiệu, người ta đưa ra một chỉ tiêu gọi là phương sai.
Giả sử cĩ một mẫu số liệu kích thước N là { x1, x2, xN }. Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là s2, được tính bởi cơng thức sau:
trong đĩ là số trung bình của mẫu số liệu. 
Hay
* Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là s. Ta cĩ:
B. BÀI TẬP
1. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hồn thành một sản phẩm ở một nhĩm cơng nhân (đơn vị:phút) 
42	42	42	42	44	44	44	44	44	45
45	45	45	45	45	45	45	45	45	45
45	45	45	45	45	45	45	45	45	54
54	54	50	50	50	50	48	48	48	48
48	48	48	48	48	48	50	50	50	50
	a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
	b/Trong 50 cơng nhân được khảo sát ,những cơng nhân cĩ thời gian hồn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm): 
145
158
161
152
152
167
150
160
165
155
155
164
147
170
173
159
162
156
148
148
158
155
149
152
152
150
160
150
163
171
 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175]. 
 b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
 c) Phương sai và độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II mơn Tốn của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học kì cĩ thể làm trịn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau: 
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. 
 a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đĩ (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm trịn). 
 b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên. 
4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây )
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
 [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh.
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố.
5. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: 
Tháng
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Số khách
430
550
430
520
550
515
550
110
520
430
550
880
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình 
b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
6. Điều tra về chiều cao của 36 học sinh trung học phổ thơng (Tính bằng cm) được chọn ngẫu nhiên người điều tra viên thu được bảng phân bố tần số ghép lớp sau 
Lớp chiều cao
Tần số
[160; 162]
[163; 165]
[166; 168]
[169; 171]
8
14
8
6
cộng
N = 36
a. Bổ sung vào bảng phân bố trên để được bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
b. Tính giá trị trung bình và phương sai của mẫu số liệu trên (lấy gần đúng một chữ số thập phân)
7. Tiến hành một cuộc thăm dị về số giờ tự học của học sinh lớp 10 ở nhà.Người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giờ tự học ở nhà trong 10 ngày. Mẫu số liệu được trình bày dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây 
Lớp 
Tần số
[0; 10)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60]
5
9
15
10
9
2
Cộng
N = 50 
 a)Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp.
 b) Tính phương sai của mẫu số liệu trên(Lấy gần đúng 3 chữ số thập phân).
 c)Vẽ hai biểu đồ hình cột biễu diễn phân bố tần số, tần suất.
8. Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà : 
Khối lượng (g)
Tần số
25
3
30
5
35
7
40
9
45
4
50
2
Cộng
30
 a)Lập bảng phân bố tần suất.
 b)Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số và biểu đồ tần suất hình quạt.
 c)Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu
 d)Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
9.Chọn 23 học sinh và ghi cỡ giầy của các em ta được mẫu số liệu sau: 
	39	41	40	43	41	40	44	42	41	43	38	39
	41	42	39	40	42	43	41	41	42	39 	41
a. Lập bảng phân bố tần số và tần suất.
Tính số trung vị và số mốt của mẫu số liệu(lấy gần đúng một chữ số thập phân)
 10.Trong một cuộc thi bắn cĩ 2 xạ thủ, mỗi người bắn 30 viên đạn. Kết quả cho trong 2 bảng sau: 
 Điểm số của xạ thủ A
 6 10 10 10 8 10 9 5 8 8 10 5 10 10 9 
 8 10 6 8 9 10 9 9 9 9 9 7 8 6 8 
 Điểm số của xạ thủ B
 6 9 9 9 8 8 5 9 10 10 9 6 7 8 10 
 9 9 10 10 10 7 7 8 8 8 8 7 10 9 9 
 	 a. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho trong hai bảng trên.
 	 b. Xét xem xạ thủ nào bắn giỏi hơn?
Chương VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Gĩc và cung lượng giác.
* Cung trịn cĩ số đo bằng số đo của đường trịn gọi là 1 độ và kí hiệu : 10. Cung trịn cĩ độ dài bằng bán kính gọilà cung cĩ số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian.
* Gĩc lượng giác là gĩc được gắn với đường trịn lượng giác cĩ nghĩa là cĩ chiều dương, chiều âm và độ lớn tùy ý. Hai gĩc lương giác cĩ chung tia đầu và tia cuối cĩ dạng .
* Cho đường trịn lương giác gốc A, gĩc cĩ tia cuối là OM. Khi đĩ tung độ của M gọi là sin, hịanh độ của M gọi là , tỉ số gọi là tang , kí hiệu : , tỉ số gọi là cơtang , kí hiệu : cot
Ta cĩ :  ; 
2. Giá trị lượng giác của những gĩc cĩ liên quan đặc biệt.
* Hai gĩc đối nhau thì cĩ cosin bằng nhau cịn các giá trị khác đối nhau.
* Hai gĩc bù nhau thì cĩ sin bằng nhau cịn các giá trị khác đối nhau.
* Hai gĩc hơn kém nhau thì cĩ sin và cosin đối nhau cịn các giá trị khác bằng nhau.
* Hai gĩc phụ nhau thì cĩ cosin gĩc này bằng sin gĩc kia, tan gĩc này bằng cot gĩc kia.
3. Cơng thức lương giác.
* Cơng thức cộng.
* Cơng thức nhân đơi.
* Cơng thức hạ bậc.
* Cơng thức biến đổi tổng thành tích.
* Cơng thức biến đổi tổng thành tích.
B. BÀI TẬP.
1. 	a) Cho sinα = ; và .Cho Tính cosα, tanα, cotα. 
	b) Cho tanα = 2 và Tính sinα, cosα. 
2. 	a) Cho cosα = ; và . Tính 
	b) Cho cotα = 2 và . Tính .
	c) Cho . Tính .
3. 	a) Cho sinα = ; và . Tính . 
	b) Cho cos α = và . Tính .
4. Khơng sử dụng máy tính hãy tính
5:Rút gọn các biểu thức:
6. Chứng minh rằng:
7. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta cĩ: 
8. Tính giá trị của các biểu thức sau:
9. Chứng minh rằng:
10.Chứng minh các đồng nhất thức	 
11. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau: 
 a) b) 
 c) d) 
 e) f)