Bài giảng môn toán lớp 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca	b. a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c. 	d. a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
e. a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)
f. với a, b, c > 0
g. với a, b, c ≥ 0
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. với a, b ≥ 0	b. a4 + b4 ≥ a³b + ab³
c. a4 + 3 ≥ 4a	d. a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0.
e. ; với a, b ≠ 0.	f. ; với ab ≥ 1
g. (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > 0.
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu thì (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a. 
b. 
c. 
Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a. 	b. 
c. a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)	d. với a, b, c > 0.
Bài 5. Cho a, b không âm. Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a. ; 	với a, b, c > 0.
b. ; 	với a, b, c > 0 và abc = 1.
c. ; 	với a, b, c > 0 và abc = 1.
d. ; 	với a, b, c ≥ 0.
Bài 6. Chứng minh bất đẳng thức Min–cốp–xki:
	(1)
Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a. Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1. Chứng minh: 	
b. Tìm GTNN của biểu thức P = .
c. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh
.
d. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức sau:
P = 
Bài 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)
b. abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c. 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0
d. a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³
HD: a. Sử dụng BĐT tam giác, ta có: .
b. Gợi ý a² > a² – (b – c)².
c. Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0.
d. Phân tích thành nhân tử.
Bài 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
Bài 9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. 
b. 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
c. 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³
HD: a. Chú ý: .
b. Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b).
c. Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) và chứng minh được: 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)².
Bài 10. Cho a, b > 0. Chứng minh (1). Áp dụng chứng minh:
a. ; với a, b, c > 0.
b. ; với a, b, c > 0.
c. Cho a, b, c > 0 thỏa . Chứng minh: 
d. ; với a, b, c > 0.
e. Cho x, y, z > 0 thỏa x + 2y + 3z = 12. Chứng minh: 
f. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
.
HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1).
d. (1) .
e. Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12
f. 
Bài 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức:
a. .
b. Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = 
c. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức sau
P = 
d. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng 
Bài 12. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a. ; với x > 0	b. ; với x > 1
c. ; với 0 0
Bài 13. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a. y = (x + 3)(5 – x) với –3 ≤ x ≤ 5	b. y = (x + 3)(5 – 2x) với –3 ≤ x ≤ 5/2
c. ; với x > 0	d. 
Bài 14. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. a² + b² ≥ 2, với a + b = 2.	b. , với 2a – 3b = 7
c. , với a + 2b = 2	d. 
Bài 15. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. , với a + b ≥ 1.	b. , với a + b ≥ 1.
c. , với a + b ≥ 1.	d. , với a + b = 2.
Bài 16. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Bài 17. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh:
HD:
 Þ 	(1)
Suy ra
P ³ 
Hay P ≥ .
Bài 18. Cho a, b, c ³ thỏa . Chứng minh bất đẳng thức
.
HD: . Từ đó suy ra (1).
Bài 19. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a. , với x + y = 1	b. B = x + y, với 
Bài 20. Tìm GTLN của các biểu thức , với mọi x, y thỏa x² + y² = 1.
Bài 21. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
a. , với –2 ≤ x ≤ 7	b. , với 1 ≤ x ≤ 3
c. C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9
HD: c. 
Bài 22. Giải các bất phương trình sau:
a. 	b. 
Bài 23. Giải và biện luận bất phương trình sau: 
Bài 24. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a. m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x.	b. mx – m² > mx – 4
Bài 25. Giải các hệ bất phương trình sau:
a. 	b. 	c. 	
Bài 26. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
a. 	b. 
Bài 27. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a. 	b. 
c. 	d. 
Bài 28. Giải các bất phương trình
a. (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0	b. (2x – 7)(5 – x) ≥ 0	c. x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0
d. x³ + 8x² + 17x + 10 < 0.
Bài 29. Giải các bất phương trình
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 
Bài 30. Giải các bất phương trình
a. 	b. 	c. 	d. 
Bài 31. Giải và biện luận các bất phương trình
a. 	b. 	c. 
Bài 32. Xét dấu các biểu thức sau:
a. 3x² – 2x + 1	b. (x² – 4x + 3)(x – 5)	c. 2x² – 7x + 5
d. 
Bài 33. Giải các bất phương trình:
a. –2x² + 5x – 2 < 0	b. 5x² – 4x – 12 < 0	c. –2x² + 3x – 7 ≥ 0
d. x² – x – 6 ≤ 0	e. 	f. 
Bài 34. Giải các hệ bất phương trình sau:
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Bài 35. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a. 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0	b. x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c. mx² + 9m – 1)x + m – 1 0
e. 
Bài 36. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a. (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0	b. (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c. mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0	d. (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 37. Giải các bất phương trình
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 
f. 	g. 	h. 
Bài 38. Giải các phương trình sau:
a. 	b. 
c. 
Bài 39. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
Bài 40. Giải các bất phương trình sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
g. 	h. 
Bài 41. Giải các bất phương trình:
a. 	b. 
c. 	d. 
Bài 42. Giải các bất phương trình:
a. 	b. 
Bài 43. Giải các bất phương trình sau:
a. 	b. 
Bài 44. Giải các bất phương trình sau:
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f.