Bài giảng môn toán lớp 10 - Công thức lượng giác cơ bản

Chuyên đề: Lượng giác 
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã· 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
Bài 1. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại 
1) 
3
1sin −=α , 




−∈ 0;
2
πα 2) 
5
2cos =α và 




−∈ 0;
2
πα 3) 22tan =α và 




∈
2
;0 πα 
Bài 2. Chứng minh đ ẳng thức lượng giác. 
1) 1sin.2cossin 244 −=− xxx = 1 – 2cos2x 2) xxxx 2244 cos.sin.21cossin −=+ 
3) xxxxxxxx cottancos.sin2cot.costan.sin 22 +=++ 4) xxxx 2266 cos.sin.31cossin −=+ 
5) xxxxxx cos.sin21cos.sin).cot1)(tan1( +=++ 6) xxxx 2222 sin.tansintan =− 
7) .cottan
cos
cot
cos.sin
1
sin
tan 33
2
3
2
3
aa
a
a
aaa
a
+=+− 8) x
x
x 2
2
2
tan21
sin1
sin1
+=
−
+ 
9) 1 + sinx + cosx + tanx = (1+cosx)(1 + tanx). 10) cot2x – cos2x = cot2x.cos2x 
11) 1 + sinx + cosx + cotx = (1+ sinx)(1 + cotx). 12) 4)cot(tan)cot(tan 22 =−−+ xxxx 
13) aa
a
a
a
a cos.sin
tan1
cos
cot1
sin1
22
=
+
−
+
− 14) xx
xx
xx 22
22
22
cos.sin
tancot
sincos
=
−
− 15) x
xx
xx 6
22
22
tan
cotcos
tansin
=
−
− 
16) 2cottan
cos.sin
1 22
22 ++= xxxx
 17) 
aa
a
a
a
a
a
22
4
2
2
2
2
cottan
tan1
cot
cot1.
tan1
tan
+
+
=
+
+
19) ( ) a
a
a
a
a cot2
sin
cos11
sin
cos1
2
2
=




 −
−
+ 20) x
x
x
x
x cos
cot
sin
sin
tan
=− 21) x
xxx
xxx 4
422
422
tan
sinsincos
coscossin
=
+−
+− 
23) 
a
a
aa
a
aa
a
cot1
cot1
sincos
cos
cossin
sin
−
+
=
−
−
−
 24) aa
a
aa
aa
a cossin
1tan
cossin
cossin
sin
2
2
+=
−
+
−
−
Bài 3. Rút gọn biểu thức 
A = (1 – sin2x).cot2x + 1 – cot2x. B = (x.sina + y.cosa)2 + (x.cosa - y.sina)2 
xxx
xxxC 222
222
tan.sinsin
cot.coscos
+
+
= 
( ) ( )xxxxE tan1coscot1sin 22 +++= 




 +−




 ++= αtan
αcos
11tan
cos
11cos2 α
α
αG 
Bài 4. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số 
A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x). B = 3(sin8x– cos8x) + 4(cos6x – sin6x) + 6sin4x 
C = (sin4x + cos4x - 1)(tan2x + cot2x + 2) D = cos2x.cot2x + 3cos2x - cot2x + 2sin2x. 
1cos3cossin
1cos3sin
466
44
−++
−+
=
xxx
xxE 
x
xx
x
xxF 2
22
2
22
cos
sincot
sin
costan −
+
−
= 
1cossin
1cossin
44
66
−+
−+
=
xx
xxG 
Bài 5. Cho 
4
5cossin =+ xx . Tính: A = sinx.cosx, B = sinx – cosx , C = sin3x – cos3x. 
D = |sinx - cosx | , E = sin4x + cos4x. 
Bài 6. Cho tanx – cotx =3. Tính: A = tan2x + cot2x; B = tanx + cotx; C =tan4x - cot4x 
Bài 7. Cho tanx = 2. Tính: 
xx
xxA 33 cos2sin
cos5sin
−
+
= ; 
xx
xxxB 3
33
sincos2
cossin2cos8
−
+−
= 
Bài 8. Cho 
3
2cos −=x . Tính: 
xx
xxC
tancot2
tan3cot
+
+
= 
CÔNG THỨC CỘNG 
Bài 1. Tính giá trị lượng giác của các cung có số đo: 
 1) 150 2) 750 3) 1050 4) 
12
π 5) 
12
5π 6) 
12
7π 7) 
12
103π 
Bài 2. Tính: 1) )
3
tan( πα + , biết 
5
3sin =α và )90;0( 0∈α 2) 0
0
15tan1
15tan1
+
−
=D 
 2) A = cos(a + b).cos(a - b), biết 
4
1sin,
3
1cos == ba 
 3) 2222 )sin(cos)sin(cos,)sin(sin)cos(cos abbaBbabaA −++=+++= , biết 
3
π
=− ba 
Chuyên đề: Lượng giác 
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã· 
Bài 3. Cho 
13
12sin −=α và παπ <<
24
3 . Tính 




 −απ
3
cos . 
Bài 4. Chứng minh rằng: 
1) abbababa 2222 coscossinsin)sin().sin( −=−=−+ 2) aa
aa
aa tan.3tan
tan.2tan1
tan2tan
22
22
=
−
− 
3) abbababa 2222 sincossincos)cos().cos( −=−=−+ 4) ( ) ( ) ba
ba
baba 22
22 tan.tancos.cos
sin.sin
=
−+ 
5) 3sin4)
3
sin().
3
sin(4 2 −=−+ aaa ππ 6) aaa sin.2)
4
sin()
4
sin( =−++ ππ 
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI 
Bài 1. Rút gọn biểu thức 
)
4
2(cos24sin 21
π
++= xxA aaaA 4cos2cos4cos8 45 −−= aa
aaA
2cos2sin1
2cos2sin1
4 −+
++
= 
x
xx
x
xxA
cos
3coscos
sin
3sinsin 33
2
−
+
+
= )
3
2(sinsin)
3
2(sin 222 ππ −+++= xxxA 
)
4
3(sin)
2
(sin)
4
(sinsin 44444
πππ
++++++= xxxxA 




 −+




 ++= xxxD
3
2cos
3
2coscos 222 ππ 
Bài 2. Chứng minh đẳng thức 
1) cotx + tanx = 
x2sin
2
 2) xxxxx 4sin
4
3cos.3sinsin.3cos 33 =+ 3) xxx 4cos
4
1
4
3cossin 44 +=+ 
4) xxxxx 4sin
4
1sin.coscos.sin 33 =− 5) xxxxxx 16sin
16
18cos.4cos.2cos.cos.sin = 
Bài 3.Tính:sin2x, cos2x, tan2x biết: 1)
13
5cos −=x ; )
2
3,( ππ∈x 2) tanx = 2. 3)
5
4sin =x ; ππ << x
2
Bài 4. Tính: sinx, cosx, tanx, biết 
5
42sin −=x và ),
4
3( ππ∈x 
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
000 80cos.40cos.20cos=A 000 70sin.50sin.10sin=B 00001 78sin.66sin.42sin.6sin=A 
6
cos.
12
cos.
24
cos.
48
cos.
48
sin396 πππππ=G 
7
5cos.
7
3cos.
7
cos2
πππ
=A 
CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG – TỔ NG THÀNH TÍCH 
Bài 1. Biến đổi thành tổng : 
)sin()sin(21 babaA −+= aaaA 3sin.2sin.sin43 = aaaA 3sin.2sin.cos44 = 
)cos()cos(22 babaA −+= aaaA 2cos).6
sin().
6
sin(86
ππ
−+= A = sin(x + 300).cos(x – 300) 
Bài 2. Biến đổi thành tích : 
A = cosx + cos2x + cos3x B = sinx + sin2x + sin3x D = sin2x + sin4x + sin6x 
F = sin5x + sin6x + sin7x + sin8x. K = cos5x + cos8x + cos9x + cos12x. 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức : 
xxxx
xxxxA
10sin9sin8sin7sin
10cos9cos8cos7cos
+−−
+−−
= 
xxx
xxxB
5sin4sin23sin
4sin3sin22sin
++
++
= 
aa
aaB
2sin4sin
4cos2cos
+
−
= 
aaaa
aaaaD
7sin5sin3sinsin
7cos5cos3coscos
+++
+++
= ( ) ( )
ba
babaA
coscos
sin.sin
+
−+
= 
1cos2cos
3cos2coscos1
2 −+
+++
=
xx
xxxC 
A = cosx + cos(1200 – x) + cos(1200 + x) E = .sin
6
sin
6
sin 222 xxx −




 ++




 −
ππ 
Bài 4. Chứng minh đẳng thức: 
1) )
4
π2cos(22sinsincos 44 −=+− xxxx 2) 3) xxxxx cos
3
π2cos.
3
π2cos
6
πcos.
3
π2sin =




 −




 +−




 −




 + 
6) xxxx 3sin
4
1)
3
sin().
3
sin(.sin =+− ππ 7) xxxx 3cos
4
1)
3
cos().
3
cos(.cos =+− ππ