Bài giảng môn toán lớp 10 - Giải 2 bài Tam giác và đường tròn 2

Giải 2 bài về Tam giác và đường tròn
Bài 1 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ 2 đường cao BH, CK. TỪ B và C vẽ đường vuông góc với HK và cắt HK lần lượt tại M và N
a) CM: 4 điểm B,C,H,K cùng nằm trên 1 đường tròn, xác định tâm O của đường tròn
b) CM: HK <BC
c) Tìm điều kiện để M và N nằm ngoài đường tròn (O) ở câu a
HD giải 
( Ý a/ & b/ dễ, riêng ý c/ biện luận hơi khó)
Vì BH,CK là đường cao DABC
 ÞÐBHC = Ð BKC =90 độ 
xét tứ giác :BCHK có 2 đỉnh H,K nhìn cạnh BC dưới 2 góc vuông
 ÐBHC =ÐBKC =90 độ
 Þ tứ giác BCHK nội tiếp (*)
 hay B,C,H,K cùng thuộc 1 đường tròn tâm O’(đpcm)
Từ (*) tứ giác BCHK ta có đường tròn ngoại tiếp mà tâm O’ phải là trung điểm của BC Þ BC là đường kính đường tròn và HK là dây cung
è HK < BC 
Với điều kiện đầu bài (D ABC có 3 góc nhọn), ta thấy tứ giác BCMN là hình thang ( H,1) và (H2) hoặc hình chữ nhật (H.3). Vì BN ^ MN và CM ^ MN nên chỉ có thể MN £ BC; mà BC < đường kính đường tròn O Þ O nằm trong D ABC 
 è ít nhất có 1 điểm M (hoặc N) nằm trong đường tròn.
 Để có MN nằm mgoài đường tròn thì đường tròn O phải có tâm ngoài D ABC,
 Khi đó ÐA của D ABC phải lớn hơn 90 độ. (Xem hình 4)
Cách biện luận khác( đơn giản hơn): Để có MN nằm mgoài đường tròn thì chân đường cao H, K phải nằm ngoài D ABC ÞÐA > 90 độ (Hình 4)
Bài 2 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp (I) . gọi điểm D bất kỳ trên BC . Đường tròn (P) tiếp xúc với DC,DA tại E,F tiếp xúc trong với (O) tai K . Chứng minh I,E,F thẳng hàng
Bài giải:: Trước tiên ta CM 2 bổ đề sau
Bổ đề 1: AB là dây của đườn tròn (O).(I) tiếp xúc với dây AB tại K và tiếp xúc trong với (O) tại T. Gọi L là giao điểm của TK với (O). Khi đó, ta có: L là trung điểm của cung AB không chứa T và LA2=LK.LT
Bổ đề 2: Điểm M là trung điểm của cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. I∈[MA] sao cho MI=MB.Khi đó, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Quay lại bài toán:
Kẻ KF cắt (O) tại L, AL cắt EF tại I
Theo bổ đề 1, ta có AL là phân giác của BACˆ
Mặt khác, ta có: FEKˆ=IAKˆ=FKxˆ
⇒AIEK nội tiếp
⇒AIKˆ=AEKˆ=EFKˆ
ΔLFI∼ΔLIK
⇒LI2=LF.LK
Lại theo bổ đề 1, ta có: LC2=LF.LK
⇒LI=LC
Từ đó, theo bổ đề 2, ta suy ra: I chính là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
Từ đó ta có đpcm
_________________________________--------
 PHH sưu tâm 11-2013 - 
 Nguồn diendantoanhoc (Bài 1 bài giai củ NBS Bài 2 của daothanhoai:))