Bài giảng môn toán lớp 10 - Giải một số bài toán bằng phản chứng

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG PHẢN CHỨNG (B2)
Sau khi NST đưa 1 bài về PP chứng minh phản cứng trong toán học, có bạn hỏi “khi nào thì nên/ hoặc bắt buôc phải CM bằng phản chứng?”; NST xin dẫn vài bài toán số học, xem ra như điều hiển nhiên. Nhưng nếu CM bằng cách thông thường thì “hơi bị dày dà” mà dùng phản chứng lại nhanh gọn hơn. Mời các bạn tham khảo.
 Bài 1: Chứng minh bằng phản chứng
1)Nếu a+b<2 thì ita nhất một trong hai số a và b nhỏ hơn 1
2)Nếu một tam không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc trong nhỏ hơn 60 độ 
Giả sử a ≥1 và b ≥1
thì a+b≥2 (mẫu thuẫn với giả thiết)  Vây 1 trong 2 số hoặc a hoặc b  phải <1; đpcm
Cách làm 1
Giả sử tam giác ABC không đều không có góc nào nhỏ hơn 60 độ.
ÞÐ BAC= 60o+a; Ð ABC=60o+b ; Ð ACB=60o+c (a,b,c ≥0) và a;b;c không đồng thời bằng 0.
Mà ta có: Ð BAC+Ð ABC+Ð ACB =180o
Þ 60o+a+60o+b+60o+c =180o
Þ a+b+c=0(mâu thuẫn) 
Vây  tam giác ABC không đều có ít nhất một góc trong nhỏ hơn 60 độ
Cách làm 2 ( gon hơn) 
Không mất tính tổng quát, ta giả sử góc nhỏ nhất trong 3 góc A,B,C là Ð A.
Þ 180o= Ð A +Ð B+ Ð C ≥3 Ð A Þ Ð A ≤ 60o
Nếu Ð A=60o thì dễ thấy D ABC phải là tam giác đều (trái đề) è Ð A<60o(ĐPCM)
Bài 2: 
CM rằng ; nếu a2 + b2 = c2 thì a,b,c không cùng lẻ với mọi a,b,c Î N*
Giải 
Giả sử a,b,c cùng lẻ.  Þ a2, b2,c2 cùng lẻ ; Khi đó tổng (a2+b2 )  chẵn. Điều đó trái với Đẳng thức ban đầu. è Suy ra điều giả sử không thể xảy ra. èSuy ra đpcm.
Bài 3
 CM rằng: Với mọi a,b Î N* , nếu tích a.b chia hết cho 7 thì phải có một trong 2 số hoặc a chia hết cho 7 hoặc b chia hết cho 7 
Giải 
Gỉa sử cả a,b đều đồng thời không chia hết cho 7
a không chia hết cho 7
b không chia hết cho 7
Suy ra ab không chia hết cho 7 (do 7 là số nguyên tố, mà trong 2 số a,b khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì không có thừa số 7 Þ ab không thể chia hết cho 7)
Điều này trái với giả thiết là ab chia hết cho 7
è Vậy a hoặc b phải chia hết cho 7
Bài 4
Chứng minh định lí sau : Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
Giải
Giả sử n bình phương chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5
n không chia hết cho 5 Þ n = 5k + m ( m= 1 , 2, 3 , 4) nghĩa là luôn dư 1 số £ 4
 Þ n bình phương = 25* k bình phương + 10 *k*m + m bình phương.
trong tổng trên thì 2 số hạng đầu chia hết cho 5, chỉ còn m bình phương xảy ra 4 khả năng= 1 (nếu m=1), 4(nếu m=2), 9(m=3), 16(m=4) : không khả năng nào chia hết cho 5 Þ tổng không chia hết cho 5 hay n bình phương không chia hết cho 5
 Þ giả sử sai 
è Vậy nếu n bình phương chia hết cho 5 thì bắt buộc n chia hết cho 5,
 NST PHH – 11 – 2013