Bài giảng môn toán lớp 10 - Góc lượng giác và công thức lượng giác

Công thức lượng giác 
1 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
I. Hệ thức cơ bản. 
1. Đổi số đo các góc sau sang radian: a. 200 b. 63022’ c. –125030’ 
2. Đổi số đo các góc sau sang độ, phút, giây: a. 
18

 b. 
2
5

 c. 
3
4
 
3. Chứng minh các đẳng thức: 
 a. 
sin a 1 cosa
1 cosa sin a



 b. 
cosa 1 sin a
1 sin a cosa



 c. 
cosa 1
tan a
1 sina cosa
 

 d. 
sina 1 cosa 2
1 cosa sina sina

 

 e. sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin2xcos2x f. sin4x – cos4x = 1 – 2cos2x 
 g. sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin2xcos2x h. tanxtany(cotx + coty) = tanx + tany 
4. Chứng minh biểu thức độc lập đối với x. 
 A = 3(sin
4
x + cos
4
x) – 2(sin6x + cos6x) B = cos2x.cot2x + 3cos2x – cot2x + 2sin2x 
 C = 
2 2
2
cot x cos x sin x cos x
cot xcot x

 D = 
2 2 2 2
2 2
tan x cos x cot x sin x
sin x cos x
 
 
Công thức lượng giác 
2 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
5. Đơn giản các biểu thức: 
 A = cos
2
a + cos
2
a.cot
2
a B = sin
2
x + sin
2
x.tan
2
x C = 
22cos x 1
sin x cos x


 D = (tanx + cotx)
2
 – (tanx – cotx)2 E = cos4x + sin2xcos2x + sin2x 
6. Tính các giá trị lượng giác của góc , biết: 
 a. sin = 
3
5
 và 
2

    b. cos = 
4
15
 và 0
2

   
 c. tan = 2 và 
3
2

    d. cot = –3 và 
3
2
2

    
7. Tính giá trị của các biểu thức: 
 A = 
sin x 3cos x
tan x

 khi sinx = 
4
5
 (2700 < x < 3600) 
 B = 
4cot a 1
1 3sin a


 khi cosa = 
1
3
 (1800 < x < 2700) C = 
3sin a cosa
cosa 2sin a


 khi tana = 3 
 D = 
2 2
2 2
sin 2sin cos 2cos
2sin 3sin cos 4cos
   
   
 biết cot = –3 E = sin2a + 2cos2a biết tana = 2 
Công thức lượng giác 
3 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
8. Tính biểu thức: 
 a. Cho t = cosx + sinx, tính sinxcosx theo t b. Cho t = cosx – sinx, tính sinxcosx theo t 
 c. Cho t = tanx + cotx, tính sinxcosx theo t d. Cho t = tanx – cotx, tính sin2xcos2x theo t 
II. Cung liên kết 
1. Rút gọn các biểu thức: 
 A = sin( a) cos a cot( a)cot a
2 2
    
        
   
 B = 
3
sin(5 a) cos a cot(4 a) tan a
2 2
    
         
   
 C = 
3 3
cos( a) sin a tan a cot a
2 2 2
       
          
     
 D = 
3
cot(a 4 )cos a cos(a 6 ) 2sin(a )
2
 
        
 
 E = 
3
cot(5 a)cos a cos(a 2 ) 2cos a
2 2
    
         
   
 Cho P = sin( + ) cos( – ) và Q sin cos
2 2
    
     
   
. Tính P + Q 
2. Tính các biểu thức: 
 A = 
0
0
(c t )cos406
cos316
0 0
ot44 an26
 B = 
0
0
23 ) cos216
t a
s cos126
0
0
0
sin( 4
n36
in144
 

 C = 
0
0
288 )cot 72
t a
)sin108
0
0
0
cos(
n18
tan( 162



 D = tan10
0
tan20
0
tan30
0.tan700tan800 
 E = cos20
0
 + cos40
0
 + cos60
0
 +  + cos1600 + cos1800 
 F = cos23
o
 + cos215
o
 + cos275
o
 + cos287
o
. 
Công thức lượng giác 
4 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
3. Tính: 
 a. cosx biết sin x sin sin x
2 6 2
     
      
   
 b. sinx biết cos x sin cos x
2 4 2
     
      
   
 c. sinx biết cos x sin sin(x )
2 2
  
     
 
 d. cosx và sinx biết cos(x ) sin cos x
6 2
  
     
 
 e. tanx và cotx biết tan(x 2 ) tan x tan
2 4
  
     
 
4. Tính : 
 a. sin(a +1080
0
), cos(270
0
 – a), tan(a – 7200), cot(4500 + a) biết cosa = 0,96 (3600 <a < 4500) 
 b. cos( a), sin a , tan(a ), cot(a 5 )
2
 
      
 
 biết sina = 
5
13
 ( < a < 2 ) 
 c. 
5
tan a , a , ,
2 2
3 3
 cot cot a+ sin a
2 2
          
         
       
 biết tana = 2 1 
3
a
2
 
   
 
5. A, B, C là 3 góc của tam giác, chứng minh : 
 a. sin(A + B) = sinC b. cos(B + C) = –cosA c. tan(A + C) = –tanB 
 d. 
A B C
sin cos
2 2

 e. 
B C A
cos sin
2 2

 f. 
A C B
tan cot
2 2

 
 g. Tính: tan(3A + B + C)cot(B + C - A) 
III. Công thức cộng 
1. Thu gọn các biểu thức: 
 A = sin32
0
cos62
0
 – cos320sin620 B = cos440cos460 – sin460sin440 
 C = cos36
0
sin24
0
 + cos24
0
sin36
0
 D = sin22
0
sin38
0
 – cos220sin380 
 E = 
t t
1 t t
0 0
0 0
an22 an38
an22 an38


 F = 
t t
1 t t
0 0
0 0
an42 an12
an42 an12


 G = 
1 t
1 t
0
0
an15
an15


Công thức lượng giác 
5 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
2. Thu gọn các biểu thức: 
 A = 
1 1
sin x cos x
2 2
 B = 
1 3
cos x sin x
2 2
 C = 
1 1
cos x sin x
2 2
 
 D = 
3 1
sin x cos x
2 2
 E = 
3 1
cos x sin x
2 2
 
3. Tính các giá trị lượng giác của góc  biết  bằng 
 a. 75
0
 b. 165
0
 c. 345
0
 d. 
7
12

 e. 
12

 f. 
17
12

4. Chứng minh các đẳng thức: 
 a. sin x cos x 2 sin x
4
 
   
 
 b. cos x sin x 2 cos x
4
 
   
 
 c. sin(a + b)sin(a – b) = sin2a – sin2b d. cos(a + b)cos(a – b) = cos2a – sin2b 
 e. sin
2
(a + b) – sin2a – sin2b = 2sinasinbcos(a + b) f. 
tan(a b) tan b cos(a b)
tan(a b) tan b cos(a b)
  

  
5. Cho 
0 1cos(a 45 )
2
  . Tính cosa và sina. 
6. 
Công thức lượng giác 
6 
Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 4/17/2013 
IV. Công thức nhân 
1. Thu gọn các biểu thức: 
 a. sinxcosx b. 
x x
sin cos
2 2
 c. sin3xcos3x d. sin15
0
cos75
0 
 e. cos
2
15
0
 – sin2150 f. 2sin22x – 1 g. 
2 0
t
1 tan 15
0
an15

 h. 
22sin x 1
4
 
  
 
2. Thu gọn các biểu thức: 
 a. cos
4
x – sin4x b. 3cos2x – 4sinxcosxsin2x – 1 
 c. 
cos4x 1
cot x tan x


 d. 
1 s
1 cos4x s
in4x cos4x
in4x
 
 
3. Tính: 
 a. tan15
0
 , sin15
0
 b. cos67
030’ , sin67030’ c. cos100sin500cos700 
4. Tính: 
 a. 
4 7s
5
in2a
 nếu tana = 0,2 b. tan 2a
4
 
 
 
 nếu tana = 2 
 c. sin2x nếu cosx – sinx = 
1
4
 d. sin2x nếu 
x x 1 3
cos sin ; x 2
2 2 2 2

      
 e. 
a
cos
2
 nếu 
12 3
sina ; a
13 2

     f. 
a
sin
2
 nếu sina = 0,8 và 0 a
2

  
5. Chứng minh: 
 a. 
21 cos2x tan x
1 cos2x



 b. 
21 sin 2x cot x
1 sin 2x 4
  
  
  
 c. 
1 sin 2x
tan x
cos2x 4
  
  
 
 d. 
21 2sin x 1 tan x
1 sin 2x 1 tan x
 

 
 e. 
cos x sin x cos x sin x
2t
cos x sin x cos x sin x
an2x
 
 
 
V. Công thức biến đổi: 
1. Biến đổi thành tổng: 
 a. sin36
0
cos24
0
 b. sin36
0
sin54
0
 c. cos36
0
cos24
0
 d. cos24
0
sin66
0
2. Biến đổi tổng thành tích: 
 a. cos36
0
 + cos24
0
 b. cos54
0
 – cos360 c. sin720 – sin180 d. sin700 + sin200 
 e. 2cos2x –1 f. 2sinx – 3 g. tan660 + tan240 h. tan540 – tan240 
3. Thu gọn các biểu thức: 
 a. 
2 2
cos x cos x
3 3
    
     
   
 b. 
sin x s
cos x cos5x
in5x

 c. 
sina s
cosa cos3a cos5a
in3a+sin5a
 
 d. sin3xcos5x - sin5xcos3x 
4. Chứng minh: 
 a. Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina 
 b. Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana 
 c. Nếu tanatanb = 1 thì sin2a = sin2b; cos2a = –cos2b