Bài giảng môn toán lớp 10 - Hàm số bậc nhất và bậc hai

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax +b (điều kiện: a ≠ 0)
và các vấn đề liên quan
I. Tóm tắt lí thuyết
1 .Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a≠0)
+ TXĐ: D = 
+ Sự biến thiên: 
 - Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên
 - Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên
+ Bảng biến thiên
a > 0
x
y
-¥
-¥
+¥
+¥
x
y
-¥
-¥
+¥
+¥
a < 0
+Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (-b/a;0) và cắt trục Oy tại điểm (0;b)
x
y
b
-b/a
O
x
b
O
y
-b/a
a < 0
a > 0
Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng không song song với các trục tọa độ và có hệ số góc bằng a
2. Cho đường thẳng d: y = ax + b và đường thẳng d’: y = a’x + b’ ta có:
	. d//d’ Û a = a’ và b ≠ b’
	. d^d’ Û a.a’ = -1
	. d ºd’ Û a = a’ và b = b’
	. d cắt d’ Û a ≠ a’ 
II. Bài tập
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
	a) y = 2x + 1	b) y = -3x +2
	c) 2x + 3y - 4 = 0
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng d
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên 
 	b) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn qua 1 điểm cố định với mọi 
giá trị của tham số m.
Bài 3: Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số:
Xác định m để:
a) d qua A(2;1)
b) d có hướng đi lên từ trái sang phải
c) d song song với trục hoành
d) d vuông góc với đường thẳng D1: 2x + y - 7 = 0
e) d song song với đường thẳng D2: x - 2y + 10 = 0
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua khi m thay đổi.
Tương tự với: (m2 - 4)x + (m +2)y + 1 = 0
Bài 4: Xác định a, b để đường thẳng 
a) đi qua điểm A(1;0) và B(3,2)
b) Đi qua điểm C(2; 4) và song song với đường thẳng d1: y = 3x - 2
c) Đi qua điểm D(2; 4) và vuông góc với đường thẳng d2: y = 2x+1
d) Đi qua điểm E(2; 4) và có hệ số góc k = 5
Bài 5: Cho đường thẳng d: 2(m-1)x+y-2=0 và D: (m+2)x+(m-1)y-3=0
a) Tìm m để d cắt 
b) Tìm m để d vuông góc với
c) Tìm m để d song song với 
d) Tìm m để d trùng 
e) Tìm điểm cố định của các đường thẳng d, 
Bài 6: Cho 3 đường thẳng 
 Xác định a để 3 đường thẳng trên đồng quy
Bài 7: Cho 2 đường thẳng d: mx-y-m=0 và D: x+my-5=0 
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi d và luôn cắt nhau.
b)Tìm quỹ tích giao điểm I của d và .
Bài 8: Tìm giá trị của tham số m để 3 đường thẳng sau đây phân biệt và đồng qui:
a) d1 : y = x- 4;               d2 : y = 2x + 3;               d3 : y = mx +m +1;
b) d1 : y =x + 3;              d2 : y =-x + 1;                 d3 : y = 2mx +m - 1;
c) d1 : y =2x – 1;             d2 : y =mx – m;              d3 : y =3x – m;
Bài 9. a) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y = mx – 2 – 4m luôn đi qua A, dù 
m lấy bất cứ giá trị nào.
b) Tìm điểm B sao cho đường thẳng y = 2mx – 3 – 4x luôn đi qua B, dù m lấy bất cứ giá trị nào.
Bài 10.  Cho 2 đường thẳng d1  : y = -3x + 6  và d2  :  y = 2x + 1
 a) Tìm toạ độ giao điểm A của d1 và d2
b) Vẽ hai đường thẳng d1, d2 trên cùng một hệ truc toạ độ.
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. b. 
c. y = |x - 1| 	d. y = |2x + 1| + | 2x - 1|
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. y = |x| + |2x- 4|, từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm của 
phương trình |x| + |2x- 4| = m
b. y =2x - 3|x -1|, từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm của 
phương trình 2x - 3|x -1| = m +1
c. y = |2x -1 +|x - 3|| - 2, từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm của 
phương trình |2x -1 +|x - 3|| - 2 = m
d. y = |x| + |x+1| + |x + 2|, từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm 
của phương trình: |x| + |x+1| + |x + 2| = m 
e. y = |1- |1 - |x|||, từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm của 
phương trình |1- |1 - |x||| = m
HÀM SỐ BẬC HAI y =ax2 + bx + c ( a ¹ 0)
vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan
I. S¬ ®å kh¶o s¸t 
 1. TËp x¸c ®Þnh: D = 
 2. Sù biÕn thiªn
a. To¹ ®é ®Ønh: 
b. ChiÒu biÕn thiªn:
NÕu a < 0 
Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng 
NÕu a > 0 	
Hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng vµ ®ång biÕn trªn kho¶ng 
+¥
x
y
y
-¥
-¥
-¥
+¥
+¥
+¥
-¥
a > 0
a < 0
c. B¶ng biÕn thiªn
3. §å thÞ
a. Giao víi c¸c trôc to¹ ®é Ox, Oy
b. T×m thªm 1 sè ®iÓm (chó ý lÊy c¸c cÆp ®iÓm ®èi xøng nhau qua trôc 
®èi xøng x = -b/2a)
	c. VÏ
II. BÀI TẬP
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mçi hµm sè sau: 
	a. y = x2 + 2x – 3	b. y = -x2 + 4x
	c. 	d. y = -x2 + 4x - 3	e. y = 2x2 - 3x + 1	f. y = |x|(x-2) 
2. Dïng ®å thÞ ®· vÏ ë c©u a h·y biÖn luËn sè nghiÖm cña mçi ph­¬ng tr×nh sau theo tham sè m:
	a. x2 + 2x – 3 = m	b. x2 - 4x – m + 2 = 0	
 Cho hµm sè: y = x2 -2x - 3
	1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
	2. H·y nªu c¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè: 
	a. y = x2 -2|x| - 3	b. y = | x2 -2x - 3|
	 Tõ ®ã h·y lËp b¶ng biÕn thiªn cña mçi hµm sè ®ã 
	3. BiÖn luËn sè nghiÖm cña mçi PT sau theo tham sè m: 
	 a. | x2 -2x - 3| = m; 	b. x2 -2|x| - 3 = m
	 c. | x2 -2|x| - 3| = m;
Tuú theo gtrÞ cña m h·y biÖn luËn sè giao ®iÓm cña mçi cÆp ®å thÞ hµm sè sau:
a. y = 2x2 – 5x + 3 vµ y = x – 3m	
b. y = x2 + 2x + 4 vµ vµ y = 2mx
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña mçi hµm sè sau trªn kho¶ng, ®o¹n ®· chØ ra.
a. y = x2 +x - 1 trªn R/ trªn kho¶ng (-5; 5)/ trªn ®o¹n [-5;5]/ trªn ®o¹n [1; 5]
b. y = -2x2 + 3x + 5 trªn R/ trªn ®o¹n [-5;5]/ trªn ®o¹n [1; 5]
c. y = (x2 – 2x)2 +2(x2 – 2x) - 5 trªn R/ trªn ®o¹n [-1;2]
d. y = x4 + 6x2 - 4 trªn R/ trªn ®o¹n [-2;2]
e. y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -12 trªn R/ trªn ®o¹n [-1;5]
 a. Cho PT: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) -5 = m
T×m m ®Ó PT: cã nghiÖm/ cã nghiÖm trªn kho¶ng (-5;5)/ cã nghiÖm trªn ®o¹n [-1; 1]/ cã 1 nghiÖm/ cã 2nghiÖm/ cã 3 nghiÖm/ cã 4 nghiÖm
	T­¬ng tù ®èi víi PT:
 b. (x + 3) (x + 6) (x -1)(x -4) +3 = m
 c. (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) + x2 + 5x -6 + m = 0
 LËp PT cña parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) trong mçi tr­êng hîp sau:
1. (P) qua A(1; -6); B(0; -4); C(-3; 14)
2. (P) qua A(2; 3) vµ cã ®Ønh I(1; 4)
3. (P) cã trôc ®èi xøng lµ ®t: x = -2; ®i qua A(1; 10) vµ ®¹t cùc tiÓu =1
4. (P) ®i qua A ( 0;3) B( 1;0) vµ nhËn ®t x= -1 lµm trôc ®èi xøng
 Cho parabol (P) cã PT: y = x2 -2x + 3. ViÕt PT tiÕp tuyÕn cña (P) trong mçi tr­êng hîp sau:
1. qua ®iÓm A(1;4)
2. song song víi ®­êng th¼ng 2x +3y -4 = 0
3. vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 3x - 2y +1 = 0
 Cho hµm sè y = x2 –mx + m – 3 cã ®å thÞ lµ (Pm)
 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè víi m = 2.
 2. Tuú theo m t×m sè giao ®iÓm cña (Pm) vµ ®­êng th¼ng y = 2x – 5.
 3. CMR víi mäi gtrÞ cña m (Pm) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh, tõ ®ã suy ra PT: 
x2 –mx + m – 3 = 0 lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
4. Cho A, B lµ 2 ®iÓm thuéc (P) vµ cã h®é lµ nghiÖm pt: x2-mx+2m -3= 0 . 
	 T×m quü tÝch träng t©m G cña DOAB. ( víi O lµ gèc to¹ ®é)
 Cho hµm sè: y = -x2 -3x + 4
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè.
2. T×m m ®Ó ®th¼ng d: y = mx + 5 c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm A, B ph©n biÖt. T×m quü tÝch trung ®iÓm cña AB.
3. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng d: y = mx + 5 c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm A, B ph©n biÖt sao cho AB = 2.
 Cho hµm sè: 
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè.
2. CMR qua ®iÓm A(7/2; 0) kÎ ®­îc 2 ®th¼ng tiÕp xóc víi (P) vµ 2 ®th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau.
3. Gäi d lµ ®­êng th¼ng qua B(1;-1) vµ cã hÖ sè gãc k. Tuú theo k biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) vµ d
 Cho hµm sè: y = 2x2 –(a - 1)x + a + 3 (Pa)
	1. Khi a = -3.
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè 
b. Dïng ®å thÞ chØ ra miÒn nghiÖm cña BPT y > 4.
	 2. CMR víi mäi a (Pa) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A. T×m ®iÓm A.
 T×m trªn (P) to¹ ®é ®iÓm B sao cho DOAB vu«ng t¹i O.
Cho hs: y= (m-1)x2 - 2mx +m cã ®å thÞ lµ (Pm) ( m lµ tham sè)
 a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= -1
 b) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ (Pm) lu«n ®i qua víi mäi m 
	 T×m nh÷ng ®iÓmmµ (Pm) kh«ng bao giê ®i qua víi mäi m
 c) T×m m ®Ó (Pm) lµ mét ®­êng th¼ng
 d) T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (2; )
 e) T×m m ®Ó (Pm) c¾t ®­êng th¼ng y = 2x+2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
 Cho hµm sè: y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1	(Pm)
 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè víi m = 1.
 2. CMR hä parabol (Pm) lu«n tiÕp xóc víi 1 ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
 3. CMR ®th¼ng y = x lu«n c¾t (Pm) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt vµ kho¶ng	 c¸ch gi÷a 2 ®iÓm ®ã kh«ng ®æi.
 4. T×m nh÷ng ®iÓmmµ (Pm) kh«ng bao giê ®i qua víi mäi m
 5. T×m quü tÝch ®Ønh I cña parabol (Pm).
Cho h/s: y= m2x2 -2(m +1)x - 4m2 + 4m +3 cã ®å thÞ lµ (Pm)
 1. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1
 2. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm vÒ 2 phÝa cña gèc O
 3. T×m m ®Ó ®thÞ hs c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm n»m vÒ 1 phÝa ®èi víi O
 4. T×m m ®Ó S(2; -1) lµ ®iÓm cùc trÞ 
 5. Cho ®­êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é vµ cã hÖ sè gãc k:
 a) BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (d) vµ (P)
 b) T×m k ®Ó (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho OA=OB
Cho (P) y= -x2 - 2x - 5
 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
 b. Cho ®­êng th¼ng (d): y=3k. T×m k ®Ó (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho IA vu«ng gãc víi IB biÕt I(1;0) 
Cho hµm sè: y = x2 – 4x + 4
 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè.
 2. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®th¼ng ®i qua A(-1;-2) vµ tiÕp xóc víi (P).
 3. T×m m ®Ó (P) c¾t ®th¼ng y = m t¹i 2 ®iÓm A, B sao cho AB = 3.
Cho hµm sè: y = x2 -2mx + m2 - 1
 1. K/s sù biÕn thiªn vµ m« t¶ ®thÞ hsè trong tr­êng hîp tæng qu¸t
2. CMR víi mäi m ®å thÞ hµm sè lu«n c¾t trôc hoµnh
3. CMR víi mäi m ®Ønh cña parabol lu«n ch¹y trªn 1 ®­êng th¼ng cè ®Þnh. 	T×m ®­êng th¼ng ®ã.
Cho Parabol (P) cã ph­¬ng tr×nh: y = ax2 + bx + c. Gi¶ sö (P) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é lµ: x1 vµ x2. 
§Æt : ;.
	 TÝnh T = a + b + c