Bài giảng môn toán lớp 10 - Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

KHẢO SÁT HÀM SỐ và các bài toán liên quan 
Hàm bậc ba 
Bài 1: Cho hàm số y = – 3x + 2 ( C ) . 
1. a) Khảo sát hàm số trên. Từ đồ thị ( C ), hãy suy ra cách vẽ các đường 
y = – 3|x| + 2 (C1) và |y| = – 3x + 2 (C2).
b) Chứng tỏ ( C ) có tâm đối xứng
c) Tìm tất cả các đường thẳng qua A(2;4) và cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C.
Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.
2. a) Tìm m để phương trinh – 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm.
b) Tìm m để pt – 3x + 6 – = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) BL theo m số nghiệm của pt: - 3x + 2 = .
d) BL theo m số nghiệm của pt: – 3x = – 3m.
e) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2 – sin3x – .
f) Cho đường tròn (Sm): – 2mx – 4my + – 1 = 0. Tìm m để hai cực trị của ( C ) nằm về hai phía của (Sm) (nằm trong/ ngoài đường tròn)
g) Phương trinh sau có bao nhiêu nghiệm thực: – 3x + 2 = ?
3. a) Viết phương trinh tiếp tuyến (pttt) của ( C ) 
i) tại A(–2;0) 
ii) qua A(–2;0) 
iii) song song với d: y = 3x + 1
b) Viết pptt ( tm ) tại M ( C). ( tm ) cắt ( C ) tại M và N. Tính tọa độ của N
4. a) Chtỏ (dm): y = m(x+1) + 4 luôn cắt ( C ) tại điểm P cố định. Tìm m để đường thẳng (dm) cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt P, Q, R và tiếp tuyến của ( C ) tại Q, R vuông góc với nhau.
b) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C )
c) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) và chúng vuông góc với nhau.
d) A là điểm tuỳ ý thuộc phần đồ thị của ( C ) nằm giữa hai điểm cực trị. Chm luôn tìm được hai điểm B, C thuộc ( C ) sao cho các tiếp tuyến với ( C ) tại đó vuông góc với tiếp tuyến tại A.
5. a) Tìm trên ( C ) điểm mà tiếp tuyến với ( C ) tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.
b) Chứng minh tồn tại những cặp điểm thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Chm đường thẳng nối hai tiếp điểm ấy đi qua một điểm cố định.
c) Ba điểm A, B, C đều thuộc ( C ) và thẳng hàng. Tiếp tuyến với ( C ) tại ba điểm ấy lần lượt cắt ( C ) tại . Chm ba điểm cũng thẳng hàng.
Bài 2: Cho hàm số y = +m. – 1 (Cm) 
1. a) Tìm m để hs có cực trị
b) Chm (Cm) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi m.
c) Tìm m để phương trinh + – 1 = 0 có nghiệm duy nhât.
d) Tìm m để phương trinh + – 1 = 0 có 3 nghiệm, trong đo có hai nghiệm âm.
e) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm lập thành cấp số cộng.
f) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ thỏa > 9
2. a) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm).
b) Tìm m để đồ thị nhân điểm I(1;–3) làm tâmđối xứng.
c) Tìm quĩ tích của điểm uốn của (Cm).
d) Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
3. a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.
b) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = –x – 1 tại ba điểm phân biệt A(0;–1), B, C sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc nhau.
Bài 3: Cho hàm số y = + (m – 3)x – 4. 
Tìm các giá trị của m để
a) hs đồng biến trên khoảng (0;3)
b) hs nghịch biến với mọi 
c) hs có cực trị tại thỏa .
d) hs có cực trị tại thỏa | | 4.
e)đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = 4x + 5.
f) hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x + 12y - 564 = 0
g) hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
Hướng dẫn 
SGK = Sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành.
SBT = Bài tập Giải tích 12 của các tác giả Ngô Thúc Lanh, .. nxb GD 2000
1. a) cách vẽ đồ thị hs chứa dấu TTĐ: xem bài tập 2.38 SBT
b) xem 2.32 SBT. 
c) PT đường thẳng qua A(2;4) có hsg k là d: y = k(x – 2) + 4. 
PT hoành độ giao điểm của ( C ) với d: (x – 2)g(x) = 0 với g(x) = ( + 2x + 1 – k). 
ycbt phương trinh g(x) = 0 có hai nghiệm khác 2. 0 < k 9.
+ Quĩ tích của I: phần đường thẳng x = –1 ứng với -23 y < 4.
Nhận xét: 
A là một giao điểm nên hoành độ của A là một nghiệm của pt hđgđ, gợi ý ta đưa pt về dạng tích (x – 2).g(x) = 0. 
Cách giải khác: ycbt d quay từ AX đến AY (AX // Ox, AY // Oy) trừ vị trí (Ta) là tiếp tuyến với ( C ) tại A, ta lại được kết quả trên.
Về quĩ tích của I: chú ý phần giới hạn. Xem thêm: Bài 1/Bài tập tổng hợp SBT trg 48.
2. 
a) 2.27 SBT
b) pthđgđ của © và đường thẳng y = – 4. ĐS –3 < m < - 2 
c) đặt k = .
m k < 0 : 1 nghiêm
m > 0 (Cauchy) Dấu ‘bằng’ khi m = 1.
d) đặt k = – 3m + 2. -> k = f(m). Dựa vào đồ thị ( C ): y = f(x) (thay y = k, x = m) suy ra
k m < –2: pt đã cho có một nghiệm
k = 0 m = -2 v m = 1: 2 nghiệm
..
e) dùng công thức nhân 3, rồi đặt t = sinx, được y = f(t) với t thuộc đoạn [-1; 1]. Từ đồ thị tìm được ngay max y = 4. min y = 0
f) A, B: 2 điểm cực trị, tâm I = (a; 2a), bán kính R = 3. ycbt (IA – R)(IB – R) < 0. ĐS: 0<m<2/5
g) VP là phương trinh của nửa đường tròn. ĐS: 3 nghiệm.
3. a) 3 bài toán cơ bản về tt. i) y = 9x + 18. ii) thêm một tt y = 0 iii) 2 tt: y = 3x+2 .
b) Tm là tiêp tuyến tại M(m; m’) tùy ý thuộc ( C ). Viết phương trinh hđgđ của Tm với ( C ), chú ý pt này tiêp xúc với ( C ) tại M nên có thể đưa về dạng tích (x+2m) = 0. Từ đó suy ra hoành độ của N bằng –2m.
4. a) pthđgđ: (x + 1).g(x) = 0 => điểm cố định P = (–1;4).
(dm) cắt ( C ) tại 3 điểm phương trinh g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác –1 -9/4 < m . Với đk này (dm) cắt ( C ) tại P, Q, R . 
Tiếp tuyến tại Q, R lần lượt có hệ số góc =f’(), =f’() trong đó hoành độ của Q, R là nghiệm của phương trinh g(x) = 0 (*).
Hai tiếp tuyến này vuong góc = -1. Thế các giá trị của vào, đồng thời áp dụng định lí Viet vào (*) ta tìm được các giá trị của m thỏa ycbt.
b) Gọi M = (m;4) là điểm nằm trên đường thẳng y = 4. Viết pt đt qua M. Viết hệ đktx. Khử k, được pthđ tiếp điểm, là một pt bậc 3. Chú ý rằng A(-1;4) là một tiếp điểm nên pt bậc 3 này có thể viết dứoi dạng (x+1).g(x) = 0. ycbt hệ đktx có 3 nghiệm (x,k) g(x) có hai nghiệm pb khác –1. ĐS: -1 m 2.
c) = câu b + câu a. ĐS m = 28/27.
d) đk bài toán -> A có hoành độ a thỏa –1 k < 0.
Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x). Tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với (Ta) phương trinh f’(x).k = -1 có hai nghiệm phân biệt. (chú ý đã chm được k < 0).
5a) Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x) = ________ >= -3. Dấu bằng khi x = 0.
Nhận xét: khi a > 0, tt tại điểm uốn có hsg nhỏ nhất. Khi a < 0 thì sao ? Chm ?
b) 2 tt song song k = k’ x = -x’ -> hai điểm thuộc ( C ) có hoành độ x và – x thì tt tại đó song song với nhau. Dễ dàng chm được hai điểm này đối xứng nhau qua điểm uốn.
c) A, B, C thẳng hàng -> . Ta cũng sẽ chứng minh thăng hàng bằng cách chm . Gợi ý: Chuyễn các biểu thức vectơ thành các biểu thức toa độ, chú ý cách tính tọa độ các điểm  đã làm ở câu 3b.
Hướng dẫn 
Bài 2
1
a) hàm bậc 3 có ctrị phương trinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) f(0) = -1, mặt khác f(x) -> khi x -> suy ra dpcm
c) ycbt (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất (Cm) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với Ox > 0.
d) ycbt (Cm) có hai điểm ctrị nằm hai bên Ox, y(0) < 0 và < 0.
e) 1) đk phương trinh có 3 nghiệm (Cm) cắt Ox tại 3 điểm hai điểm ctrị nằm hai bên Ox
2) pt có 3 ngiệm x_1; x_2; x_3 . Khai triển hai vế suy ra x_1 + x_2 + x_3 = -m.
3) ba nghiệm lập thành CSC x_1 + x_3 = 2x_2. Từ 2) suy ra x_2 = -m/3. Thế vào pt hs, tính được m = 
Nhận xét: bước 2) thực chất là chm định lí Viet cho phương trinh bậc ba. ĐL này không có trong SGK PT hiện hành nên phải chm khi sử dụng.
f) cách giải tương tự bài 9 SBT trg 52. ĐS m > 3 (Chú ý loại m < -3)
2
a) xem lại bài 9 SBT trg 52. ĐS (0; -1)
b) dời trục: x = X + 1; y = Y – 3. Xem thêm: bài 2.32, bài 7 trg 51 SBT
c) Tìm tọa độ điểm uốn, rồi khử m (tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m) DS y = 
d) điểm đx của M(a;b) qua gốc tọa độ là M’(-a; -b). M và M’ thuộc (Cm) nên có tọa độ thỏa mãn phương trinh hs. Thế tọa độ của chúng vào pths -> b = a^3; ma^2 = 1. Hệ có nghiệm m > 0
3.
a) Viết hệ đk tx của (Cm) với Ox: y = 0, giải ra được m = 
Có thể giải bằng cách nhân xét rằng (Cm) chỉ có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm cực trị suy ra ycbt giá trị y cực trị = 0 Từ đó tính được m
b) Phương trinh hđgđ: x.(x^2 + mx + 1) = 0. (Cm) cắt d: y = - m – 1 phương trinh g(x) = x^2 + mx + 1 = 0 có hai nghiệm phb |m| > 2. Khi đó hoành độ cuả B, C là nghiệm x_1; x_2 của pt g(x) = 0. Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C lần lượt có hsg là k_1 = y’(x_1) và k_2 = y’(x_2). Từ k_1.k_2 = - 1 và từ hệ thức Viet -> m^2 = 5 
Viết phương trinh parabole qua hai điểm cực trị và điểm A cho trước 
Về lí thuyết thì ta có thể (i) tính tọa độ hai điểm cực trị (ii) thế tọa độ của chúng và của điểm A đã cho vào phương trinh parabole y = ax^2 + bx + c, được hệ bậc nhất gồm ba phương trinh ba ẩn (a,b,c) tham số m (iii) giải hệ, suy ra phương trinh của parabole. Nhưng trên thực tế thì ngay cả khi hoành độ của hai điểm cực trị là các nhị thức của m thì tung độ của chúng cũng khá cồng kềnh và thú thật tôi chẵng muốn thử thách tính kiên nhẫn của mình bằng cách ngồi giải hệ này chút nào. Chúng ta thử cố gắng tìm xem có cách nào khác hợp lí hơn chăng?.
Thông thường khi gặp một bài toán lạ chưa có hướng giải, ta tìm cách đặc biệt hóa nó để mong tìm ra được qui luật nào đó, gợi ý cho lời giải tổng quát. Ở đây đặc biệt hóa coi như thất bại. Ta hãy theo lời khuyên của Polya Hãy thử nghiên cứu cẩn thận bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn . Ta nghĩ đến bài toán quen thuộc và về mặt nào đó có vẽ tương tự nhưng đơn giản hơn: 
Viết phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba y = f(x) .
Ta đã biết cách giải bài toán này:
(i) nếu tọa độ hai điểm cực trị tính được đơn giản (là các biểu thức nguyên của m - ví dụ bài 1 trong đề thi TSĐH A-2002) thì bt qui về Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có tọa độ cho trước .
(ii) nếu tọa độ của hai điểm cực trị tính toán cồng kềnh, ta lấy y chia cho y’ rồi viết lại dứơi dạng y = P(x).y’ + R(x) (*), trong đó P(x), R(x) là thương và dư trong phép chia. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x), đó chính là phương trinh đt qua hai điểm cực trị.
Trình bày cách giải như thế rõ ràng không giúp gì cho bài toán đang xét. Ta có thể trình báy cách tìm R(x) theo cách khác không ? 
Từ (*) ta có R(x) = y – P(x).y’ . 
Ta nhận xét rằng ở VP y là hàm bậc ba , y’ là hàm bậc hai của x, và sở dĩ ta được R(x) là một hàm bậc nhất vì P(x) chứa những số hạng thích hợp nên các số hạng bậc ba và bậc hai ở VP bị triệt tiêu.
Thế ta có thể chọn P(x) sao cho chỉ số hạng bậc ba ở VP triệt tiêu không? Rõ ràng khi đó R(x) sẽ là một hàm bậc hai của x, tham số m. ĐK parabole y = R(x) qua điểm A cho trước sẽ giúp ta xác định m.
Hóa ra bài toán thoạt nhìn có vẽ lạ và khó khăn thật ra lại còn dễ hơn (do chọn P(x) dễ hơn) bài toán quen thuộc Viết phương trinh đường thẳng .. . 
Và qua gợi ý của Mr Stoke ta có thêm câu hỏi mới cho bài toán 3 ở trên :
h) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm cực trị và điểm A(3;2) 
Thay vì qua hai điểm cực trị (= có hoành độ thỏa mãn đk y’ = 0) ta có thể buộc qua hai điểm B,C có hoành độ thỏa đk g(x) = 0 nào đó. Ta lại có thể thêm bài toán mới nữa:
i) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk và điểm A(3;2) 
k) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk 
Dựa vào các bài toán đã có chắc ta có thể phát triễn thành nhiều, rất nhiều bài toán khác nữa. Hướng dẫn (tiếp) Bài 3
a) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa đk . ĐS 
b) với mọi x >= 1 thì y’ h(x) = . ĐS m <= 2.
Nhận xét : Thử giải lại câu a bằng phương pháp hàm số; câu b bằng pp tam thức bậc hai và so sánh hai cách giải.
c) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa x_1 -1.y’(-1) < 0. ĐS: m < -2
d) ĐK để hs có ctrị: m 2 (*). Khi đó hoành độ hai điểm ctrị là nghiệm của pt y’ = 0. Từ đl Viet và từ ĐK đề bài cho ta được hệ bậc nhất 3 pt 3 ẩn (x_1,2; m). Giải ra được . Nhớ kiểm tra ĐK (*) để lấy giá trị m thích hợp.
e) PT đường thẳng qua hai điểm cực trị: Viết lại phương trinh hs dưới dạng y = P(x).y’ + R(x) (Lấy y chia cho y’, được thương là P, dư là R. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên toạ độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x) -> phương trinh đt qua hai điểm cực trị. 
Cho hsg của phương trinh đt D này bằng 4, tính được m.
f) Hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua d: x + 12y – 564 = 0 d là trung trực của đoạn AB đường thẳng qua A, B vuông góc với d và trung điểm I của AB thuộc d
- tích hsg của D (đường thẳng qua hai cực trị) và hsg của d bằng -1 => m = -4 v m = 5.
- tính tọa độ của I theo m. Kiểm tra giá trị nào của m thì điểm I thuộc d? ĐS m = 5
g) y'(3) = 0, y’’(3) > 0 -> không tồn tại giá trị nào của m thỏa ycbt
hàm trùng phương 
Bài 4: Cho hàm số y = (Cm). 
a) BL theo m số cực trị của (Cm)
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành một cấp số cộng.
c) Khảo sát hàm số khi m = 3
-------------------------------------------------
Hướng dẫn:
a) qui về bài toán xét dấu đạo hàm theo m. ĐS: m 0: 3 ctrị
b) 2.37 SBT (= cách giải tương tự bài 2.37 SBT) . ĐS: m = 10; m = 10/9. 
hàm nhất biến (hàm 1/1)
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = (H) 
1.
a) khảo sát hàm số.
b) dựa vào đồ thị (H), vẽ các đường cong sau:
(i) y = 
(ii) | y | = 
(iii) y = 
2.
a) Chứng tỏ (H) nhận I (là giao của hai tiệm cận) làm tâm đối xứng
b) Chứng tỏ (H) nhận đường thẳng b: y = x –1 làm trục đối xứng
c) Tìm các điểm thuộc (H) đối xứng nhau qua đường thẳng c: y = 2x + 1.
d) Gọi (H’) là hình đối xứng của (H) qua đường thẳng d: y = –1. Viết phương trinh của (H’)
3.
a) Tìm các giá trị của m để phương trinh = m có đúng hai nghiệm t thuộc đoạn [0; ]
b) Chứng tỏ đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau.
Tìm các giá trị của m để MN có độ dài nhỏ nhất
c) Tìm m để đường thẳng y = –x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B. 
Tìm quĩ tích trung điểm J của AB. 
d) Chứng tỏ diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và hai đường thẳng x = m + 2 và đường thẳng x = 2m + 2 (m > 0) là hằng số.
4.
a) Chứng tỏ không có tiếp tuyến nào của (H) đi qua giao điểm I của hai tiệm cận.
b) Chứng tỏ tồn tại những cặp điểm thuộc (H) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau đôi một
c) Tiếp tuyến của (H) tại A, B thuộc (H) song song với nhau. Chứng tỏ đường thẳng AB qua điểm cố định
d) BL theo a số tiếp tuyến của (H) đi qua điểm A(1;a)
e) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (H) 
5.
a) Viết pt tiếp tuyến tại M tùy ý thuộc (H) . Tiếp tuyến này cắt hai tiệm cận tại A, B. Tính tọa độ A; B
b) Chm M là trung điểm của AB.
c) Chm diện tích tam giác ABI không phụ thuộc vào vị trí của M
d) Chm tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi
6.
Tìm M thuộc (H) để 
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị nhỏ nhất.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ có giá trị nhỏ nhất.
c) khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng nhau
d) khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy.
e) khoảng cách từ M đến (D) : y + 2x – 5 = 0 nhỏ nhất
f) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H) để MN có độ dài nhỏ nhất
g) Tìm M để chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn bài 5 
1.
b) i & ii: 2.38 SBT 
(iii) TXĐ x (tập đối xứng), f(x) = f(-x) -> hàm chẵn -> Cách vẽ H_3:
giữ lại phần đồ thị (H) ứng với x >= 0 (phần đồ thị nằm bên phải trục tung), sau đó lấy thêm hình đối xứng của nó qua trục tung.
2.
a) xem 2.40, 5.26 ; bài 7/trg 51 SBT
b) Xét đường thẳng D bất kì vuông góc với b và cắt (H) tại A, B. Ta phải chm A, B đx nhau qua b
- viết pt của D: y = -x + m
- viết pt hđgđ của D và (H): g(x) = 0 (*)
- tính tọa độ trung điểm J của AB. (áp dụng dl Viet với pt (*))
- chứng tỏ J nằm trên b
Nhận xét: tương tự ta cũng chm được (H) nhận đường thẳng y = -x + 3 làm trục đx.
c) Gọi A; B là hai điểm thuộc (H) và đx nhau qua c 
- viết pt đường thẳng D qua A, B. (chú ý: D vuông góc với c)
- viết pt hđ gđ của D và (H): g(x) = 0 (*). Từ đó tính được tọa độ trung điểm J của AB
- J cũng thuộc ( c ) nên thế tọa độ của nó vào pt của c, tính được m. Chú ý kiểm tra đk có nghiệm của pt (*)
- Thế m vào pt (*) tính được hoành độ của A, B
d) Gọi M’(x’;y’) là điểm đối xứng của điểm M(x;y) tùy ý thuộc (H) qua d. 
Ta có hệ ba phương trinh : y = f(x); x = x’ và (y + y’)/2 = -1. Từ đó ta tính được y’ theo x’. 
Suy ra (H’): y = (-3x + 3)/(x – 2)
3.
a) đặt x = sint, thì ứng với mỗi giá trị của x thuộc [0;1) ta được 2 giá trị t thuộc [0; pi]. Suy ra ycbt đường thẳng y = m cắt phần của (H) ứng với 0 x < 1 tại đúng một điểm. 
ĐS: -2 < m < = 1/2.
b) Chứng tỏ pthđgđ của (H) và d: g(x) = 0 có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa.đk .
Cách tìm min MN: xem 2.39 SBT. 
ĐS: min MN = (đvđd) đạt được khi m = -3
c) 
(i) tìm đk để pthđgđ có hai ngiệm pb 
(ii) - từ pthđgđ tính được tọa độ của J (theo m). 
- Khử m, tìm được hệ thức giữa tung và hoành độ của J độc lâp với m. 
- Từ đk có nghiệm ở (i) ta có giới hạn của quĩ tích. 
Xem thêm: 2.41, bài 4/trg 50 SBT.
ĐS: quĩ tích của J là phần đường thẳng y = x + 1 ứng với x 1 + 
d) ĐS: ln2
4.
a) - viết pt đường thẳng qua I
- viết hệ điều kiện tiếp xúc.
- chứng tỏ hệ vô nghiệm.
Xem thêm: bài 2.38 SBT
b) bài 5.26 SBT. Xem thêm bài 1.5b ở trên.
c) – xét A(a; a’) và B(b;b’). Tiếp tuyến của (H) tại hai điểm ấy song song 
 y’(a) = y’(b) a + b = 4 
- => a’ + b’ = 2
- suy ra tọa độ trung điểm của AB là I = (2;1) : là giao của hai tiệm cận
Nhận xét: cách hỏi khác của câu b.
d) 
- viết pt đường thẳng qua A(1;a) có hsg k (T): y = k(x – 1) + a
- viết hệ đk tiếp xúc của T và (H). 
- hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến 
ĐS: a = 1 v a = -2: có một tiếp tuyến , a - 2 và a khác 1: có hai tiếp tuyến 
e) - viết pt đường thẳng qua M(0;m) có hsg k
- viết hệ đktx
- tìm đk để hệ có một nghiệm duy nhất
ĐS: (0;1) và (0; -1/2). Xem thêm: bài 5/trg 50 SBT
5.
a-b) 2.39 SBT
c) 2S = IA.IB = | |.|| ĐS: 6 đvdt
d) – k/c từ M đến TCĐ x – 2 = 0: MH = |m – 2|
- tính tiếp k/c MK từ M đến TCN: y – 1 = 0
- ĐS: MH.MK = 3.
6. Xét điểm M thuộc (H) có tọa độ M = (m; 1 + ) 
a) MH + MK > = 2. (Cauchy) . Ở đây MH = |m-2|, MK = |3/(m-2)| 
b) Tìm min của d = |m| + |1+3/(m-2)|.
Xét hàm d = h(m): xét dấu các biểu thức để bỏ dấu GTTĐ, tính h’(m) rồi lập BBT suy ra min h(m) = 1/2 đạt được khi m = 0 => M= (0; -1/2).
Có thể giải gọn hơn nếu nhận xét rằng khi m = 0 thì d = 1/2 nên để tìm min d ta chỉ cần xét với |m| -1/2 < = x < = 0. 
- Khi đó d = h(m) = -m – 1 – 3/(m – 2). Lập BBT của h(m) trên đoạn [-1/2; 0] => min h(m). 
ĐS min d = h(0) = 1/2 .
c) Giải pt: MH = MK để tìm m (xem lại câu 5d ở trên)
d) Giải pt | 1+3/(m-2)| = 2|m| 
e) Tính d(M; D); rồi dùng bđt Cauchy hoặc dùng phương pháp hàm số (dài hơn) để suy ra min. ĐS 2.
f) Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc nhánh bên phải, bên trái TCĐ -> M= (2 + m; 1 + 3/m) và N = (2 – n; 1 – 3/n) với m > 0; n > 0. 
- Tính MN theo m;n, 
- dùng bđt Cauchy suy ra min MN = 2. 
g) - Chu vi P = IA+IB+AB = IA + IB + . 
- Dùng Cauchy suy ra ĐS: 
hàm phân thức 2/1 
bài 6: Cho hàm số y = f(x) = (H) 
1.
a) Khảo sát hàm số trên
b) Tìm trên (H) các điểm có tọa độ là các số nguyên
c) GBL theo m số nghiệm của phương trinh = 0.
2.
a) Tìm m để phương trinh + (m – 1)sint + m – 3 = 0 có đúng 4 nghiệm thuộc khoãng ()
b) Tìm m 2 để nghiệm lớn của phương trinh + (1 – m)x + 1 – m = 0 có giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (H) tại hai điểm A, B mà AB = 1.
d) Tìm max, min của A = .
3.
a) Tìm k để ít nhất một tiếp tuyến của (H) song song với d: y = kx + 1. Suy ra điều kiện của k để mọi tiếp tuyến của (H) đều cắt đường thẳng d. 
b) Tìm M thuộc (H) để tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng MI, I là Tâm đối xứng của (H).
c) Tìm trên trục Oy các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến (H) và chúng vuông góc với nhau.
d) Tìm trên trục Ox các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (H) 
Hướng dẫn (bài 6) 
1.
b) xem 2.38, 2.41, 5.27 SBT. ĐS: (-3;-8), (-2;-7), (0;1), (1;2).
c) Với m < = 0, biểu thức không xác định.
Với m > 0, đặt t = - , bt qui về xét sự tương giao của (H) và đường thẳng y = t.
ĐS: - > 1 v - 0 : pt có 2 nghiệm phân biệt. 
(  )
2.
a) đặt x = sint, pt –(m-1)x + 1 – m = 0 (*). 
 = m (**) (Do x = -1 không phải là nghiệm của (*) ) 
Nếu pt (**) có một nghiệm x thuộc (-1;1) thì pt (*) có hai nghiệm t thuộc khoảng ()
Nếu pt (*) có nghiệm x = 1 thì pt (*) có một nghiệm t thuộc khoảng ()
Do đó ycbt pt (*) có 2 nghiệm x thỏa đk –1 < < 1.
Bài toán qui về tìm m để đường thẳng y = m cắt phần đường cong (H) ứng với x thuộc (-1;1) tại hai điểm.
ĐS: 1 < m < 2.
Nhận xét: thử dùng phương pháp tam thức bậc hai để giải. Xem thêm: 2.42 SBT
b) xét sự tương giao của (H) với đường thẳng y = m với m >= 2. ĐS: m = 2
c) - Điều kiện cắt nhau: m 1
- Phương trinh hoành độ giao điểm : g(x) = 2x^2 + (1 – m)x + 1 – m = 0 (*) 
Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm x_1, x_2 của (*) nên theo dl Viet ta có và . 
Mặt khác giả thiết AB = 1 | | = 1. 
Giải hệ này, so với đk cắt nhau ta được giá trị m cần tìm
d) đặt x = |cost| bt qui về tìm GTLN của y = f(x) với x thuộc đoạn [0;1]. ĐS: min A = 1, max A = 2
3.
a) ycbt phương trinh y’ = k có nghiệm. 
y’ = k 2 – = k 2 – k = có nghiệm k < 2
Nhận xét: Chú ý kỹ thuật viết y’ = 2 – . Nếu viết:
Y’ = k = k
 (k-2)x^2 + 2(k – 2)x + k = 0 
rồi tìm điều kiện để pt này có ghiệm bài giải sẽ dài.
b) M = (m; 2m-1 + ) -> 
- đường thẳng MI có hsg k = = 2 + 
- tiếp tuyến tại M có hsg là y’(m) = 2 - 
- giải phương trinh y’(m).k = -1 cho ta giá trị m cần tìm.
c) M thuộc Oy -> M=(0;m) -> đường thẳng qua M có pt: y = kx + m (T)
- Viết hệ đk tiếp xúc của (T) và (H). Suy ra: –2(m-1)k + + 6m – 7 = 0. (*)
- ycbt pt (*) có hai nghiệm k_1; k_2 thỏa đk: = -1. Giải ra được m
d) N thuộc Ox -> N = (0;n). Tương tự câu c ta viết pt đường thẳng (T) qua N, viết hệ đktx của (T) và (H), suy ra phương trinh –2(3n-1)k – 7 = 0 (**)
ycbt pt(**) có đúng 1 nghiệm k khác 2 n = -1; n = 1/2. 
ĐS: (-1;0) và (1/2;0) ( có nhận xét gì về vị trí hai điểm này?). 
Trích dẫn
Tìm tât' cả các điểm M thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho từ đó có thể kẻ đến đồ thị ( C ) của hàm số: y = x + 1/x một số hữu hạn tiếp tuyến
Viết phương trinh tiếp tuyến của ( C ): y = f(x) đi qua điểm M 
Nói chung để giải bt này:
i) viết phương trinh đường thẳng qua M có hsg k
ii) viết hệ đk tiếp xúc (*)
iii) giải hệ (*): hệ có n nghiệm => có n tiêp tuyến
Nếu phương trinh hàm số hoặc tọa độ của M chứa tham số thì bài toán qui về biện luận số nghiệm của hệ (*) theo tham số.
Với bài toán của bạn BINH : do M thuộc Oy nên M = (0;m) => hệ (*) chỉ phụ thuộc một tham số m. Các bài 1.4.b-c trên đây là tương tự, nghiên cứu kỉ chúng có thể có những gợi ý tốt cho bài toán của bạn. Nhân tiện xin đưa ra đây một bài toán cụ thể để bạn thực tập:
Tìm trên Oy các điểm M kẻ được ba tiếp tuyến đến ( C ): y = f(x) = 
(Đề 72.I Bộ đề TSĐH&CĐ)
Với bài toán : M tùy ý thuộc mp Oxy nên M = (a; b). 
Từ hệ (*) ta có phương trinh hoành độ tiếp điểm (nếu có): 
(a – b) + 2x – a = 0 (**) (x khác 0)
Ứng với mỗi nghiệm x (khác 0) của pt (**) ta được một nghiệm (x; k) của hệ (*) tức cũng là xác định được một tiếp tuyến kẻ từ M của ( C ). Do vậy bài toán qui về biện luận số nghiệm của phương trinh (**). Cụ thể ta có:
i) Từ M kẻ được 0 tiếp tuyến đến ( C ) pt (**) vô nghiệm.
- nếu a = b = 0: (*) x = 0 (loại) nên VN
- nếu a khác b: (*) là pt bậc 2, vô nghiệm khi ' < 0 
 a^2 – ba + 1 < 0 
 b > a + 1/a nếu a > 0 hoặc b < a + 1/a nếu a < 0 (***)
Vậy trên mp tọa độ, tập hợp các điểm M không kẻ được tiếp tuyến đến ( C ) là
- điểm (0;0) (giao của hai tiệm cận)
- các điểm có tọa độ (a; b) thỏa đk (***) (các điểm nằm trong phần lõm của hyperbol ).
Tương tự với các bt từ M kẻ được 1; 2 tiếp tuyến đến ( C ) Nếu có khó khăn các bạn nên xem lại các bài tập 5.4, 6.3 
Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = (Hm) 
1.
a) Tìm m để hs đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
b) Tìm m để hs đồng biến với mọi x > 2
c) Tìm m để đồ thị hàm sô cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương
2.
a) Tìm m để hs có cực trị
b) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm cực trị 
c) Tìm m để hs có | | = 4
d) Tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
3.
a) (Hm) cắt Ox tại A(a;0). Chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = . 
b) Tìm m để (Hm) cắt Ox tại hai điểm mà tiếp tuyến kẻ từ đó đến đồ thị vuông góc với nhau
c) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 0 vuông góc với i) TCĐ ii) TCX
d) Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ I của hệ trục tọa độ. Chứng tỏ khi đó hàm số có cực trị.
e) Tìm m để tiếp tuyến tại M tùy ý của (Hm) tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích < 2
Hướng dẫn bài 7 
y’ = với g(x) = + 2x –1 – m.
1.
a) g(x) >= 0 với mọi x. ĐS: m –2. Xem thêm: 2.48 SBT. 
b) g(x) >= 0 với mọi x > 2. Lập BBT của g(x).
ĐS: m – 1. Xem thêm: 2.49 SBT
c) Phương trinh hđgđ của (H) với trục hoành: f(x) = 0 có hai nghiệm dưong 
 pt x^2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương 
 > 0, S > 0 và P > 0 
 0 < m < 1/4.
2.
a) g(x) có hai nghiệm phân biệt khác –1. ĐS m > -2
b) Viết lại y dưới dạng y = 2x – 1 – g(x)/(x+1). 
Tại điểm cực trị g(x) = 0 nên tọa độ điểm cực trị thỏa đk: y