Bài giảng môn toán lớp 10 - Một số phương pháp giải hệ phương trình

Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 1 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Năm 2014 
GIÁO VIÊN : ĐÀO CHÍ THANH 
Sưu tầm và biên soạn 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 2 
Nội dung : 1) Phương pháp thế. 
2) Phương pháp cộng đại số. 
3) Phương pháp biến đổi thành tích. 
4) Phương pháp đặt ẩn phụ. 
5) Phương pháp hàm số. 
6) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 
Một số dạng hệ phương trình 
1) Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. 
a) 
2 4 0
2 5 0
x y
x y
  

  
 b) 
2 3 7 0
2 4 0
x y
x y
  

  
c) 
1 0
2 2 0
2 3 4 0
x y z
x y z
x y z
   

   
    
 d) 
1 0
2 2 0
2 3 4 0
x y z
x y z
x y z
    

   
    
2) Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao. 
 PP chung : Sử dụng phương pháp thế. 
- Hệ 2 phương trình. 
- Hệ 3 phương trình. 
3) Hệ đối xứng loại 1. 
 PP chung : Đặt ẩn phụ ( );a x y b xy   
4) Hệ đối xứng loại 2. 
 PP chung : Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : ( ). ( ; ) 0x y f x y  
5) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. 
PP chung : Có 2 cách giải - Đặt ẩn phụ .y t x 
- Chia cả hai vế cho 2y , và đặt 
x
t
y
 
CÁC KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 Rút một ẩn hay một nhóm ẩn từ một phương trình thế vào phương trình còn lại trong hệ. 
 Phân tích một phương trình trong hệ về phương trình tích. 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 3 
 Đưa một PT trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại coi là tham số. 
 Cộng hoặc trừ vế với vế, hoặc có thể nhân một hằng số thích hợp vào mỗi phương trình sau 
đó cộng hoặc trừ vế với vế. 
Mục đích: Tạo ra phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: Phương trình một 
ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp 
 Một số phương pháp giải hệ phương trình 
I. Phương pháp thế. 
* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào 
phương trình còn lại. 
* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất 
đối với một ẩn nào đó. 
Bài 1 . Giải hệ phương trình 
2 2
2 3 5 (1)
3 2 4 (2)
x y
x y y
 

  
Lời giải. 
Từ (1) ta có 
5 3
2
y
x

 thế vào (2) ta được 
2
25 33 2 4 0
2
y
y y
 
    
 
2 2 2 593(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1,
23
y y y y y y y y             
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là  
31 59
1;1 ; ;
23 23
  
  
  
Bài 2 Giải hệ phương trình sau :
2 2
2 1 0
2 3 2 2 0
x y
x y x y
  

    
Bài 3 Giải hệ : 
3 2
2
3 (6 ) 2 0
3
x y x xy
x x y
    

   
- PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) 23y x x    thay vào PT (1). 
- Nghiệm (0; 3); ( 2;9)  
Bài 4 a) Giải hệ : 
3 2
2
3 (5 ) 2 2 0
4
x y x xy x
x x y
     

   
- PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) 24y x x    thay vào PT (1). 
 b) Giải hệ : 
3 2 2 2
2 2
3 (6 ) 2 0
3
x y x xy
x x y
    

   
Bài 6 (Thử ĐT2012) Giải hệ : 
2 2 1 4
2 2( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y




   
   
. 
- Từ (1) 2 21 4x y y xy    thay vào (2). Nghiệm (1;2); ( 2;5) 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 4 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
4 3 2 2
2
2 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x x y x y x
x xy x
    

  
Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế. 
Lời giải. 
TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2) 
TH 2 : 
26 6
0, (2)
2
x x
x y
x
 
   thế vào (1) ta được 
22 2
4 3 26 6 6 62 2 9
2 2
x x x x
x x x x
x x
      
      
   
2 2
4 2 2 3 0(6 6 )(6 6 ) 2 9 ( 4) 0
44
xx x
x x x x x x x
x
 
             
Do 0x  nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
17
4;
4
 
 
 
Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau: 
- Hệ 
 
22
22
2
2 2
2
6 6
2 9 2 9
2
6 6
6 6
2
2
x x
x xy x x
x x
x xy x x
x xy
             
    
  
- Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp 
khác 
Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ : 
2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
   


   
. Từ (1) thế 
3
1x y
x
   và thay vào PT (2). 
Bài 9 Giải hệ : 
2 2 2( ) 7
( 2 ) 2 10
x y x y
y y x x
   

  
HD : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : 2 2 4 2 3 0 ( 1)( 2 3) 0x xy x y x x y          
Bài 10: (THTT 2009) Giải hệ phương trình 
    
 
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
x y x y x x
xy x x
      

  
 Hướng dẫn: 
Cách 1: Ta thấy 0x  không thỏa mãn hệ 0x  Từ PT (2) ta có 
2 1
1
x
y
x

  thế vào PT 
(1) ta được PT:   21 2 2 4 0x x x x    
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 5 
 KQ: Hệ có 2 nghiệm là:  
5
1; 1 , 2;
2
 
   
 
. 
Cách 2: Từ PT (2) ta có 
2 1xy x x   thế vào PT (1) 
Bài tập tự luyện: 
Bài 1. Giải các hệ phương trình: ( PP Thế) 
a) 
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
   

  
 HD: Rút y từ PT (2) thế vào PT (1) và phân tích thành PT tích . 
b) 
   
 
2 2
22
1 6 1 4 20
2 1 2
x x y y
x y
     

  
 HD: Thế 
2 24 1 4x y y   vào PT (1) và rút 
9
3 5
x
y
x



 thế vào PT (2). 
KQ: Hệ có nghiệm  1; 1  . 
Bài 2 a) 





)2(16y18x12xy3yx2
)1(2y3x2xy
22 (Đ/s ( -1; 2) (3 ; - 2/3 )) 
b/ Giải hệ sau : 





)2(4y9x3xy3yx
1y3xxy
22
 Đ/s ( -1;1) (3; -1/3) 
c / Giải hệ sau : 





)2(8y9x12xy3yx4
)1(2y3x4xy2
22
 ( Đ/s : -1/2 ; 2) ( 3/2; - 2/3 ) 
d/ Giải hệ sau : a) 





)2(16y18x12xy3yx2
)1(02y3x2xy
22
 b) 





31244
6432
22 yxyx
yxxy
HDẫn: hệ có dạng : 





)2(16)y3x2(6xy)y3x2(
)1(2)y3x2(xy
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 6 
II. Phương pháp cộng đại số. 
* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia 
ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các 
bước sau. 
* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế 
trái đẳng cấp bậc k. 
Bài 1 Giải hệ phương trình 
2
2
5 4 0
5 4 0
x y
y x
   

  
Bài 2. Giải hệ phương trình 
2
2
3
2
2
2
3
2
y
y
x
x
x
y











Lời giải. 
- ĐK: 0xy  
- Hệ 
2 2
2 2
3 2 (1)
3 2 (2)
x y y
y x x
  
 
 
. Trừ vế hai phương trình ta được 
2 2 2 2 03 3 3 ( ) ( )( ) 0
3 0
x y
x y xy y x xy x y x y x y
xy x y
 
             
- TH 1. 0x y y x    thế vào (1) ta được 3 23 2 0 1x x x     
- TH 2. 3 0xy x y   . Từ 
2
2
2
3 0
y
y y
x

   , 
2
2
2
3 0
x
x x
y

   
3 0xy x y    . Do đó TH 2 không xảy ra. 
- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1) 
Bài 2 Giải hệ phương trình 
1 1
2 2 (1)
1 1
2 2 (2)
yx
xy
  
  







Lời giải. 
- ĐK: 
1 1
,
2 2
x y  . 
- Trừ vế hai pt ta được 
1 1 1 1
2 2 0
y xx y
      
 
1 1
2 2
0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
y x y x y xy x
xy xy x y
xy
y x y x
  
  
     

     
 
 
 
 
 
 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 7 
- TH 1. 0y x y x    thế vào (1) ta được 
1 1
2 2
xx
   
- Đặt 
1
, 0t t
x
  ta được 
2
2 2 2
2 0 2
2 2 1 1
2 4 4 2 1 0
t t
t t t x
t t t t t
   
         
       
 và 1y  
- TH 2. 
 
1 1
0
1 1
2 2
xy x y
xy
y x
 

  
 
 
 
. TH này vô nghiệm do ĐK. 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) 
Bài 5 Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2
3
x xy y
x xy y
   

  
Bài 6. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
   

  
Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự 
do và thực hiện phép trừ vế. 
Lời giải. 
- Hệ 
2 2
45 75 60 570 2 2
145 417 54 0
2 2
190 342 114 570
x xy y
x xy y
x xy y
  
     
  



- Giải phương trình này ta được 
1 145
,
3 18
y x y x   thế vào một trong hai phương trình của 
hệ ta thu được kết quả (3;1); ( 3; 1)  
 * Chú ý 
- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. 
- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt 
, 0y tx x  hoặc đặt , 0x ty y  . 
Bài 7. Tìm các giá trị m để hệ 
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y m
   

   
 có nghiệm. 
- Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay , 0y tx x  
Lời giải. 
- TH 1. 
2
2
22
11
11
0 17
3 17
3
y
y
x m
yy m
   
    
  

Vậy hệ có nghiệm 
17
0 11 16
3
m
x m

     
- TH 2. 0x  , Đặt y tx . Hệ 
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 11
2 3 17
x tx t x
x tx t x m
   
 
   
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 8 
2
2 2 2
2 2
2
2
11
(3 2 ) 11 3 2
11(1 2 3 ) 17 (1 2 3 ). 17
3 2
x
t t x t t
t t x m t t m
t t

      
  
        
  
2
2
2
11
3 2
( 16) 2( 6) 3 40 0 (*)
x
t t
m t m t m


  
      
- Ta có 
2
11
0,
3 2
t
t t
 
 
 nên hệ có nghiệm  pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ 
khi 16m  hoặc 216, ' ( 6) ( 16)(3 40) 0m m m m        
5 363 5 363m     
- Kết luận. 5 363 5 363m    
Bài 8. Tìm các giá trị của m để hệ 
2 2
2 2
5 2 3
2 2
1
x xy y
m
x xy y
m
   


   
 (I) có nghiệm. 
Lời giải. 
- Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được 
2 2
2 2
5 2 3
1
6 6 3 3
1
x xy y
x xy y
m
   


      
- Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được 2 2 2
1 1
4 4 ( 2 )
1 1
x xy y x y
m m
       
 
- Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là 
1
0 1
1
m
m
  

- Điều kiện đủ. Với 1m  . Xét hệ pt 
2 2
2 2
5 2 3
2 2 1
x xy y
x xy y
   

  
 (II) 
- Giả sử 0 0( ; )x y là nghiệm của hệ (II). Khi đó 
2 2
2 2 0 0 0 0
0 0 0 0
2 22 2
0 0 0 00 0 0 0
5 2 3
5 2 3
2 22 2 1
1
x x y y
x x y y
m
x x y yx x y y
m
       
 
      
- Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I) 
(II) 
2 25 2 3 2 24 4 0 2 0 2
2 26 6 3 3
x xy y
x xy y x y x y
x xy y
  
           
    



- Thay 2x y  vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được 
2 2 2 2 1 28 4 1 5 1
5 5
y y y y y x           
- Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy 1m  . 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 9 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
 

 

  
  
  

 
   
- Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất 
cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7y . 
Lời giải. 
- ĐK: 0, 0, 0x y x y    . 
- Dễ thấy 0x  hoặc 0y  không thỏa mãn hệ pt. Vậy 0, 0x y  
- Hệ 
2 4 2 1 2 21 2
2 1 (1)1
3 7 3 73
1 4 2 2 2 4 2 1 2 2 1
1
7 3 7 3 7
x y x y x yx
x y x y x yy x y x y
    

  
     
  
  
  
   
  
   
      
- Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được 
1 2 2 1 2 2 1
3 7 3 7 x yx y x y
  

  
  
  
2 2
6
1 8 1
7 38 24 0 4
3 7
7
y x
y xy x
x y x y y x

       
  

- TH 1. 6y x thế vào pt (1) ta được 
1 2 11 4 7 22 8 7
1
21 73 21
x y
x x
 
      
- TH 2. 
4
7
y x  không xảy ra do 0, 0x y  . 
- Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất  
11 4 7 22 8 7
; ;
21 7
x y
 

 
 
 
. 
- Chú ý. Hệ phương trình có dạng 
2
2
a b m m n a
a b n m n b
    
 
    
. Trong trường hợp này, dạng 
thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn 
thức. 
- Tổng quát ta có hệ sau: 
a n
m
px qybx
c n
m
px qydy
 

 







Bài 10. Giải hệ phương trình 
2 2 2 2 2
( ) (3 1)
2 2 2 2 2
( ) (4 1)
2 2 2 2 2
( ) (5 1)
x y z x x y z
y z x y y z x
z x y z z x y
   
   
   





Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 10 
- Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho 2 2 2x y z thì ta được hệ mới đơn giản 
hơn. 
- TH 1. 0xyz  . Nếu 0x  thì hệ 2 2
0
0
,
y
y z
z t t

   
  
 hoặc 
0
,
z
y t t


  
- Tương tự với 0y  và 0z  ta thu được các nghiệm là (0;0; ), (0; ;0), ( ;0;0),t t t t 
- TH 2. 0xyz  . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho 2 2 2x y z ta được 
2
1 1 1 1
3 (1)
2
2
1 1 1 1
4 (2)
2
2
1 1 1 1
5 (3)
2
z y x x
x z y y
y x z z
   
   
   
 
 
 

 
 
 

 
  
. Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được : 
2 22
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12
2 2 2z y x z y x x y z x y z
           
    
    
    
1 1 1
4 (4)2
1 1 1 1 1 1
12 0
1 1 1
3 (5)
x y z
x y z x y z
x y z
  
        
   

   
   
   

- Từ (4) và (1) ta có 
2
2
1 1 1 9 9
4 3 13
13
x
x x x x
 
        
 
- Tứ (4) và (2) ta có 
3
4
y  . Từ (4) và (3) ta có 
9
11
z  
- Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có 
5 5
, 1,
6 4
x y z      . 
- Vậy hệ có tập nghiệm là 
S = 
9 3 9 5 5
( ;0;0); (0; ;0); (0;0; ); ; ; ; ; 1; ,
13 4 11 6 4
t t t t
    
       
    
 
- Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở 
trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta 
sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản. 
Bài 11: Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
  

  
Hướng dẫn 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 11 
 Hệ PT trên tương đương với 
 
 
3 3
2 2
35 1
6 9 12 27 2
x y
x y x y
  

  
    
3 2 3 2
3 3
6 12 8 9 27 27
2 3
5
x x x y y y
x y
x y
       
   
  
KQ: Hệ có hai nghiệm    3; 2 , 2; 3  . 
Bài 12: Giải hệ phương trình 
 
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
   

  
Hướng dẫn 
Hệ PT trên tương đương với: 
   
 
3 3
2 2
4 4 1
5 4 2
x y x y
y x
   

 
Thế 
2 25 4y x  vào PT (1) ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 
KQ: Hệ có 4 nghiệm là :      0; 2 , 1; 3 , 1;3   . 
Bài tập tự luyện 
Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( tạo ra PT đẳng cấp) 
a) 
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
  

   
b) 
3 3
2 1 0
8( ) 9( ) 0
xy
x y x y
 

   
c) 
3 2
2 2
3 (3 )
3( 1)
x x y x xy
y xy x
   

   
d) 
 
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
   

  
e) 
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
  

  
 f) 
  3 3
2 2
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y
    

   
g) 
 
3 3 7
2
x y
xy x y
  

 
 h) 
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
  

  
i) 
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
   

   
 k) 
8 2
3 6
x x y y x y
x y
   

 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 12 
n) 
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
   

  
 m) 
2 2
3 3
2 15
8 35
x y xy
x y
  

 
 ( CĐ A2005) 
Phương pháp biến đổi thành tích. 
* Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi 
khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích. 
Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ 
3 2 2 2
2 0 (1)
2 2 0 (2)
xy x
x x y x y xy y
  

     
- Biến đổi phương trình (2) thành tích. 
- Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y. 
- Hệ đã cho 
2
2 0
(2 1)( ) 0
xy x
x y x y
  
 
   
. Hệ có 3 nghiệm 
1 5
( ; ) (1; 1); ( ; 5)
2
x y
 
  
Bài 2. (D – 2008) Giải hệ phương trình 
2 22 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
   

   
- Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết 
quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). 
Lời giải. 
ĐK: 1, 0x y  
(1) 2 2( ) ( ) ( )( 1 ) 0y x y x y x y x y y x y            
TH 1. 0x y  (loại do 1, 0x y  ) 
TH 2. 2 1 0 2 1y x x y      thế vào pt (2) ta được 
(2 1) 2 2 4 2 2 ( 1) 2 2( 1)y y y y y y y y y         
1 0 1
22 2
y y
yy
   
    
. Do 0 2y y   . Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (5;2)x y  
- Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có 
thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). 
Bài 3. (A – 2003) Giải hệ phương trình 
3
1 1
(1)
2 1 (2)
x y
x y
y x

  

  
- Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích. 
Lời giải. 
ĐK: 0xy  . (1) 
1 1 1
0 0 ( ) 1 0
x y
x y x y x y
x y xy xy
 
             
 
TH 1. x y thế vào (2) ta được 3 2 1 0 1x x x     hoặc 
1 5
2
x
 
 (t/m) 
TH 2. 
1 1
1 0 y
xy x
     thế vào (2) ta được 4 2 2 2
1 1 3
2 0 ( ) ( ) 0
2 2 2
x x x x         . 
PT này vô nghiệm. 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 13 
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1); ; ; ;
2 2 2 2
            
    
     
Bài 4: (Thi thử GL) Giải hệ phương trình 
1 1
(1)
3 3
( 4 )( 2 4 ) 3 6 ( 2 )
x y
x y
x y x y
  
    





Lời giải. 
2 2
2 2
3 3 3 3
3 3
1 1 ( )( )
( )
1
x y
y x y xy x
x y x y y xy x
x y x y
x y

             

TH 1. x y thế vào pt thứ hai ta được 
2 64 12 0
2
x
x x
x
 
     
TH 2. 
2 2
3 3
1 0
y xy x
xy
x y
 
    . 
(2) 2 2 2 22 4 9 4 16 36 2( 1) 4( 2) 9 18x y xy x y x y xy              
Trường hợp này không xảy ra do 2 20 2( 1) 4( 2) 9 0xy x y xy       
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S =  (2;2); ( 6; 6)  
Bài 5. (HSG_Huế) Giải hệ phương trình 
2 2
2
8
16 (1)
(2)
xy
x y
x y
x y x y

   
   
- Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết 
quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) 
Lời giải. 
ĐK: 0x y  . (1) 2 2( )( ) 8 16( )x y x y xy x y      
2( ) 2 ( ) 8 16( )x y xy x y xy x y         
2( ) ( ) 16 2 ( 4) 0x y x y xy x y          
 ( 4) ( )( 4) 2 0x y x y x y xy        
TH 1. 4 0x y   thế vào (2) ta được 2
3 7
6 0
2 2
x y
x x
x y
   
       
TH 2. 2 2( )( 4) 2 0 4( ) 0x y x y xy x y x y          vô nghiệm do ĐK 
Vậy tập nghiệm của hệ là S =  ( 3;7); (2;2) 
Bài 6 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình 
( )( 2)
2( 1)( ) 4
xy x y xy x y y
x y xy x x
      

     
- Điều kiện : 
; 0
( )( 2) 0
x y
xy x y xy


   
- PT (1) ( )( 2) ( ) 0xy x y xy y x y        
0,25 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 14 
( )( 2)
0
( )( 2)
x y y xy x y
x yxy x y xy y
   
  
   
2 1
( ) 0 (3)
( )( 2)
y xy
x y
x yxy x y xy y
      
     
- Từ PT (2) ta có 2 2
4 4
( 1) 1 2 2
1 1
y xy x x x x
x x
 
           
  
2 1
0
( )( 2)
y xy
x yxy x y xy y
 
  
   
0,25 
- PT (3) x y  , thay vào PT (2) ta được : 3 22 3 4 0x x x    
1x  hoặc 
1 17
2
x

 
0,25 
- Kết hợp với điều kiện ta có 1x  , 
1 17
2
x

 
- KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là : 
1 17 1 17
(1; 1); ;
2 2
  
  
 
0,25 
Bài 7(A – 2011 ) Giải hệ PT : 
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0 (1)
( ) 2 ( ) (2)
x y xy y x y
xy x y x y
     

   
HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có 
2 2
1
2
xy
x y


 
. 
- TH1:
1
y
x
 thay vào PT (1). 
- TH 2: PT(1) 2 2 2 23 ( ) 2 4 2( )y x y x y xy x y      ( 1)(2 4 ) 0xy x y    
Bài 8: (THTT 2009) Giải hệ phương trình 
 
    
2 2
2
5 4 16 8 16 0 1
5 4 4 2
y x xy x y
y x x
      

  
Hướng dẫn 
 Ta coi PT (1) là PT bậc hai ẩn y, tham số x 
 PT (1)  2 24 2 5 16 16 0y x y x x       Ta có  
2
Δ 3x 
5 4
4
y x
y x
 
   
III. KQ: Hệ có nghiệm là:    
4
0;4 , 4;0 , ;0
5
 
 
 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 15 
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích) 
a) 
2 2
3
8
16
3 0
xy
x y
x y
x x x y

   
    
 b) 
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

   
   
c) 
   
 
22 2
2 2 3
2
5 4 3 2 0
xy x y x y
x y xy y x y
    

    
 d) 
2 2
2 2 2
2 1
1
2 1
x y
xy x y xy
x y x x
x y
 
 


      
 
Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích) 
a)
2 2
2 2
2 4 2 3 3 2 0
3 32 5 0
x xy y x y
x y
      

  
 b) 
2 22 2 2
1 2.
x xy y y x
y x y x
    

   
c) 
2
2 2
2 4 0
5 3 2 22 0
xy y x
x y x y
    

    
 d) 
2 24 4 12 3
2 3 4 6
x y x y
xy x y
    

   
. 
e) 
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
  

     
(D 2012) f) 
2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
    

   
 Bài 3. Giải các hệ phương trình: ( PP Cộng đại số) 
a) 
3 3
2 2
9
2 4
x y
x y x y
  

  
 b) 
3 3
2 2
91
4 3 16 9
x y
x y x y
  

  
c) 
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
    

   
 d) 
1
2 1 3
1
2 1 1
x
x y
y
x y
  
   
  

      
e) 
12
1 2
3
1
1 6
3
x
x y
y
x y
  
   
  

      
 f) 
5
3 2
42
5
2 3 4
42
x
x y
y
x y
  
   
  

      
IV.Phương pháp đặt ẩn phụ. 
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 16 
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ    ; , ;u f x y v g x y  
có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản, 
chuyển vế, phép chia cho một biểu thức khác 0, phép đồng nhất  
MỤC ĐÍCH: Tạo ra hệ phương trình mới đơn giản hơn hay hệ phương trình đã có phương pháp 
giải như: 
- Hệ gồm một phương trình bậc thấp và một phương trình bậc cao. 
- Hệ đối xứng loại I. 
- Hệ đối xứng loại II. 
- Hệ đẳng cấp. 
- . 
Lưu ý: Trong các bài toán hệ phương trình có chứa tham số, khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện đủ 
cho ẩn phụ. 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
2 2
1
7
x y xy
x y xy
   

  
Lời giải. 
Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến. 
Hệ 
2
( ) 1
( ) 3 7
x y xy
x y xy
   
 
  
Đặt 
x y S
xy P
 


  2, 4x y S P   ta được 2
1 1, 2
4, 33 7
S P S P
S PS P
      
      
TH 1. 
1 1 1, 2
2 2 2, 1
S x y x y
P xy x y
       
           
TH 2. 
4 4 1, 3
3 3 3, 1
S x y x y
P xy x y
          
          
. Vậy tập nghiệm của hệ là 
S =  ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)      
 Chú ý. 
- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( ; )y x . Do vậy, để 
hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y . 
- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách 
nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn. 
 Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: 
2 2 1
3
x xy y
x y xy



  
  
Bài 2 (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm : 
1
1 3
x y
x x y y m
  

  
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 
 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 17 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
2 2 18
( 1)( 1) 72
x y x y
xy x y
    

  
 Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I 
- Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x y và tích xy 
- Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo 2x x và 2y y . Rõ ràng hướng này tốt hơn. 
Lời giải. 
Hệ 
2 2
2 2
( ) ( ) 18
( )( ) 72