Bài giảng môn toán lớp 10 - Ôn tập lượng giác

- 1 - 
§ 1. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC 
1. Công thức cộng 
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
  
 
 


2. Công thức nhân 

     2 2 2 2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1
a a b
a a a a
3. Công thức hạ bậc 
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
a
a
a
a


4. Công thức nhân 3 
2
2
sin 3 3 sin 4 sin
cos 3 4 cos 3 cos
a a a
a a a
 
 
5. Biến đổi tích thành tổng 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
1
cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
      
       
      
      
- 2 - 
6. Biến đổi tổng thành tích 
cos cos 2 cos cos
2 2
cos cos 2 sin sin
2 2
sin sin 2 sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
cos sin 2 sin 2 cos
4 4
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b a a
 
  
   
  
  
 
                  
7. Mở rộng 
1
sin sin sin sin 3
3 3 4
1
cos cos cos cos 3
3 3 4
tan tan tan tan 3
3 3
x x x x
x x x x
x x x x
 
 
 
                
                
                
8. Một số phép biển đổi cơ bản 
 2
2
2
4 4 2
1 sin 2 cos sin
1 cos2 2 cos
1 cos2 2 sin
1
sin cos 1 sin (2 )
2
1
1 tan tan
2 cos
a a a
a a
a a
a a a
a
a
a
  
 
 
  
 
9. Bài tập 
1) sin 3 3 cos 3 2 sin 2x x x  
HD: PT sin 3 sin 2
3
x x
       
- 3 - 
2) 
 2 sin 1 sin 2
4
1 tan
cos
x x
x
x
         
HD: PT 2(cos sin )(cos sin ) cos sinx x x x x x     
3) 2 3 42 cos 1 3 cos
5 5
x x  
HD: PT 
3 2
6 4
cos 3 cos 2 0
5 5
2 3 2
4 cos 6 cos 3 cos 5 0
5 5 5
x x
x x x
   
    
 Đẳng thức lượng giác trong tam giác 
Trong ABC ta có: 
sin( ) sin
cos( ) cos
sin cos
2 2
cos sin
2 2
A B C
A C B
A B C
B C A
 
 
 
 
1) CM: sin sin sin 4 cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C   
HD: VT 2 sin cos sin 2 cos cos sin
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
C
           
2) CM: sin 2 sin 2 sin2 4 sin sin sinA B C A B C   
3) CM: cos cos cos 1 4 sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C    
HD: VT 22 cos cos cos 2 sin cos 1 2 sin
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
C
       
4) CM: 2 2 2cos cos cos 1 2 cos cos cosA B C A B C    
HD: Dùng công thức hạ bậc 
- 4 - 
Trong ABC không vuông ta có: 
tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
cot cot cot cot cot cot 1
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B B C C A
A B B C C A
A B C A B C
  
  
  
  
 Nhận dạng tam giác 
1) CMR nếu 2 2 2sin sin sin 2A B c   thì ABC vuông. 
HD: 
GT 
2 2 21 cos 1 cos 1 cos 2
2 cos cos cos 0
A B c
A B C
      
 
2) CMR nếu : sin sin sin 1 cos cos cosA B C A B C      thì ABC 
vuông. 
HD: 
)sin sin sin 4 cos cos cos
2 2 2
)1 cos cos cos 4 sin cos cos
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
   
    
3) Nếu  sin sin 1 tan tan
cos cos 2
A B
A B
A B
   thì 
ABC cân. 
HD: 
2
2 sin cos 1 sin( )2 2
2 cos cos
2 cos cos
2 2
cos cos sin
2
cos( ) 1
A B A B
A B
GT
A B A B A B
C
A B
A B
 
  
 
  
- 5 - 
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. Định nghĩa: Là một trong các phương trình sau: 
 (1)
 (2)
 (3)
 (4)
sin
cos
tan
cot
x m
x m
x m
x m




x là ẩn, m là số thực cho trước. 
II. Công thức nghiệm của PT (1)x msin  
+ Nếu  1m thì (1) vô nghiệm 
+ Nếu 1m  thì (1) có nghiệm 
2
sin
2
x k
x m
x k
 
  
       
Trong đó  là một số thực sao cho sin m  
Ví dụ: 
23 3sin sin sin
22 3 2
3
x k
x x
x k
 
 
        
Lưu ý: 
 
2
sin sin
2
x k
x
x k
 
   
       
 
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x
f x g x k

 
       
 Nếu đo bằng đơn vị độ thì 
0 0
0 0 0
.360
sin
180 .360
x a k
x m
x a k
       
- 6 - 
 Với 1m  trên ;
2 2
     
thì sin x m có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là 
arcsinm 
 Khi 0; 1; 1m m m    thì ta có công thức nghiệm đặc biệt 
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k

 
 
  
   
    
LUYỆN TẬP 
 Giải các phương trình sau 
1
1.1) sin 2
2
1.2) sin2 sin
1.3) cos2 sin 2
1.4) cos sin 2 0
3 2
1.5) cos 3 sin 3 1
1.6) cos 3 cos 3 1
3 3
x
x x
x x
x x
x x
x x
 



                 
 
                  
2 2 2 2
2 2
0 0 0
1.7) sin sin 3 cos cos 3
cos2 3
1.8) cos
sin cos 2
1
1.9) 3 sin cos
cos
1.10) sin 3 cos2 1 2 sin 2 cos2
1.11) sin 2 cos 3 1
2
1.12) sin(2 15 ) ( 120 120 )
2
x x x x
x
x
x x
x x
x
x x x x
x x
x x
  
 
 
  
 
    
III. Công thức nghiệm của PT (2)cosx m 
+ Nếu  1m thì (1) vô nghiệm 
+ Nếu 1m  thì (1) có nghiệm 
cos 2x m x k      
Trong đó  là một số thực sao cho cos m  
Ví dụ: 
1 2 2
cos cos cos 2
2 3 3
x x x k
          
- 7 - 
Lưu ý: 
 cos cos 2x x k       
 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2f x g x f x g x k      
 Nếu x đo bằng độ thì : 0 0cos 360x m x a k     
 Với 1m  trên 0;    thì cosx m có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là 
arccosm 
 Khi 0; 1; 1m m m    thì ta có công thức nghiệm đặc biệt 
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
    
   
     
IV. Công thức nghiệm của pt tanx m 
+ TXĐ: 
2
x k
   
+ PT tan x m có nghiệm m   
tanx m x k     
V. Công thức nghiệm của pt cotx m 
+ TXĐ: x k  
+ PT cotx m có nghiệm m   
cotx m x k     
LUYỆN TẬP 
1. Giải các phương trình sau 
 
 
 
  
  
  
           
   
2 2 2
3 3
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1.1) 2 sin2 2 sin 0
1.2) sin sin tan 3
1.3) cos sin sin 0
1.4) 1 sin 2 cos 3 sin 3
1.5) cos2 3 cos 4 0
7
1.6) sin ( 5 ) sin cos sin 1
2
1.7) cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
- 8 - 
2. Giải các pt sau 
6 6 4 4 2
2
3 3
2 2
2.1) 4(sin cos ) 2(sin cos ) 8 4 cos
2.2) 3 4 cos sin (1 2 sin )
2.3) sin cos 1 cos2
2.4) cos 5 sin 4 cos 3 sin 2
2.5) cos 5 sin 4 cos 3 sin2
2.6) tan tan 2 tan 3
17
2.7) sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
    
  
  


 
   

3 3
5 7
2.8) sin 2 3 cos 1 2 sin
2 2
2.9) cos cos 3 sin sin 3 3
2.10) tan tan 2 1
3 3
x x x
x x x x
x x
   
                   
 
                 
- 9 - 
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN 
I) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 
Dạng: 
  
  
 
sin 0 ( 0)
cos 0 ( 0)
tan 0
a x b a
a x b a
a x b
Cách giải: chuyển vế đưa về phương trình lượng giác cơ bản 
II) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác 
Dạng: 
2
2
sin sin 0 ( 0)
tan tan 0 ( 0)
a x b x c a
a x b x c a
   
   
Cách giải: đặt ẩn phụ ( đk ẩn phụ nếu có) 
LUYỆN TẬP 
 Giải các phương trình sau 
2
4
2
4 4 2
4 4
6 6 4
1) 3 sin 2 7 cos2 3 0
2) cos2 5 sin 3 0
3) cos2 cos 2 0
4) cos 4 2 sin 2 0
1
5) sin cos cos2 sin 2 2
4
3
6)( .05) cos sin cos sin 3 0
2 4 2
7) cos sin cos 4
x x
x x
x x
x x
x x x x
D x x x x
x x x
  
  
  
  
   
                    
 
6 62(cos sin ) sin cos
8) 0
2 2 sin
x x x x
x
  

- 10 - 
III) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
Dạng: 
 2 2sin cos ( 0)a x b x c a b    
Cách giải: Chia hai vế pt cho 2 2a b : 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
PT x x
a b a b a b
  
  
Vì 
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
                 
 nên ta đặt 
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
  
 
: 
2 2
2 2
sin cos cos sin
sin( )
c
PT x x
a b
c
x
a b
 

  

  

Chú ý : Ta có thể đặt cos
2 2 2 2
sin ;
a b
a b a b
  
 
: 
LUYỆN TẬP 
 Giải các phương trình sau 
5 4
2 2
6 6
2
4
1) 3 cos2 sin 2 2
2) 3 sin 2 4 cos2 1
3) 4 sin 5 cos 4 cos sin cos 1
cos sin
4) 4 cot2
cos sin
1 1 2
5)
cos sin 2 sin 4
sin (sin cos ) 1
6) 0
cos sin 1
1
7) 2 tan cot2 2 sin2
sin2
sin
8)
x x
x x
x x x x x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x
x
  
 
  


 
  
 
  
4
2
2 2 2
cos 1 1
cot2
5 sin 2 2 8 sin 2
9) 2 sin sin 3 3 cos 2 2 0
10) sin cos 2 cos 3
x
x
x x
x x x
x x x
  
  
  
- 11 - 
 Dùng Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx để tìm min , max 
2 2
: sin cos sin( )
c
PT a x b x c x
a b
    

Phương trình có nghiệm 2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
    

Áp dụng: Tìm min, max của các hàm sau 
1) cos sin
cos
2)
sin cos 2
y x x
x
y
x x
 
  
 Bài tập 1: Cho . sin 1
cos 2
k x
y
x
 
a) Tìm min, max khi 1k  
b) Tìm k để min 1y   
c) Tìm k để max của y là nhỏ nhất 
 Bài tập 2: Cho 2 cos 1
cos sin 2
k x k
y
x x
   
a) Tìm min, max khi 1k  
b) Tìm để k min của hàm số 2 
c) Tìm để k max của hàm số là lớn nhất 
IV) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx 
Dạng: 
 2 2 2 2 2sin sin cos cos 0 ( 0) (4)a x b x x c x a b c      
Cách giải: 
+ Xét cos 0x  
+ Với cos 0x  , 2(4) tan tan 0a x b x c    
Lưu ý: 
- 12 - 
1) Nếu thay: 2 21 cos2 1 cos2 1sin ; cos ; sin cos sin2
2 2 2
x x
x x x x x
    thì pt 
(4) trở thành bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x 
2) Xét pt 2 2 2 2 2sin sin cos cos ( 0; 0) (4 )a x b x x c x d a b c d a       
Thay 2 2(sin cos )d d x x  thì (4 ) (4)a  
Hoặc chia 2 vế của (4 )a cho 2cos 0x  và dùng công thức  22 1 tancos
d
d x
x
  
3) Một cách tổng quát: với pt đẳng cấp bậc n đối với sinx và cosx ta thường chia 2 vế 
cho cosn x 
Ta thường gặp pt đẳng cấp bậc 3 dạng sau: 
3 2 2 3sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x    
LUYỆN TẬP: 
 1. Giải các phương trình sau 
2 2
2
2 2
2 2
2 2
1.1) sin 2 sin cos 3 cos 3 0
1.2) sin 3 sin cos 1 0
5
1.3) 4 3 sin cos 4 cos 2 sin
2
5 3
1.4) 3 sin (3 ) 2 sin cos 5 sin 0
2 2 2
1.5) cos 3 sin cos 2 sin
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
   
  
  
                                  
 
2 2
2 2
2
32 2
32 2
1 0
1.6) sin 2 sin cos 3 cos
1.7) sin sin 2 3 cos 0
1.8) cos 2 sin 2 1 0
1.9) sin 6 sin2 3 cos 2. 66 0
1.10) 7 sin 2 sin 2 3 cos 3 15 0
x x x x
x x x
x x
x x x
x x x
 
 
  
  
   
   
 2. Giải các phương trình sau 
3 3 2
3 3 2
2.1) 4 sin 3 cos 3 sin sin cos 0
2.2) cos 4 sin 3 cos sin sin 0
x x x x x
x x x x x
   
   
- 13 - 
3 2
3 3
3 3
3
3
2
2.3) cos sin 3 sin cos 0
2.4) cos sin sin cos
2.5) 4 cos 2 sin 3 sin 0
2.6) sin sin 2 sin 3 6 cos
2.7) sin cos 4 sin 0
2.8) 1 3 sin2 2 tan
2.9) sin (tan 1) 3 sin (cos sin ) 3
2.10) 2
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x x x
  
  
  
 
  
 
   
3 1
sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
  
V) Phương trình đối xứng với sinx và cosx 
Dạng: 
      2 2(cos sin ) sin cos 0 ( 0)a x x b x x c a b 
Cách giải: đặt sin cos 2 2
4
t x x x t
          
Khi đó 
2 1
sin cos
2
t
x x
 
2 1
. . 0
2
t
PT a t b c
    
LUYỆN TẬP 
 Giải các phương trình sau 
3 3
3 3
1) 2(sin cos ) sin cos 1
2
2) (1 sin cos )(sin cos )
2
1 1 10
3) cos sin
cos sin 3
2
4) sin cos
2
3
5) 1 sin cos sin2
2
6) 2 sin 2 2(sin cos ) 1 0
7) sin cos 2 sin 2 cos 2
8) 1 tan 2 2 sin
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x
  
  
   
 
  
   
  
 
- 14 - 
9) sin cos 7 sin 2 1
10) sin2 2 sin 1
4
x x x
x x
  
       
VI) Phương trình đối xứng với tan x và cotx 
Dạng: 
2 2(tan cot ) (tan cot ) 0a x x b x x c     
Cách giải: 
+ TXĐ: 
2
x k
 
+ Đặt 2 2 2
2
tan cot
tan cot 2
t
t x x
x x t
       
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
 1. Giải các phương trình sau 
1) 2 2sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )x x x   
 (ĐH Dược HN năm 1999) 
2) 4 4 7sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
                  
 (ĐH GTVT năm 1999) 
3) 38 cos cos 3
3
x x
      
 (ĐH QGHN-Khối A, năm 1999) 
4) 2 3cos 2 2(sin cos ) 3 sin2 3 0x x x x     
 (ĐH QGTP.HCM-Khối A,1999) 
5) 13 sin 2 cos 3(1 tan )
cos
x x x
x
    
 (CĐ SPHN năm 1999) 
- 15 - 
6) 4(sin 3 cos2 ) 5(sin 1)x x x   
 (ĐH Luật Hà Nội, năm 1999) 
7) 5 cos2 2(2 cos )(sin cos )x x x x    
 (ĐH Hàng Hải Tp.HCM năm 1999) 
8) 3sin 4 sin cos 0x x x   
 (ĐH Y Dược Hà Nội năm 1999) 
9) 
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
  
 (ĐH Sư Phạm Vinh năm 1999) 
10)
2
cos 2 sin cos
3
2 cos sin 1
x x x
x x
 
 
 (ĐH Nông nghiệp I – Khối B 1998) 
11) 
2 2cot tan
16(1 cos 4 )
cos2
x x
x
x
   
 (ĐH GTVT năm 1998) 
12) sin cot5 1
cos9
x x
x
 
 (ĐH Huế - Khối A năm 1999) 
13) 22 tan cot 3
sin 2
x x
x
   
 (ĐH Ngoại Thương nưm 1997) 
14) sin cos sin cos 2x x x x    
 (ĐH QGHN-Khối D, năm 1999) 
15) 2 cos sin 1x x  
 (ĐH Dân Lập Hồng Bàng năm 1999) 
16) cos2 1 sin2 2 sin cosx x x x    
- 16 - 
 (ĐH DL Phương Đông năm 1999) 
 2. Tìm m để pt sau có nghiệm 
2cos2 2(2 3)cos 2 2 0m x m x m     
 (ĐH Đà Lạt năm 1998) 
 3. Cho phương trình: 4 6sin cos 2 cos 0x x m x   
a) Giải pt khi 2m  
b) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm trên khoảng 0;
4
     
 4. Cho phương trình: 2(cos 1)(cos2 cos ) sinx x m x m x   
a) Giải pt khi 2m   
b) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm thuộc đoạn 20;
3
    