Bài giảng môn toán lớp 10 - Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG . 
Bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ :
I . Phương pháp :
1. Đường thẳng (d) đi qua điểm M(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến =( A;B) thì có phương trình tổng quát là : A(x-x0) + B(y – y0) = 0 
2. Đường thẳng (d) đi qua điểm M (x0;y0) và có VTCP =( a;b ) thì có 
+ phương trình tham số là :(t là tham số ) 
+ phương trình chính tắc là :
II. VDMH: 1)Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(3;-2) và có vectơ pháp tuyến =( 1;4 ) ?
2)Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M(-3;-2) và có VTCP =( 2;3 )?
Giải : 1) Đường thẳng d đi qua điểm M(3;-2) và có vectơ pháp tuyến 
=( 1;4) có phương trình tổng quát là : 1(x-3) + 4(y +2 ) = 0 
hay x+4y +5 = 0 
2) Đường thẳng d đi qua điểm M(-3;-2) và có vectơ chỉ phương 
=( 2;3 ) có phương trình tham số là : 
III.Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Lập PTTQ , PTTS , PTCT của đường thẳng trong những trường hợp sau đây :
Đi qua điểm M(3;-1) và có VTPT = (2;4).
Đi qua điểm M(3;-1) và vuông góc với đường thẳng BC , trong đó B(-1;3) và C(2;5).
Đi qua điểm M(3;-1) và có VTCP = (4;-1).
Đi qua hai điểm A(-3;2) và B(1;-2).
Đi qua M (-5;-8) và có hệ số góc k = -3 .
Bài 2 : Cho đường thẳng có phương trình : 3x – 5y -11 = 0 . Hãy lập phương trình đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :
Đi qua M(2;-3) và song song với .
Đi qua M(2;-3) và vuông góc với .
Đi qua M(2;-3) và cắt trục hoành tại A , cắt trục tung tại điểm B sao cho cho OB = 2OA (A , B khác gốc O ).
Bài 3: Cho đường thẳng( d ) : 3x-y+1 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng (d1) qua A(2;3) và song song với đường thẳng (d) .
Viết phương trình đường thẳng (d2) qua B(-3;4) và vuông góc với đường thẳng (d) .
Bài 4 : Cho tam giác ABC có C(2;3) , trọng tâm G() , phương trình đường phân giác trong của góc A là d : 2x+5y+7 = 0 . Hãy xác định toạ độ các đỉnh A , B .
Bài 5 : Cho tam giác ABC có B(-4;-3) , hai đường cao có phương trình là : 5x+3y+4=0 và 3x+8y+13 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác .
Bài 6 : Cho tam giác ABC có B(2;-7) . Phương trình đường cao qua A là 3x+y+11 = 0, đường trung tuyến vẽ từ C là x+2y+7 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác .
Bài7:Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M (1;1) , phương trình cạnh BC là 3x+4y-12 = 0 phương trình cạnh AC là x-y-6 = 0 . Viết phương trình cạnh AB . 
Bài 8 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và phương trình hai đường trung tuyến là x-2y+1=0 và y-1=0 .
Bài 9:Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2),cắt tia Ox tại A,cắt tia Oy tại B(A,B khác gốc O)sao cho :
OA + OB = 6 ;
Tổng nhỏ nhất .
Bài 10 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-4) , phương trình đường cao qua A là 3x-4y+11 = 0 , phương trình đường phân giác trong qua C là x+2y-7 = 0 .
Bài 11 : Cho hình vuông ABCD với B(4;1) và phương trình đường chéo AC là x+3y-11 = 0. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A,C,D .
Bài 12 : Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC là 2x+y-2=0 , D(-6;-1) và cạnh BC đi qua điểm E. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại .
Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2;3) và cách điểm B(3;-5) một khoảng bằng 5.
Bài 14:Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ Ovà tạo với đường thẳng (d):x-2y+6 = 0 một góc 450.
Bài 15 : Cho hai đường thẳng (d1) : x-3y-2=0 , (d2) : 4x-y+1 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1) cắt Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB .
Bài 16 : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
Qua điểm M(3;2) và tạo với (d) : x+y +2 = 0 .
Qua M(3;-4) và tạo với hai đường thẳng 2x+y-3 = 0 và 3x-6y+11 =0 các góc bằng nhau .
Qua M(3;-4) và tạo với trục hoành một góc 450 .
Bài 17 :Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh (AB) : 2x-3y+11 = 0 , phương trình cạnh (AC) : x+5y-14 = 0. Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3) . Viết phương trình cạnh BC .
Bài 18 : Cho tam giác ABC với A(2;0) , B(4;1) , C(1;2) .
Viết phương trình các cạnh AB , AC .
Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và cắt đường thẳng AB tại M , cắt đường thẳng AC tại N sao cho 
Bài 19 : Viết phương trình các đường trung trực của cạnh AB , BC của tam giác ABC có A(-2;-4) , B(2;-1) , C(-1;1) . Từ đó suy ra toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A (2;-1) . Hai đỉnh B , C thuộc đường thẳng 
d : 3x-4y-12 = 0 . Viết phương trình các cạnh bên của tam giác cân ABC .
Bài 21 : Cho điểm M(1;2) . Hãy lập phương trình đường thẳng qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau .
Bài 22 : Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3) , đường cao BH có phương trình :
 2x -3y -10 = 0 .
giả sử cạnh BC có phương trình 5x-3y -34 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B,C .
giả sử cạnh AB có phương trình : 5x + y – 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C . Xác định toạ độ các đỉnh B,C .	(ĐHQG TP.HCM)
Bài 23 : Cho tam giác ABC , cạnh BC có phương trình 7x+5y-8 = 0 , các đường cao BI và CK có phương trình lần lượt là : 9x-3y-4= 0 và x+y – 2 = 0 .Hãy lập phương trình các cạnh AB , AC và đường cao AH của tam giác đó . 	 	(CĐSP HN)
Bài 24 : Hai cạnh của một tam giác có phương trình : 5x-2y+6 = 0 và 4x+7y -21 = 0 . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biêt trực tâm trùng với gốc toạ độ O . 	(ĐH BK HN)
Bài 25 :Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1 = 0 và y – 1 = 0 .	 	( ĐH Mỏ – Địa chất ) 
B – Bài tập về đường tròn trong mặt phẳng toạ độ :
I . Phương pháp : Đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R có PT: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
II. VDMH: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;3) và đi qua điểm M( 3;4).
Giải : Đường tròn đã cho có bán kính R = IM = .
Từ đó đường tròn đã cho có phương trình là : (x+1)2+(y-3)2 = 17.
III.Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
Tâm I(-2;3) , bán kính R = 4 .
Nhận AB làm đường kính với A(-2;6) , B(4;-2) .
Tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng x-2y+7 = 0 .
Qua ba điểm A(-2;4 ) , B(5;5) , C(6;-2)
Bài 2 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
Đi qua hai điểm A(5;7) , B(-2;4) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+3y-18 = 0.
Có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y+12 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x+y-4 = 0 tại điểm M(1;2) .
Đi qua điểm A( 4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng x-3y-2 = 0 và x-3y +18 = 0 .
Tiếp xúc với đường thẳng (d1) :2x+y -3 = 0 tại A(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng(d2):3x-4y-2 = 0 tại điểm B(-2;-2) .
Bài 3 : Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau đây :
x2+y2-2x-4y-3 = 0
2x2+2y2-8x-4y-7 = 0.
Bài 4 : Cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 -4x+6y +1 = 0.
Kiểm tra xem điểm M (-1;1) nằm bên trong hay bên ngoài đường tròn.
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M (-1;1) và cắt (C ) tại hai điểm A , B sao cho 
 AB = R 
Bài 5 : Cho đường tròn ( C ) x2 + y2 +2x-4y+1 = 0 .
Viết PTTT của đường tròn tại A(1;2) .
Viết PT các TT của đường tròn , biết rằng các TT đó đi qua M(6;8) .
Bài 6 : Cho đường tròn ( C ) (x-4)2 + (y + 3)2 = 25 . Viết PTTT của ( C ) trong mỗi trường hợp sau : 
TT song song với đườngthẳng -4x+3y +11 = 0 .
TT vuông góc với đường thẳng 4x -3y -2007 = 0 .
TT tạo với đường thẳng x-7y -2007 = 0 một góc 450 .
Bài 7 : Cho đường tròn (C) : x2+y2 -4x+2y-1 = 0 và đường thẳng ( d ) : y = x .
Chứng minh rằng (d) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B .
Viết phương trình đường tròn (C’) qua A , B và M (2;3) .
Bài 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và : 
Đi qua điểm M (1;2).
Có tâm nằm trên đường thẳng 3x+y-6 = 0
Bài 9 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
Có bán kính bằng 1 , tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng x+y-3 = 0 .
Tiếp xúc với đường thẳng(d):x-2y+3 =0tại điểm A(1;2)và có tâm nằm trên đường thẳng x+y-1= 0.
Bài 10 :Cho đường tròn ( C ): x2+y2-2x+4y-4=0 và điểm M (-1;-3 ).Viết phương trình đường thẳng :
Qua M , cắt ( C ) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB .
QuaM,cắt(C)tại hai điểm AvàB sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất,I là tâm của (C )
Bài 11 :Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C ) : (x-1)2 + (y-2)2 = 4 , biết tiếp tuyến :
Tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác vuông cân.
Tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 4 .
Bài 12 : Trong mp Oxy cho ba điểm : A (3;1) , B(0;7) , C(5;2) .	(ĐH NN I )
CMR tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó .
Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . CMR khi đó trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên một đường tròn . Viết phương trình của đường tròn đó .
Bài 13 : Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng1 Tìm quỹ tích tâm của các đường tròn đó .	(ĐH QG HN)
Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và cắt đường tròn (C ) : (x-1)2+(y+3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8 .	(ĐH Ngoại ngữ )
Bài 15 : Cho hai đường tròn : (C1):x2+y2-6x+5 = 0 và (C2) : x2+y2-12x-6y+44 = 0.
Tìm tâm và bán kính của hai đường tròn đã cho .
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho .
Viết phương trình đường tròn (C3)đi qua tâm của các đường tròn (C1),(C2)và gốc toạ độ O.
Bài 16 : Cho ba điểm A(1;2) , B(-3;1) , C(4;-2 ) .
Chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn MA2 + MB2=MC2 là một đường tròn.
Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn nói trên .
Bài 17 : Cho đường tròn ( C ) : x2+y2 -4x-2y + 3 = 0 .
Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của đương tròn ( C ) .
Tìm m để đương thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn ( C ).
Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x – y +2006 = 0 .
Bài 18 : Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 -4x+2y -20 = 0 và đường thẳng (d) : 2x + y – 5 = 0 
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại các giao điểm trên .
Chứng minh rằng từ điểm M ( 3; 5 ) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn . Tính khoảng cách từ M đến đưòng thẳng đi qua hai tiếp điểm .
Bài 19 :Một đường tròn đi qua hai điểm A(2;2) , B(9;9) và tiếp xúc với chiều dương của trục hoành tại điểm M.Lập phương trình của đường tròn và tìm hoành độ của M ;Viết PTTT của đường tròn tại hai điểm A , B .
Bài 20 : Cho đường cong (Cm ) có phương trình : x2 + y2 -2mx +4(m-1)y – 4 = 0 
CMR:với mọi m,(Cm ) luôn là một đường tròn.Hãy xác định m để (Cm) có bkính nhỏ nhất. 
Tìm m để (Cm ) chắn trên trục hoành một dây cung có độ dài là 2.