Bài giảng môn toán lớp 10 - Phương trình bậc hai và ứng dụng của định lý viet

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
1. Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ¹ 0)
Cách giải và công thức nghiệm
ax2 + bx + c = 0 (a 0) (2)
= b’2 – ac
Kết luận 
 > 0
(2) có hai nghiệm phân biệt 
; 
 = 0
(2) có nghiệm kép 
 < 0
(2) vô nghiệm
ax2 + bx + c = 0 (a 0) (2)
= b2 – 4ac
Kết luận 
 > 0
(2) có hai nghiệm phân biệt 
; 
 = 0
(2) có nghiệm kép 
 < 0
(2) vô nghiệm
2. Định lý Viet
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: 
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình:
x2 - Sx + P = 0 
3. Ứng dụng của định lý Viét:
*) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a.
+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a.
*) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì biểu thức f(x) = ax2 + bx + c sẽ được phân tích thành nhân tử: f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).
Ví dụ: x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2); 2x2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).
*) Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm.
Ví dụ. Tính: 
4. Một số bài toán thường gặp
Bài toán1: Giải và biện luận phương trình dạng: ax2 + bx +c = 0 
Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c: 
+ Nếu b ¹ 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = -.
+ Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu b = 0, c ¹ 0, phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu a ¹ 0, tính D = b2 - 4ac.
+ Nếu D > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt ; 
+ Nếu D = 0, phương trình có nghiệm kép .
+ Nếu D < 0 , phương trình vô nghiệm.
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
Điều kiện: 
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm.
Điều kiện : a ¹ 0, D ³ 0.
Bài toán 4. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện :
Bài toán 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện: a.c < 0.
Bài toán 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương.
Điều kiện : 
Bài toán 7. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
Điều kiện : 
Bài toán 8. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm.
Điều kiện : 
Bài toán 9. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt.
Điều kiện : 
Bài toán 10. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hiệu các nghiệm bằng k.
Điều kiện:
+ Điều kiện 1: phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
+ Điều kiện 2: 
Bài tập
Bài 1. Cho phương trình: x2 - (m +1)x + 12 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (x1 - 2x2)(x2 - 2x1) = 10.
HD:
Bài 2. Tìm m để phương trình x2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1.
Bài 3. Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài 4. Cho phương trình: 3x2 - 4x - m + 5 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 5. Cho phương trình: x2 - 3x + 2m + 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
a) 	b) 
Bài 6. Cho phương trình: x2 - (2m + 3)x + m2 + 2m + 2 = 0 (1). Xác định m để: 
a) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2. Khi đó chứng minh rằng:
4x1x2 = (x1 + x2)2 - 2(x1 + x2) + 5.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
c) Phương trình (1) có một nghiệm x1 = 2 và x2 > 4.
Bài 7. Cho phương trình: x2 + 2mx + 3 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
Bài 8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x2 - mx - m = 0.
Bài 9. Tìm m để phương trình: (m + 1)x2 - (3m + 5)x + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm dương.
Bài 10. Cho phương trình: (m - 2)x2 + 2mx + m - 1 = 0.
a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm.
Bài 11. Tìm m để hai phương trình sau là tương đương: 
x2 +mx + m = 0 và x2 + 4x + m = 0.
Bài 12. Cho phương trình: x2 + x + m = 0 (1) và x2 + mx - 7 = (2). Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2).
Bài toán 13. Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một trong hai nghiệm ấy bằng k lần nghiệm kia là: 
Giải:
Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x1 = kx2 hoặc x2 = kx1. Ta có: 
x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 Û (x1 - kx2)( x2 - kx1) = 0 (1)
Vế trái của đẳng thức trên là một biểu thức đối xứng của x1 và x2. Do đó nó có thể biểu diễn qua . Cụ thể là: 
Từ (1) và (2) suy ra x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 Û .
Bài 14. Cho phương trình: 
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: 
HD: 
a) ĐK: m ³ 3. 
Hệ thức độc lập là: 
Bài 15. Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức:
HD: 
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Û D ³ 0 Û m2 - 4 ³ 0 Û .
Khi đó theo định lý Viet ta có: .
Bài 16. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai:
(m + 1)x2 - 2mx - m = 0
có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1.
HD: 
ĐK: .
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) |2x - 3| = x – 5; 	b) |2x + 5| = |3x - 2|;	c) |4x + 1| = x2 + 2x – 4;
d) ;	e) |x2 – 2x - 3| = x – 3.	f) x2 + 4x - 3|x + 2| + 4 = 0;
g) 6x2 - 4x - 7 + |3 - x| = 0;	h) |2x2 + 3x - 1| = 3 + x;	
Giải:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để phá dấu giá trị tuyệt đối.
|2x - 3| = x – 5
Nếu 2x – 3 ³ 0 Û x ³ 3/2 thì ta có phương trình: 2x – 3 = x – 5 Û x = -2 (loại)
Nếu 2x – 3 < 0 Û x < 3/2 thì ta có phương trình : -2x + 3 = x - 5 Û 3x = 8 Û x = 8/3 (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả:
|2x - 3| = x – 5 Þ (2x - 3)2 = (x - 5)2 Û 4x2 - 12x + 9 = x2 - 10x + 25 Û 3x2 - 2x - 16 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) |x2 + x - 1| = 2x - 1;	b) |x2 + 2x - 4| + 2x + 6 = 0;
c) |x2 - 20x - 9| = |3x2 + 10x + 21|;	d) |x2 - 2x - 3| = x2 - 2x + 5;
e) |2x - 3| = |x - 1|;	f) |x2 - 2x - 3| = 2.
g) |3x - 2| +x2 - 5x + 6 = 0;	
1. Phương trình có ẩn trong dấu căn.
* Dạng: 
Cách giải: 
Cách1: 
Cách: 
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) ;	b) ; 	c) ;
d) ; 	e) ;	f) ;
Giải:
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
* Phương trình dạng: 
Cách giải: 
Ví dụ. Giải phương trình: 
a) ;	b) ;	c) 
HD:
a) 
*Phương trình dạng: 
Cách giải: ĐK: 
Ta được phương trình dạng 
Bài tập. Giải các phương trình sau:
c); 	d);
e) ;	f) ;
g);	h) ;
i) ;