Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài 1: Nguyên hàm

Chương III: Nguyên hàm và tích phân
 Đ1: nguyên hàm
 Tiết theo PPCT : 253 -> 256
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm của một hàm số, định lý, các tính chất của nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản.
 HS biết cách tìm nguyên hàm của một hàm số.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Giảng bài mới: 
GV nhắc lại vấn đề tổng quát: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b), tìm các hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F'(x) = f(x).
GV nêu khẳng định: Hàm số F(x) nói trên được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) và yêu cầu học sinh hãy nêu định nghĩa nguyên hàm.
GV chính xác hoá.
1) Định nghĩa:
 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi xẻ(a; b) ta có: F'(x) = f(x).
 Nếu thay cho khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì phải có thêm: F'(a+) = f(a) và F'(b-) = f(b).
GV đặt câu hỏi:
* Tìm một hàm số là nguyên hàm của hàm số
y = 2x.
HS đọc phần nêu vấn đề SGK(111).
HS phát biểu định nghĩa.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
* y = x2.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Hàm số y = x2 + 11 có phải là nguyên hàm của y = 2x không?
* Tìm một nguyên hàm của hàm số trên R*+.
* Hàm số có phải là nguyên hàm của trên R*+ không?
* Từ đó hãy tổng quát thành tính chất chung và chứng minh.
* Điều ngược lại có đúng không? Nêu cách chứng minh điều ngược lại.
GV gợi ý: Rõ ràng (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) =0 nên ta phải chứng minh bổ đề.
Bổ đề: Nếu F'(x) = 0 trên khoảng (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.
GV tổng hợp và chính xác hoá thành định lý:
2. Định lý:
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì :
+ "C = const có F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
+ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C = const.
 Hay ta nói: {F(x) + C, C ẻR} là họ các nguyên hàm của f(x). Kí hiệu là: và còn đọc là tích phân bất định của f(x).
 Vậy:
Dấugọi là dấu tích phân, f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và là vi phân của mọi nguyên hàm F(x) của f(x) vì : 
 dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx
* Có.
* .
* Có.
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) thì :
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), "C = const.
Thật vậy: (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x).
* Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) ta phải chứng minh G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C với C = const.
HS chứng minh bổ đề dựa vào định lý Lagrăng. (SGK - 113)
HS theo dõi và ghi chép.
HS tự rút ra nhận xét: muốn tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) ta chỉ cần tìm một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm khác đều suy ra được bằng cách cộng vào đó một hằng số nào đó.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ví dụ: 
3. Các tính chất của nguyên hàm:
GV đặt câu hỏi để dẫn đến các tính chất.
* Từ (*) cho biết 
* Đã biết (aF(x))' = aF'(x) = af(x). Vậy
 với a ạ 0.
* Đã biết (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x). 
Vậy 
* Đã biết (F(u(x)))' = F'(u).u'(x). 
Vậy 
GV bổ sung: Vậy nếu 
thì với u = u(x) .
4. Sự tồn tại của nguyên hàm:
GV nêu định lý, cho HS thừa nhận:
Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
GV nêu quy ước: Từ đây chỉ xét các hàm số liên tục.
HS nêu và chứng minh các tính chất.
*
*
Thật vậy: 
màvà aC = const nên ị đpcm.
* 
Chứng minh tương tự trên.
*
Hiển nhiên vì F'(t) = f(t) nên 
 (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x) 
 = f(u(x)).u'(x) ị đpcm.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
5. Bảng các nguyên hàm:
GV hướng dẫn HS từ đạo hàm suy ra nguyên hàm của các hàm số sơ cấp (và của hàm số hợp) tương ứng.
* (x)' = ? ị 
* (xa) = ? ị
* (ln/x/)' = ? ị ?
* (ex)' = ? ị ?
* (ax)' = ? ị ?
* (sinx)' = ? ị ?
* (cosx)' = ? ị ?
* (tgx)' = ? ị ?
* (cotgx)' = ? ị ?
C - Luyện tập - Củng cố:
6. áp dụng:
GV nêu ví dụ và hướng dẫn HS tính nguyên hàm.
*Ví dụ 1: F(x) = 
*Ví dụ 2: F(x) = 
HS tìm ra đạo hàm của các hàm số sơ cấp dưới sự hướng dẫn của GV.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
HS giải các ví dụ.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
*Ví dụ 3: F(x) = 
*Ví dụ 4: F(x) = 
*Ví dụ 5: F(x) = 
*Ví dụ 6: F(x) = 
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Đáp số
Bài 1 (118). Tìm nguyên hàm của các hàm số:
Bài 2(118). Tìm nguyên hàm của các hàm số:
Bài 3(118). Tính:
 Đ2: Tích phân
 Tiết theo PPCT : 257 -> 261
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.
 HS biết cách tính một số tích phân đơn giản.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Kiểm tra bài cũ: 
 Tính các nguyên hàm sau: 
C - Giảng bài mới:
1. Diện tích hình thang cong:
GV giới thiệu khái niệm tam giác cong, hình thang cong và bài toán tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong. 
GV nêu bài toán.
Bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb, được giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f(x), f(x) ỏ 0, trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
Đáp số:
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV hướng dẫn HS giải bài toán.
 (SGK trang120 -> 122)
GV: bài toán trên chính là nội dung của định lý sau. Nêu định lý.
ĐL: Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ỏ 0 trên đoạn [a; b]. Thế thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số đó, trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = F(b) - F(a) , trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên đoạn [a; b].
2. Định nghĩa tích phân:
GV nêu định nghĩa.
ĐN: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là .Ta còn ký hiệu: .
Vậy: (1) 
 (công thức Newton - Leibniz)
Trong đó: là đấu tích phân, f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x), f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, a và b là các cận của tích phân, a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số tích phân.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: 
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS áp dụng công thức (1) để giải ví dụ.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV nêu chú ý.
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân.
GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa tích phân hãy nêu ý nghĩa hình học của tích phân.
3. Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c thuộc K. Khi đó:
(9) t biến thiên trên đoạn [a; b]
 là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời: là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x) là hàm số liên tục không âm trên đoạn [a; b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh một số công thức, còn lại coi như bài tập.
+ Chứng minh (3): Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì kF(x) là một ng.hàm của kf(x). Ta có: 
+ Chứng minh (6): Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có:
F'(x) = f(x) ỏ 0, "x ẻ [a; b] ị F(x) đồng biến trên [a; b]. Do đó:
+ Chứng minh (7): Suy ra từ (6) với hàm h(x) =f(x)-g(x)ỏ0,"x ẻ [a; b].
+ Chứng minh (8): Suy ra từ (7).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
4. áp dụng: 
GV nêu đề bài: Tính các tích phân.
5) Chứng minh rằng:
HS áp dụng các công thức đã học để giải bài tập.
5) Ta có:
Do đó: 
 (đpcm)
D - Chữa bài tập:
Đề bài
Đáp số
Bài 1 (128). Tính các tích phân:
Bài 2(128). Tính các tích phân:
Bài 3(128). Chứng minh rằng :
Đề bài
Đáp số
Bài 4(129). Tính các tích phân:
 Đ3: Các phương pháp tính Tích phân
 Tiết theo PPCT : 262 -> 265
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm vững các phương pháp tính tích phân: phương pháp đổi biến số (dạng 1 và dạng 2), phương pháp tích phân từng phần; biết cách áp dụng các phương pháp đó để tính tích phân.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ: 
 Tính các tích phân sau: 
GV: trên đây là các tích phân có thể tính được bằng cách dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân, tuy nhiên với nhiều tích phân phức tạp thì không thể tính được bằng cách đó. 
C - Giảng bài mới:
1. Phương pháp đổi biến số:
GV giới thiệu bài toán.
Giả sử phải tính , với f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Đáp số:
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
 a) Đổi biến số dạng 1:
GV nêu định lý.
ĐL. Nếu:
 1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]
 2) Hàm số hợp f(u(t)) được xác định trên đoạn [a; b]
 3) u(a) = a, u(b) = b 
thì ta có: .
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV nêu quy tắc.
* Quy tắc đổi biến số dạng 1.
 + Đặt x = u(t), với u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] và u(a) = a, u(b) = b, f(u(t)) xác định trên [a; b].
 + Thay theo cách đặt vào tích phân cần tính rồi tính tích phân theo biến t.
GV lưu ý HS đổi biến phải đổi cận.
GV nêu ví dụ và hướng dẫn HS cách giải.
VD1: Tính .
GV: ta cũng có thể đặt x = cost. 
VD2: Tính .
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh.
HS đọc SGK(130)
HS theo dõi và ghi chép.
HS giải ví dụ dưới sự hướng dẫn của GV.
Đặt x = sint .
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t = .
Ta có: dx = dsint = costdt.
Do đó:
Đặt x = tgt .
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t = .
Ta có .
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
VD3: Tính .
VD4: Tính .
VD5: Chứng minh rằng 
 .
b) Đổi biến số dạng 2:
* Quy tắc đổi biến số dạng 2:
 + Đặt t = v(x) với v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục.
Do đó:
Đặt x = sint .
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = thì t = .
Ta có: dx = dsint = costdt.
Do đó: 
Ta có: 
Đặt .
Khi x = 0 thì , 
khi x = 1 thì .
Ta có: 
Do đó:
Đặt .
Ta có: 
Do đó: 
 (đpcm)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
 + Biểu thị f(x)dx theo t và dt. 
 Giả sử: f(x)dx = g(t)dt.
 + Khi đó .
GV nêu ví dụ.
VD1: Tính .
GV yêu cầu HS tính theo cách khác (không cần đổi biến mà dùng tính chất tích phân của hàm số hợp).
VD2: Tính 
VD3: Tính 
HS theo dõi và ghi chép.
HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọn biến mới thích hợp để giải các ví dụ.
Đặt t = x2 + x + 1.
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1 thì t = 3.
Ta có: dt = (2x + 1)dx
Do đó: .
Cách khác:
Đặt t = 1 - x2 ị dt = -2xdx.
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1/2 thì t = 3/4
Do đó: 
HS tính theo cách khác, coi như bài tập.
Đặt .
Khi x =1 thì t = 0, khi thì 
Do đó: (theo VD3 ở dạng 1)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
2. Phương pháp tích phân từng phần:
GV nêu định lý.
ĐL: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
Hay (*)
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV nêu ví dụ.
VD1: Tính .
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
Ta có:
Mà du = u'(x)dx và dv = v'(x)dx nên dễ dàng suy ra công thức (*).
HS áp dụng công thức tích phân từng phần để giải ví dụ.
Đặt ta có:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
VD2: Tính 
VD3: Tính 
VD4: Tính 
VD5: Tính 
Đặt ta có:
Đặt ta có:
Đặt ta có:
Do : nên ta có:
D - Chữa bài tập: Tính các tích phân
Đề bài
Đáp số
Bài 1 (141). Tính các tích phân:
Bài 2(141). Tính các tích phân:
Bài 3(142). Tính các tích phân:
Bài 4 (142). Tính các tích phân sau (với a > 0):
 (Đặt x = atgt)
Đề bài
Đáp số
 (Đặt x = asint).
Bài 5 (142). Tính:
Bài 6 (142). Tính:
 Đ4: ứng dụng hình học và vật lý của tích phân
 Tiết theo PPCT : 266 -> 271
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm vững và biết cách vận dụng các công thức tính: diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích của vật thể tròn xoay.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Kiểm tra bài cũ:
GV nêu bài tập để kiểm tra bài cũ.
 Tính các tích phân sau:
1. 
2. 
C - Giảng bài mới: 
1. Tính diện tích của hình phẳng:
GV tóm tắt.
 * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là:
GV nêu ví dụ.
VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0; p] và trục Ox. 
HS tính các tích phân vừa nêu.
ĐS: 
HS đọc SGK(143).
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải các ví dụ.
VD1: 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x2 - 2x - 3 và trục Ox.
GV tóm tắt.
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a; b], hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là:
Cách tính:
+ Tìm các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của phương trình f1(x) - f2(x) = 0. Giả sử đó là a và b: a Ê a < b Ê b.
+ Khi đó:
GV nêu các ví dụ.
VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) y = x2 -2x, trục Ox và hai đường thẳng x = -2, x = 3.
VD4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x3 + 6x2 - 9x + 4 và đường thẳng .
VD2: Hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là: x = -1 và x = 3.
Vì "x ẻ [-1; 3] thì y = x2 - 2x - 3 < 0 nên: (đvdt)
HS đọc SGK(145 - 146).
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải các ví dụ.
VD3: 
 đvdt)
VD4: 
 (đvdt)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
VD5: Tính diện tích của hình tròn (O; R).
VD6: Tính diện tích của hình elip .
2. Tính thể tích của các vật thể:
GV tóm tắt.
* Công thức tính thể tích vật thể:
* Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay:
 + Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x= a, x= b, y = 0:
+ Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), y= a, y= b, x = 0:
GV nêu các ví dụ.
VD1: Tính thể tích vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 + x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 khi quay quanh trục Ox.
VD5: 
 (đvdt)
VD6: 
 (đvdt)
HS tự đọc SGK(149).
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải các ví dụ.
VD1: (đvtt)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
VD2: Tính thể tích vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x2 và khi quay quanh trục Ox.
3. ứng dụng vào vật lý:
VD2: 
 (đvtt)
HS tự đọc SGK(153 + 154).
D - Chữa bài tập: 
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1(154). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3;
b) y = x2 + 1, x + y = 3;
c) y = x2 + 2, y = 3x;
d) y = 4x - x2, y = 0;
e) y = lnx, y = 0, x = e;
f) x = y3, y = 1, x = 8.
Bài 2(155). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a) 
b) 
Bài 3(155). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.
a) 5
b) 
c) 
d) 
e) 1
f) 
a) 3
b) 
Tiếp tuyến y = 4x - 7. Diện tích S = 9.
Đề bài
Đáp số
Bài 4(155). Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox:
 a) y = 0, y = 2x - x2 ;
 b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = ;
 c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = p ;
 d) y = xex/2 , y = 0, x = 0, x = 1.
Bài 5(155). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:
 y = sinx, y = 0, x = 0, x = 
khi nó quay xung quanh trục Ox.
Bài 6(155). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình elíp , khi nó quay xung quanh trục Ox.
Bài 7(155). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình y = 2x2 và y = x3, khi nó quay xung quanh trục Ox.
Bài 8(155). Cho parabol (P): y2 = 4x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(-2; 1).
a) 
b) 
Hai tiếp tuyến y = -x - 1 và y = .
Diện tích .
 Ôn Tập Chương III
 Tiết theo PPCT : 272 -> 273
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS thành thạo trong việc sử dụng các phương pháp khác nhau để tính tích phân; ứng dụng thành thạo tích phân để tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể tròn xoay. 
II - Tiến hành:
Đề bài
Đáp số
Bài 1 (156). Tính các tích phân sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
g) 
h) 
Bài 2 (156). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) ;
b) y = ex , y = e-x, x = 1.
Bài 3 (156). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến tại các điểm M1(0; -3) và M2(3; 0).
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
g) 
h) I7 = 4.
Đề bài
Đáp số
Bài 4 (156). Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) khi nó quay xung quanh trục Ox ;
b) y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0 khi nó quay xung quanh trục Ox ;
c) y2 = x3, y = 0, x = 1 khi nó quay xung quanh :
 - trục Ox ;
 - trục Oy.
 Bài kiểm tra viết chương III
 Tiết theo PPCT : 274
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 Kiểm tra HS việc sử dụng các phương pháp khác nhau để tính tích phân; cách ứng dụng tích phân để tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể tròn xoay. 
II - Nội dung:
 A / Đề bài:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x - x2, trục Ox và các đường thẳng x = -1, x = 4.
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x - x2 và đường thẳng y = 2 khi quay quanh trục Ox.
 B / Biểu điểm:
 Bài 1. a) 1,5đ ; b) 1,5đ ; c) 1,5đ ; d) 1,5đ
 Bài 2. 2đ
 Bài 3. 2đ