Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
I. MỤC TIÊU:
1. Về kiến thức: - Nắm vững định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
- Nắm được mối liên hệ giữa định lí trên với đạo hàm của hàm số
- Hiểu được định lí để xét tính đơn điệu của hàm số
- Nắm được quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số	
2. Về kĩ năng: - Biết thành thạo kĩ năng xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
- Biết vận dụng quy tắc vào giải các bài toán đơn giản bằng đạo hàm
- Biết chứng minh các bài toán bất đẳng thức dùng tính đơn điệu
3. Về tư duy và thái độ: Biết quy lạ về quen. Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ CỦA HỌC SINH:
1. Chuẩn bị của giáo viên:
- Giáo án, đồ dùng dạy học
- Bảng phụ
2. Chuẩn bị của học sinh:
- Sách giáo khoa, vở nháp, vở ghi và đồ dùng học tập
- Kiến thức cũ về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ở lớp 10; khái niệm đạo hàm ở lớp 11 tính bằng giới hạn
III. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số và chuẩn bị kiến thức học ở phần trước 
Kiểm tra bài cũ:
TG
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Nhắc lại định nghĩa
Hoạt động 1: (nhắc lại định nghĩa tính đơn điệu của hàm số)
+ Treo bảng phụ hình 1 và hình 2 (SGK – tr.4)
? Gọi hs thực hiện hoạt động 1 (SGK – tr.4)?
? Ở hình 1, khi x1 < x2 gọi hs nhận xét về f(x1) và f(x2) trên khoảng ()?
? Ở hình 1, khi x1 < x2 gọi hs nhận xét về f(x1) và f(x2) trên khoảng ()?
+ Nhận xét và kết luận
? Gọi hs đọc lại định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến trên tập xác định K của hàm số y = f(x)?
+ Nhận xét và kết luận
+ Nhấn mạnh: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K
? Nhận xét về dấu của khi hàm số đồng biến (nghịch biến)? (với x2 x1)
+ Nhận xét và kết luận 
+ Nhận xét: 
a) * f(x) đồng biến trên K > 0, 
 x1, x2 K (x2 x1)
 * f(x) nghịch biến trên K < 0, 
 x1, x2 K (x2 x1)
b) * Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (xem hình 3.a SGK – tr.5)
* Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (xem hình 3.b SGK – tr.5)
+ Quan sát hình 1, 2
+ Thực hiện: 
* Hình 1: Đồng biến trên các khoảng () và (), nghịch biến trên khoảng ()
* Hình 2: Đồng biến trên khoảng (), nghịch biến trên khoảng ()
+ Trả lời: f(x1) < f(x2)
+ Trả lời: f(x1) > f(x2)
+ Ghi nhận
+ Trả lời: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.
* Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2 K mà x1 < x2 f(x1) < f(x2)
* Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2 K mà x1 f(x2)
+ Ghi nhận
+ Tiếp thu và ghi nhớ
+ Trả lời: > 0 khi hs đồng biến (< 0 khi hs nghịch biến)
+ Ghi nhận
+ Tiếp thu và ghi nhớ
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Hoạt động 2: (xây dựng định lí về dấu của đạo hàm)
? Gọi 2 hs tính đạo hàm của 2 hàm số y = 
và y = ?
? y’ = - x , nhận xét về dấu của y’ tương ứng trên các khoảng (; 0) và (0; )?
? y’ = , nhận xét về dấu của y’ tương ứng trên các khoảng (; 0) và (0; )?
+ Nhận xét và kết luận
? Dựa vào hình 4.a và 4.b (SGK – tr.6), xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng?
? Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm?
? Gọi hs đọc định lí (SGK – tr.6)? (thừa nhận) 
+ Nhận xét và kết luận
+ Tóm lại: Trên K
 * f’(x) > 0 f(x) đồng biến
 * f’(x) < 0 f(x) nghịch biến
+ Chú ý: 
 Nếu f’(x) = 0,x K thì f(x) không đổi trên K
+ Trả lời: * y’ = – x 
* y’ = 
+ Trả lời: 
* Trên (; 0) thì y’ > 0
* Trên (0; ) thì y’ < 0
+ Trả lời: y’ < 0
+ Ghi nhận
+ Trả lời: 
+ Trả lời: 
* Hàm số đồng biến thì dấu của đ. hàm “dương”
* Hàm số nghịch biến thì dấu của đạo hàm “âm”
+ Thực hiện: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
 a) Nếu f’(x) > 0, x K thì f(x) đồng biến trên K
 b) Nếu f’(x) < 0, x K thì f(x) nghịch biến trên K
+ Ghi nhận
+ Tiếp thu và ghi nhớ
Hoạt động 3: (củng cố định lí trên)
+ Nêu VD1 (SGK – tr.6):
? Gọi 1 hs: a) Hàm số y = 2x4 + 1 xác định với những giá trị nào của x? (tức là tìm K)
? Tính y’= ? và y’ = 0 tìm x? (nếu có)
+ Treo bảng phụ: bảng biến thiên
? Hãy xét dấu của y’?
? Dựa vào định lí và nhìn vào bảng biến thiên, hãy chỉ ra những khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?
+ Nhận xét và kết luận
? Đồng thời, b) gọi 1 hs: Tính y’= ? và y’ = 0 tìm x? (nếu có) (lưu ý: K = (0; 2))
+ Treo bảng phụ: bảng biến thiên
? Hãy xét dấu của y’? (xét dấu của hàm số y’ = cosx trên các khoảng (), () và () dựa vào đường tròn lượng giác)
? Dựa vào định lí và nhìn vào bảng biến thiên, hãy chỉ ra những khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?
+ Nhận xét và kết luận
+ Theo dõi
+ Trả lời: x R
+ Trả lời: y’ = 8x3 và y’ = 0 khi x = 0
+ Theo dõi
+ Trả lời: 
+ Trả lời: hàm số đồng biến trên (0; ) và nghịch biến trên (; 0)
+ Ghi nhận
+ Trả lời: y’ = cosx và trên (0; 2): y’ = 0 thì 
x = và x = 
+ Theo dõi
+ Trả lời: (đánh dấu vào bảng biến thiên)
+ Trả lời: hàm số đồng biến trên các khoảng () và (), nghịch biến trên ()
+ Ghi nhận
Hoạt động 4: (xây dựng định lí mở rộng)
? Thực hiện hoạt động 3 (SGK – tr.7)?
+ Nhận xét và kết luận
 Hàm số y = x3 có y’ = 3x2 0: không âm 
 (xem hình 5) thì hàm số đồng biến trên K = R
+ Nêu chú ý: (định lí mở rộng)
 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x) 0 (f’(x) 0), và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K 
+ Thực hiện: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên K
+ Ghi nhận
+ Tiếp thu và ghi nhớ
Hoạt động 5: (củng cố định lí mở rộng)
+ Nêu VD2 (SGK – tr.7): y = 2x3 + 6x2 + 6x – 7 
? Hãy tìm TXĐ của hàm số? Tìm y’? Tìm x của y’ để tại đó y’ = 0 hay không xác định? (nếu có)
? Theo định lí mở rộng, hãy chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số?
+ Nhận xét và kết luận
+ Theo dõi
+ Trả lời: * hs xác định với 
* y’ = 6x2 + 12x + 6
 = 6(x + 1)2 0
* y’ = 0 x = -1
+ Trả lời: Hàm số luôn luôn đồng biến
+ Ghi nhận
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Quy tắc:
Hoạt động 6: (xây dựng quy tắc)
? Từ các VD trên, hãy chỉ trình tự các buớc để xét các khoảng đơn điệu của hàm số?
Gợi ý: * Đầu tiên ta tìm x để hs xác định tức là tìm K
 * Kế tiếp, tính y’ tức là tính đạo hàm của hàm số
 * Tìm những giá trị của x để y’ = 0 hoặc để y’ không xác định (nếu có)
 * Lập bảng biến thiên tức là xét dấu của y’
 * Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
+ Nhận xét và kết luận
+ Trả lời: 1) Tìm TXĐ
2) Tính y’. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,) mà tại đó y’ = 0 hoặc không xác định
3) Lập bảng biến thiên (sắp các điểm xi theo thứ tự tăng dần)
4) Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào định lí và bảng biến thiên.
+ Tiếp thu và ghi nhớ
2. Áp dụng:
Hoạt động 7: (củng cố quy tắc)
+ Nêu VD3 (SGK – tr.8): y = 
? Gọi hs lên bảng giải (theo 4 bước của quy tắc)
(HD: Xét dấu y’ theo quy tắc: “ trong trái ngoài cùng theo dấu của hệ số a ” )
+ Nhận xét, kết luận và chỉnh sửa 
+ Nêu VD4 đồng thời (SGK – tr.9): y = 
? Gọi hs lên bảng giải (theo 4 bước của quy tắc)
(HD: Xét dấu y’: nếu tử > 0 thì y’ > 0; nếu tử < 0 thì y’ < 0 vì mẫu luôn dương với mọi x - 1)
+ Nhận xét, kết luận và chỉnh sửa 
+ Nêu VD5 (SGK – tr.9)
+ Nêu phương pháp: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)
 * Nếu f’(x) > 0, thì hàm f tăng trên
 [a; b]. Khi đó x > a thì f(x) > f(a)
 * Nếu f’(x) < 0, thì hàm f giảm trên
 [a; b]. Khi đó x > a thì f(x) < f(a)
? Xét hàm số f(x) = x – sinx , f(x) liên tục trên ? và có đạo hàm trên ?
? Để chứng minh: x > sinx tức là f(x) > 0, vậy ta phải chứng minh f(x) thế nào trên ?
? Để chứng minh f(x) đồng biến trên , ta phải chứng minh f’(x) thế nào?
? Tính f’(x)? nhận xét về dấu của nó?
? Với x > 0 f(x) ? f(0) = ?
? Gọi hs lên trình bày?
 Gợi ý: f(x) đồng biến trên . 
 * Với x > 0 thì f(x) > f(0)
 f(x) nghịch biến trên 
 * Với x > 0 thì f(x) < f(0)
+ Nhận xét và kết luận
+ Theo dõi
+ Thực hiện: (SGK – tr.8)
+ Tiếp thu và ghi nhớ
+ Theo dõi
+ Thực hiện: (SGK – tr.9)
+ Tiếp thu và ghi nhớ
+ Theo dõi
+ Ghi chép và nhớ
+ Trả lời: f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên (vì f(x) liên tục trên R; đều làm cho 
y’ = 1 – cosx tồn tại)
+ Trả lời: Chứng minh f(x) đồng biến trên 
+ Trả lời: 
Chứng minh f’(x) > 0 
(hay f’(x) 0) ,
+ Trả lời: 
y’ = 1 – cosx 0,
+ Trả lời: Với x > 0 
f(x) > f(0) = 0 (đpcm)
+ Thực hiện: 
* Đặt f(x) = x – sinx liên tục trên 
* f’(x) =1 – cosx > 0,x > 0
Suy ra: f(x) đồng biến trên . Vậy với x > 0,
 ta có: f(x) > f(0) = 0 hay
 x – sinx > 0 x > sinx (đpcm)
+ Ghi nhận và hiểu
IV. CỦNG CỐ VÀ DẶN DÒ:
- Về nhà nắm vững, hiểu và học thuộc lòng các định nghĩa, định lí và quy tắc xét dấu các khoảng đổng biến, nghịch biến của hàm số trên tấp xác định K
- Về nhà làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 (SGK – tr.10) có hướng dẫn
- Về nhà đọc bài học thêm và xem trước bài học mới “ Bài 2: Cực trị của hàm số ”
- Về nhà xem lại kiến thức cũ về giới hạn tỉ số khi trong hai trường hợp và