Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài 9 : Đường thẳng trong không gian

Bài 9 : 	 đường thẳng trong không gian 
A. Yêu cầu :
	HS nắm được cách viết PTĐT ở 3 dạng và giải các bài toán liên quan như : góc , khoảng cách , đường vuông góc chung ...
B. Các ví dụ :
VD 1 : Viết PTCT của đường thẳng (d) : 
VD 2 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với mp (P) : 2x – 3y + 5z – 4 = 0 
VD 3 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với 2 đường thẳng : (d) , (d’) : 
VD 4 : Lập PTCT của đường thẳng đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng (d) :
VD 5 : Lập PTCT của đường thẳng đi qua điểm M(1; 1; -2) và song song với mp (P) và vuông góc với đường thẳng (d) , biết :
	(d) : , (P) : x – y – z – 1 = 0
VD 6 : Cho 2 điểm A(0; 0; -3) , B( 2; 0 ; -1) và mp (P) : 3x – 8y + 7z – 1 = 0 
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua 2 điểm A, B với mp(P) 
Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều 
VD 7 : Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) và C(2; -3; 2)
VD 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C( 1; 1; 3) . Viết PTTS của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mp đó
VD 9 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mp(P) biết : 
a) (d) : và (P) : y + 4z + 17 = 0 
b) (d) : và (P) : y + 4z + 17 = 0
c) (d) : và (P) : x + y – 2 = 0
VD 10 : Hãy tính số đo góc tạo bởi đường thẳng (d) và mp(P) biết :
 (d) : và (P) : y + z - 5 = 0
VD 11 : Viết PT đường thẳng qua A(1; 1; 1) và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’) có PT : 
	(d) : (d’) : 
VD 12 : Viết PT đường thẳng (d) song song với đường thẳng () và cắt cả 2 đường thẳng (d1), (d2)
() : , , 
VD 13 : Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng (a) và (b):
(a) : 	(b) 
HD : (d) có VTCP là tích có hướng của 2 VTCP của (a) và (b) 
VD 14 : Viết PTCT của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; -2) , song song với mp(P) và vuông góc với đường thẳng (d’) biết : 
(d’) : và (P) : x – y – z – 1 = 0 
VD 15 : Viết PT của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 0), vuông góc với (d’) và cắt (d’’) , với :
	(d’) : và cắt (d’’) : 
VD 16: Viết PT của đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2; -3) vuông góc với vectơ và cắt đường thẳng (d) : 
VD 17 : Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d) và (d’) có PT : 
a) (d) : (d’) : ; d) (d) : x = -y+1 = z – 1 , (d’) : -x +1 = y-1 = z
b) (d) : và (d’) : 
c) (d) : 	, (d’) : 
VD 18 : Cho 2 đường thẳng song song (d) vầ (d’) có PT : 
	(d) : , (d’) : 
a) Viết PTmp chứa (d) và (d’)
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’) 
VD 19 : Cho hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau và có PT : 
	(d’) : , (d’) : 
Viết PTmp chứa (d) và (d’) 
Viết PT đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) 
VD 20 : Cho hai đường thẳng (d) và (d’) có PT : 
	(d’) : , (d’) : 
Chứng tỏ rằng (d) và (d’) chéo nhau 
Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
Viết PTmp (P) chứa (d) , mp(Q) chứa (d’) sao cho (P) // (Q)
Viết PT đường thẳng song song với Oz và cắt cả 2 đường (d) và (d’)
VD 21 : Cho hai đường thẳng (d) và (d’) có PT : 
	(d’) : , (d’) : 
CMR 2 đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau 
Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
Viết PT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (d) và (d’) 
VD 22 : Cho hai đường thẳng (d) và (d’) có PT : 
	(d’) : , (d’) : 
CMR 2 đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau . Viết PT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (d) và (d’)
Viết PT mp cách đều (d) và (d’) 
VD 23 : Xác định hình chiếu của đường thẳng (d) : lên mp(P) : 
 3x – 2y – z + 15 = 0 ( Mp chứa (d) và vuông góc với (P) : 9x + 11y + 5z – 21 = 0 )
VD 24 : Cho đường thẳng (d) : 
Viết PT hình chiếu (d’) của (d) lên mp Oxy
CMR , khi m thay đổi , (d’) luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định trong mp Oxy 
HD : a) P1 : Sử dụng PP chùm 
PP 2 : Khử z từ PTTQ của (d) ta được : 2mx – ( m2 – 1)y – m2 – 1 = 0 (*)
PP1 : Gọi M(x ; y) là tập hợp các điểm trong mp(xOy) mà (d’) không đi qua với mọi m 
(*) vô nghiệm hay ( y + 1)m2 – 2xm – y + 1 = 0 vô nghiệm với mọi m hay x2 + y2 < 1
Ta đi chứng minh (d’) luôn tiếp xúc với đường tròn (C) : x2 + y2 = 1
PP2 : (*) đường thẳng này tiếp xúc với (C)
VD 25 : Viết PT hình chiếu của : theo phương : 
 lên mp : x + y + z + 3 = 0 
HD : Đường thẳng chứa và song song với có PT : 2x + y + 4z – 53 =0
VD 26 : Cho đường thẳng (d) và mp (P) có PT : 
	(d) : , (P) : 2x – y – 2z + 1 = 0
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho k/c từ mỗi điểm đó đến mp (P) bằng 1 
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I ( 2; -1; 3) qua đường thẳng (d) . Xác định tọa độ K
HD : a) A( 1 + 2t ; 2 – t) , ta có d( A/(P)) = 1 , suy ra t = -2 hoặc t = 4
b) 
VD 27 : Cho 2 điểm A( 1; 2; 3) và B( 4; 4; 5) 
Viết PT đường thẳng AB . Tìm giao điểm P của nó với mp xOy . CMR với mọi điểm Q trên mp xOy , biểu thức | QA – QB | có giá trị lớn nhất khi Q trùng với P
Tìm điểm M trên mp xOy sao cho tổng các đọ dài MA + MB nhỏ nhất 
HD : a) Vì A, B cùng phía đối với mp xOy nên trong tam giác ABQ có | QA – QB | AB . Dấu “=” xảy ra khi Q trùng P
b) M ( 17/8; 22/8; 0)
VD 28 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A( 1; 1; 0) và B( 3; -1; 4) và đường thẳng (d) có PT : . Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA + MB nhỏ nhất .
HD : Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B trên (d) , ta có : = 0 A’(0;0; 0) , B’(2; -2;4)
Điểm N chia A’B ‘ theo tỉ số –AA’/BB’ = -1 hay N(1; -1; 2)
Ta chứng minh M trùng N. Gọi A’’ là điểm nằm trên mp xác định bởi B, (d) và A’’ với B khác phía đối với (d) và thoả mãn : AA’ = A’A’’ và A’A’’ vuông góc với (d) : thẳng hàng 
Vậy : MA + MB = MA’’ + MB A’’B = NA + NB . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng N