Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài tập hình học không gian

Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AC = a, cạnh bên và tạo với đáy một góc bằng , biết mặt phẳng và tam giác cân tại . Tính thể tích của khối chóp theo a.
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, góc ACB = 30, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Bài 6: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và với là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, và khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng (ở đây là trung điểm ). Hãy tính thể tích khối chóp theo 
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh là A . Góc giữa AA’ và BC’ bằng 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích tứ diện MA’BC’.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Bài 10: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Bài 11: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi có cạnh bằng và Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng và bằng Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Bài 12: Cho khối chóp có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b.
Bài 13: Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CDvà SB.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; tam giác SBD đều cạnh , tam giác SAC vuông tại S có ; góc giữa mp(SBD) và mặt đáy là . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB.
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm cạnh AD.Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 16: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc . Mặt phẳng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và .
Bài 17: Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, , SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC) theo a.
Bài 18: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có và đường thẳng tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng theo a.
Bài 19: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành ;. Tính thể tích của khối chóp .
Bài 20: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’, AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và(ABC) bằng . Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’ A’, G, M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành . A’M’ B’C’, AGB’C’ B’C’(AA’M’M)góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ và MM’ bằng .
Đặt x = AB. Ta cóABC đều cạnh x có AM là đường cao. .
TrongAA’G vuông có AG = AA’sin600 = ; 
C
B1
A1
C1
A
 B
 I
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AC = a, cạnh bên và tạo với đáy một góc bằng , biết mặt phẳng và tam giác cân tại . Tính thể tích của khối chóp theo a.
Gọi I là trung điểm của AB, vì tam giác A1AB cân tại A1 nên A1IAB nên A1I(ABC) (AA1;(ABC)) = 
tam giác vuông IA1A có A1I = A1A.sin = 2a.= a 
và ,
khi đó 
ta có:
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, góc ACB = 30, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C.
Từ là hình chiếu của lên 
 Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có: 
Đặt . Ta có 
. Nên vuông tại A 
Vì nên là chiều cao của khối lăng trụ và khối chóp 
Thể tích của khối đa diện BCC’B’A’ được tính bởi:
 (đvtt).
Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK
Kẻ GH ^ A’I tại H (1)
Do . Từ (1) và (2) 
Þ GH ^ (A’BC) 
Vì , nên và 
 =
Mặt khác ta thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Do đó:
. Vậy 
a3
a2
a
α
H
D
E
C
B
A
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng .
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE
Ta có △ACD cân tại A nên CD ⊥ AE
Tương tự △BCD cân tại B nên CD ⊥ BE
Suy ra CD ⊥(ABE) ⇒ CD ⊥ BH
Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD)
Do đó BH = a3 và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là α
Thể tích của khối tứ diện ABCD là V=13BH.SACD=a31527
⇒SACD=a253⇒AE.DE=a253⇒AE2DE2=a459
Mà AE2+ED2=2a2
Khi đó :AE2,DE2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 2a2x + a459 = 0
 hoặc 
 trường hợp DE2=5a23 loại vì DE<a
Xét △BED vuông tại E nên BE = BD2-DE2=a2-a23=a23
 hoặc 
trường hợp DE2=5a23 loại vì DE<a
Xét △BED vuông tại E nên BE = BD2-DE2=a2-a23=a23
Xét △BHE vuông tại H nên sinα = BHBE=a3a23=12⇒α=450
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là α=450
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo gt 
Gọi 
SA tạo với đáy góc 450 suy ra 
Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD
Do đó 
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
. 
Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt nên có phương trình là 
Bài 6: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Gọi E là trung điểm của AB, ta có: , suy ra . Dựng , vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
Thể tích hình nón đã cho: 
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho: 
Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và với là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, và khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng (ở đây là trung điểm ). Hãy tính thể tích khối chóp theo 
Từ giả thiết suy ra và 
Theo định lý Pythagoras ta có . 
Do đó tam giác vuông cân tại và 
Gọi thế thì tam giác cũng vuông cân và do đó suy ra 
Suy ra 
(đ.v.d.t.). Vậy (đ.v.t.t.)
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh là A . Góc giữa AA’ và BC’ bằng 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích tứ diện MA’BC’.
Ta có BB/∥AA/Þ góc giữa AA/ và BC/ bằng góc giữa BC/ và BB/ Þ Þ 
Gọi N là trung điểm của BC/ , H là hình chiếu của N trên (ABC) Þ H là trung điểm của BC Þ AMNH là h.c.n Þ MN∥ =AH
Do AH ^ BC , AH ^ CC/ Þ AH ^ (BCC/) Þ AH ^ BC/ . 
Từ giả thiết suy ra AH vuông góc với AA/ 
Theo trên , MN∥ AH Þ MN ^ AA/ ; MN^ BC/ 
Þ MN là khoảng cách giữa AA/ và BC/ Þ MN = a Þ AH = a
Tính VMA/BC/: do BA^ (ACC/A/)Þ VMA/BC/ = SMA/C/. AB
Trong D vuông AHB ta có AB= a, BH = a Þ BC= 2a
Trong D vuông BCC/ : CC/ = BC.tan600 = 2a
Vậy VMA/BC/ = . AM.AC/.BC = 
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
S
H
C
A
B
I
K
.
Ta có H thuộc tia đối của tia IA và 
 Suy ra 
Ta có 
Vì 
Ta có 
Vì 
Thể tích khối chóp S.ABCD là: 
* 
 Bài 10: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có:. Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm . Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có: 
Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: 
Trong đó: 
Từ đó, ta có: 
Bài 11: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi có cạnh bằng và Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng và bằng Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Kẻ hình chiếu 
S
D
A
B
K
C
O
I
	(1) 
	(2)
Từ (1) và (2) 
Gọi Vì nên tại O. Kẻ là đường vuông góc chung của BD là SA.. Sử dụng hai tam giác đồng dạng AOI và ASC hoặc đường cao của tam giác SAC suy ra Suy ra 
Bài 12: Cho khối chóp có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b.
Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường hợp này ta chứng minh được H nằm trong đáy.
Suy ra hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và MN = a
Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì là bán kính đường tròn và 
Đặt thì .
Tam giác HBC vuông ở H nên , suy ra .
Vậy (đvtt)
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB.
Gọi H = AC Ç BD => SH ^ (ABCD) & BH = BD
Kẻ HE ^ AB => AB ^ (SHE) => g((SAB);(ABCD)) = .
Mà HE = AD = => SH = => VSABCD = .SH.SABCD = 
Gọi O là trung điểm AD=>ABCO là hv cạnh a =>DACD có trung tuyến CO = AD
CD ^ AC => CD ^ (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO ^ (SAC).
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH = IC = => IS = 
kẻ CK ^ SI mà CK ^ BO => CK ^ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam giác SIC có : SSIC= SH.IC = SI.CK => CK = 
Vậy d(CD;SB) = 
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; tam giác SBD đều cạnh , tam giác SAC vuông tại S có ; góc giữa mp(SBD) và mặt đáy là . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB.
I
S
H
O
D
C
B
A
* Tính thể tích
- Trong mp(SAC) dựng tại H.
- Do đều nên , lại do ABCD là hình thoi nên 
- Vì đều có cạnh và 
- Lại do là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD)
- Nhận thấy: có là tam giác đều
* Tính khoảng cách giữa SB và AC.
- Gọi I là trung điểm SD 
.
- Ta thấy: I là trung điểm SD nên ;
Lại thấy: ;
- Lại có: 
Tam giác có 
- Mà 
Vậy và .
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm cạnh AD.Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Ta có 
Gọi H là hình chiếu của I lên BC.Theo định lí 3 đường vuông góc SH BC.
Mà BC = nên = 60o là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Kẻ CE AB, 
Trong tam giác SIH vuông tại I, ta có : SI = IH.tan60o = 
Vậy (đvtt).
Bài 16: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc . Mặt phẳng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và .
Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ^ CM. Mặt khác AB ^ . Gọi V là thể tích lăng trụ thì 
Ta có 
Mặt phẳng chứa và song song AB nên
, với N là trung điểm của và H là hình chiếu của M trên CN.
Do 
Tam giác vuông tại M nên
Bài 17: Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, , SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC) theo a.
tam giác SAC cân tại S và tam giác ABC đều có H là trung điểm AB nên SHAB,CHAB=>AB(SHC) mà AB=(SAB)(ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SH và CH do CH>SC nên nhọn =>
Thể tích S.ABC là 
Tam giác đều ABC cạnh a có đường cao , 
Diện tích tam giác SHC là H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của tam giác ABC=>HK//BC=>HK//(SBC) nên d(HK,(SBC))=d(H,(SBC)) Theo định lí côsin trong tam giác SHC có nên tam giác SBC cân tại S. Gọi I là trung điểm BC=> 
Bài 18: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có và đường thẳng tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng theo a.
Trong (ABC), kẻ , suy ra nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). 
Do đó:. 
Suy ra: .
Xét tam giác vuông AA’C ta được: . 
Suy ra: .
Do . 
Suy ra: .
Bài 19: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành ;. Tính thể tích của khối chóp .
Gọi là hình chiếu của trên
SA = SB = SC Þ HA = HB = HC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Gọi là nửa chu vi tam giác 
.
Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Mặt khác 
Thể tích khối chóp là 
Bài 20: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’, AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và(ABC) bằng . Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’.
khi đó và suy ra , NI = MO
 suy ra MOIN là hình bình hành