Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài tập về số phức

BÀI TẬP SỐ PHỨC
Định nghĩa số phức
	Số phức z là một biểu thức có dạng z = a + bi, trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn i² = –1.
	a là phần thực; b là phần ảo; i là đơn vị ảo.
	Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
Đặt biệt: Số phức z = a có phần ảo bằng 0 được coi là số thực. Số phức z = bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo. Số phức z = 0 vừa là số thực, vừa là số ảo.
Số phức bằng nhau
	Hai số phức a = a + bi và z’ = a’ + b’i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
Biểu diễn hình học của số phức
	Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng Oxy.
Mô đun số phức
	Môđun số phức z = a + bi là số thực không âm kí hiệu .
Số phức liên hợp
	Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức .
Cộng, trừ, nhân, chia số phức
	Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
	Cộng hai số phức: (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i.
	Trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i.
	Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i.
	Chia hai số phức: 
Căn bậc hai của số thực âm
	Căn bậc hai của số thực a < 0 là .
Phương trình bậc hai với hệ số thực
	Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với hệ số thực a, b, c và a ≠ 0.
	Khi Δ < 0 phương trình có hai nghiệm phức: .
Dạng lượng giác của số phức
z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là dạng lượng giác của số phức z = a + bi, z ≠ 0
Trong đó là mô đun của z; φ là một acgumen của z thỏa 
Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos φ + i sin φ), thì
* 	* 
Công thức Moivre: n là số nguyên dương thì 
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là
 và 
Bài tập
Bài 1: Tìm mô đun của số phức z = 1 + 4i + (1 – i)³.
Bài 2: Cho hai số phức ; . Tính và 
Bài 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z² + 2x + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = 
Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và 
Bài 5: Cho số phức z = 4 – 3i. Tìm 
Bài 6: Giải phương trình: 
Bài 7: Tìm căn bậc hai của số phức 
Bài 8: Tìm các căn bậc hai của số phức: z = 21 – 20i
Bài 9: Giải phương trình: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = 0
Bài 10: Giải phương trình trên tập C: 
Bài 11: Giải phương trình trên tập C: 
Bài 12: Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 
Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 
Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 
Bài 16: Viết số phức sau dưới dạng đại số: 
Bài 17: Viết dạng lượng giác của số phức 
Bài 18: Viết dưới dạng lượng giác rồi tính: (1 + i)2014.
Bài 19: Tìm dạng lượng giác của số phức sau: 
Bài 20: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 
Bài 21: Cho số phức z = a + bi . Các số sau đây là số thực hay số ảo
a. 	b. 
Bài 22: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 21014i2013 + 2013i2014.
Bài 23: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: 
Bài 24: Tính z + và z với
a) z = 2 + 3i	b) z = –5 + 3i.
Bài 25: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
a) (1 + i)² – (1 – i)²	b) (2 + i)3 – (3 – i)3	c) 
Bài 26: Tính
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 27: Tính
a) (với n là số nguyên dương)	b) 
Bài 28: Giả sử , tính
a) A= (a + b)(a + bz)(a + bz²)	b) B = (a + bz + cz²)³ + (a + bz² + cz)³
Bài 29: Giải các hệ phương trình sau với x, y, z là số phức
a) 	b) 
Bài 30: Tìm các phức mà số liên hợp với nó bằng
a) Bình phương của chính nó.	b) Lập phương của chính nó.
Bài 31: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của các số sau
a) z2 – 2z + 4i	b) 
Bài 32: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Bài 33: Giả sử với k là số nguyên dương. Tính zk + zk+1.
Bài 34: Thực hiện các phép tính
a) 	b) (2 – i)6.
Bài 35: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì tổng z + z’ là số thực? là số ảo?
Bài 36: Với điều kiện nào giữa a, b thì z³ là số thực? số ảo?
Bài 37: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
a) z = a + ai, a là số thực	b) là số ảo
Bài 38: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
a) z2 là số thực âm	b) 
Bài 39: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn
a) 	b) 
Bài 40: Chứng minh rằng
a) Bình phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
b) Lập phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
c) Lũy thừa bậc n của 2 số phức liên hợp cũng là liên hợp.
Bài 41: Cho z = a + bi. Chứng minh . Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
Bài 42: Biết các số phức biểu diễn bởi ba đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại.
Bài 43: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi (x, y là số thực) thỏa mãn điều kiện 
Bài 44: A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số: 1 + 2i, 1 + , 1 + – i, 1 – 2i. Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?
Bài 45: Tìm các căn bậc hai của
a) 3 + 4i	b) 
Bài 46: Tìm các căn bậc hai của
a) –8 + 6i	b) –8 – 6i
Bài 47: Gọi z là căn bậc hai của 4 + i, z’ là căn bậc hai của 4 – i. Tính z + z’.
Bài 48: Tìm số phức z sao cho z³ = –i.
Bài 49: Tìm số phức z sao cho z4 = –1.
Bài 50: Cho z = a + bi có các căn bậc hai là . Tìm các căn bậc hai của –a – bi và a – bi
Bài 51: Giải các phương trình bậc hai sau đây trong tập hợp các số phức C:
a) z2 – z + 2 = 0	b) 2z2 – 5z + 4 = 0	(Tốt nghiệp THPT 2006)
Bài 52: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) z2 + z + 1 = 0	b) 
Bài 53: Giải phương trình x2 + 3ix + 4 = 0
Bài 54: Giải các phương trình trong C:
a) 	b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0
Bài 55: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là z1 = 6 – 3i và z2 = i.
Bài 56: Giải các phương trình trong tập C:
a) x4 – 3x2 + 4 = 0	b) x4 – 30x2 + 289 = 0
Bài 57: Giải phương trình trong C: x3 + 8 = 0
Bài 58: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – 2 = 0
a) Chứng tỏ rằng 1 + i là nghiệm của phương trình.
b) Tìm các nghiệm còn lại.
Bài 59: Giải phương trình sau trên C: z4 + 4 = 0 và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức.
Bài 60: Viết dạng đại số của số phức
a) 	b) 
Bài 61: Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) –1 + i	b) 
Bài 63: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = 1 + 7i . Viết số phức z dưới dạng lượng giác.
Bài 64: Tìm một acgumen của số phức
a) z = 	b) z = với (0 < φ < π/2)
Bài 65: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a) 	b) (φ ≠ k2π, k là số nguyên)
Bài 66: Khi nào thì môđun của tổng hai số phức bằng hiệu các môđun của hai số.
Bài 67: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai acgumen của 2 số phức z1, z2 trong từng trường hợp sau:
a) z1z2 = k, k < 0	b) z1z2 = –i	c) z1 = –3z2.
Bài 68: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 
Bài 69: Viết các số phức z1 và z2 dưới dạng lượng giác rồi tính z1z2 và biết
a) ; z2 = 1 + i.	b) ; z2 = 1 – i.
Bài 70: Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức có agumen bằng .
Bài 71: Tính
a) 	b) 	c) (1 + i)16.
Bài 72: Tính
a) 	b) 	c) biết 
Bài 73: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức
a) 	b) 	c) 
Bài 74: Tìm nghiệm phức của phương trình: z4 – 1 = i
Bài 75: Với n nguyên dương nào thì số phức: là số thực, số ảo.
Bài 76: Chứng minh rằng
a) ;	b) 
Bài 77: Phân tích ra thừa số phức các biểu thức sau
a) a² + 1	b) 4a² + 9b²
Bài 78: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 79: Cho số phức z = a + bi. Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài bằng 4. Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn của z:
a) Nằm trong hình vuông	b) Nằm trên đường chéo hình vuông.
Bài 80: Xác định tập hợp các điểm M trên mphẳng phức biểu diễn các số phức mà trong đó .
Bài 81: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) 	b) 
Bài 82: Giải các phương trình
a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = 0	b) 3ix2 – 2x – 4+ i = 0
Bài 83: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Bài 84: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực p, q để phương trình: z4 + pz2 + q = 0
a) Chỉ có nghiệm thực.
b) Không có nghiệm thực.
c) Có cả nghiệm thực và nghiệm không thực.
Bài 85: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = 0 có một nghiệm bằng –1. Tính các nghiệm z1 và z2 còn lại trong C. Vẽ điểm A, M, N biểu diễn cho –1, z1, z2. Tính chất của tam giác AMN là gì.
Bài 86: Chứng minh mọi số phức z ≠ –1 mà mô đun bằng 1, đều có thể đặt dưới dạng: z = , trong đó t là một số thực nào đó.
Bài 87: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết rằng một acgumen của bằng 
Bài 88: Xét các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số 2 + i, 3 + i để chứng minh rằng nếu tan a = 1/2, tan b = 1/3 với 0 < a, b < π/2 thì a + b = 
Bài 89: Tính
a) 	b) 
Bài 90: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z² – 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức .
Bài 91: Tính mô đun số phức , biết: 
Bài 92: Cho số phức z = 1 + i. Tính mô đun số phức z10.
Bài 93: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng 
Bài 94: Chứng minh rằng .
Bài 95: Xác định mô đun số phức z, biết: .
Bài 96: Xác định mô đun của số phức z, biết 
Bài 97: Cho hai số phức z1 = 3 – 4i và z2 = 8 – 6i. Tính giá trị 
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1. Giải phương trình 2x² – 5x + 4 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2006)
Bài 2. Giải phương trình x² – 4x + 7 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2007 – Lần I)
Bài 3. Giải phương trình x² – 6x + 25 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2007 – Lần II)
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức sau: (TN THPT 2008 – Lần I)
Bài 5. Giải phương trình x² – 2x + 2 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2008 – Lần II)
Bài 6. Giải phương trình 8z² – 4z + 1 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2009 – Cơ Bản)
Bài 7. Giải phương trình 2z² – iz + 1 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2009 – Nâng Cao)
Bài 8. Giải phương trình 2z² + 6z + 5 = 0 trên tập số phức. (TN 2010 – GDTX)
Bài 9. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 2 – 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số z1 – 2z2. (TN THPT 2010 – Cơ Bản)
Bài 10. Cho hai số phức z1 = 2 + 5i, z2 = 3 – 4i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1z2. (TN THPT 2010 – Nâng Cao)
Bài 11.
a. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z² + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức sau: (DH A 2009)
b. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z² – 4z + 11 = 0. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn và (DH B 2009 – CB)
Bài 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện . (DH D 2009)
Bài 14. Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z. (CĐ 2009 – CB)
Bài 15. Giải phương trình trên tập số phức. (CĐ 2009 – NC)
Bài 16. Tìm phần ảo của số phức z, biết: (DH A 2010 – CB)
Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của . (DH A 2010 – NC)
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện . (DH B 2010 – CB)
Bài 19. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện và z2 là số thuần ảo. (DH D 2010)
Bài 20. Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z. (CĐ 2010 – CB)
Bài 21. Giải phương trình z² – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập số phức. (CĐ 2010 – NC)
Bài 22. Tìm số phức liên hợp và tính mô dun của số phức z, biết z = 2 + 4i + 2i(1 – 3i) (TN GDTX 2011)
Bài 23. Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức. (TN THPT 2011 – CB)
Bài 24. Giải phương trình (z – i)² + 4 = 0 trên tập số phức (TN THPT 2011 – NC)
Bài 25. Tìm phần thực phần ảo và mô dun số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i. (TN GDTX 2012)
Bài 26. Tìm các số phức 2z + và , biết z = 3 – 4i. (TN THPT 2012 – CB)
Bài 27. Tìm các căn bậc hai của số phức z = (TN THPT 2012 – NC)
Bài 28. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)²z + = 4i – 20. Tìm modun số phức z. (CĐ 2011 – CB)
Bài 29. Cho số phức z thỏa mãn z² – 2(1 + i)z + 2i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của (CĐ 2011 – NC)
Bài 30. Tìm số phức z biết (DH B 2011 – CB)
Bài 31. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (DH B 2011 – NC)
Bài 32. Tìm số phức z biết (DH D 2011 – CB)
Bài 33. Tìm tất cả số phức z biết z² = (DH A 2011 – CB)
Bài 34. Tính modun số phức z biết (1 + i)(2z – 1) + ( + 1)(1 – i) = 2 – 2i. (DH A 2011 – NC)
Bài 35. Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – = (3 – i)z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy. (CĐ 2012 – CB)
Bài 36. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z² – 2z + 1 + 2i = 0. Tính . (CĐ 2012 – NC)
Bài 37. Cho số phức z thỏa mãn = 2 – i. Tính modun của số phức w = 1 + z + z². (DH AA1 2012 – NC)
Bài 38. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z² – 2iz – 4 = 0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2. (DH B 2012 – NC)
Bài 39. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = 7 + 8i. Tìm modun số phức w = z + 1 + i. (DH D 2012 – CB)
Bài 40. Giải phương trình z² + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức. (DH D 2012 – NC)
Bài 41. Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z = 5i(1 – 2i) + 1 – i. (TN GDTX 2013)
Bài 42. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z. (TN THPT 2013 – CB)
Bài 43. Giải phương trình z² – (2 + 3i)z + 5 + 3i = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2013 – NC)
Bài 44. Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = 4 + i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z). (CĐ 2013 – CB)
Bài 45. Giải phương trình z² + (2 – 3i)z – 1 – 3i = 0 trên tập C của số phức. (CĐ 2013 – NC)
Bài 46. Cho số phức z = 1 + i Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + i)z5. (DH AA1 2013 – NC)
Bài 47. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. Tính modun của số phức w = . (DH D 2013 – CB)