Bài giảng môn toán lớp 12 - Các bất đẳng thức có tính thuần nhất

 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT
Các bài toán BĐT và cực trị của biểu thức chứa nhiều biến số là những vấn đề thường được đề cập trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Không thể có một phương pháp chung để có thể giải cho mọi loại bài toán, trong một chừng mực nào đó vẫn có thể nêu ra một số kỹ thuật giải chung cho các bài toán,đó là một việc mà các nhà sư phạm nên làm giúp cho học sinh có một nền kiến thức cơ bản khi đứng trước một bài toán thuộc loại này.
Vì những lý do trên việc đề cập đến một số kỹ thuật,một số cách giải có tính thông dụng nhất về lớp các bài toán thuộc dạng này là một việc cần thiết giúp cho người học nâng cao khả năng tự học tự khai thác phát hiện và giải toán.
 Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, đúc kết thành kinh nghiệm tìm cực trị và chứng minh một số bất đẳng thức nhiều biến số. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu tôi xin đề cập đến phương pháp chứng minh các hàm có tính thuần nhất ba biền.
Bài toán: Tìm cực trị của biểu thức Q = biết (1) với Hàm số thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm thuần nhất ba biến x,y,z.
Sau đây là một số ví dụ.
Bài số 1. Cho thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng 
Lời giải: 
Nếu c = 0 từ gt BĐT luôn đúng.
Nếu . Đặt . Bài toán đã cho trở thành : Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện. Chứng minh rằng : 
 Ta có , . KL. Ta có:
vế trái (1) 
Dấu bằng xây ra a = b = c.
Bài số 2. (KA 2009) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải: 
+ Cách 1: Đặt KL 
(gt) Đây là bài toán 1
+ Cách 2: Đặt . Bài toán đã cho trở thành : Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện. 
Chứng minh rằng : . Ta thấy biểu thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh đều đối xứng đối với a và b, Đặt 
(2) luôn đúng.
Bài số 3. Cho các số thực dương a, b, c . 
Chứng minh rằng : .
Lời giải: Đặt .
BĐT . Đặt với 
, (coi là hàm bậc nhất ẩn P)
 Suy ra BĐT luôn đúng.
Bài số 4. (KA 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải: 
Vì a, b, c là các số thực dương nên ta có .
Lại có .
Do đó đặt , bài toán đã cho trở thành “Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .”
Ta có .
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có .
Vậy ta có 
.
 Đặt . 
Xét hàm số 
.
Với .
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy khi .
Đôi lời bình luận. Kĩ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật giảm biến”. Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai vế trong biểu thức điều kiện là bằng nhau và bậc của tử và mẫu trong các phân thức của biểu thức P cũng bằng nhau. Khi đã giảm được biến c, bài toán trở thành bài toán của hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P đều là những biểu thức đối xứng đối với x và y.
Đến đây, ta thấy biểu thức P thu được khá cồng kềnh và có bậc cao. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Khi đó . Vì vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương , ta thu được một biểu thức cần đánh giá gọn hơn và quan trọng là dấu bằng xảy ra khi . Kĩ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật chọn điểm rơi”.
Sau đây là các bài tập tương tự
 1. Cho a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
 .
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng . 
 3. Cho a, b, c dương , . Tìm giá trị nhỏ nhất: 
 .
 4. Cho a, b, c dương , . Tìm giá trị nhỏ nhất: 
 .
 5. (KA11) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ³ y, x ³ z. Tìm giá trị
 nhỏ nhất của biểu thức P = .