Bài giảng môn toán lớp 12 - Chủ đề I: Khảo sát hàm số

PHẦN MỘT: 
GIẢI TÍCH
Chủ đề I: Khaûo saùt haøm số.
 Dùng đồ thị y = f(x), biện luận số nghiệm của ph trình f(x, m) = 0 (1) theo tham số m.
● Đưa phương trình caàn bieän luaän về dạng f(x) = f(m) . Trong ñoù: 
	+ y = f(x) laø ñoà thò ñaõ veõ roài. 
	+ y = f(m) laø ñường thẳng cuøng phương với trục Ox.
	● Nhìn vaøo số giao ñiểm của ñồ thị y = f(x) vaø ñường thẳng y = f(m), ta keát luaän số nghiệm của phương trình tưông ứng với giaù trị m tìm ñược.
Baøi 1: Cho hàm số y = x4 – 4 x2 + 5 có đồ thị (C).
 a) Khaûo saùt và vẽ đồ thị haøm soá trên.
 b) Duøng ñoà thò (C) cuûa haøm soá vöøa khaûo saùt bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình 
 x4 – 4 x2 + 5 = m.
Baøi 2: Cho haøm soá y= x3 - 3x – 2 coù ñoà thò (C)
 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.
 b) Duøng ñoà thò (C), ñònh m ñeå phöông trình x3 - 3x = m coù 3 nghieäm phaân bieät.
Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C).
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè.
BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x3 - 3x2 + m + 1 = 0
Bài 4: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
 a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
 b) Dïng ®å thÞ (C), h·y biÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh 
Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dùng đồ thị (C ), hãy xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
Bài 6 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C).
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
 b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo tham số m
 x3 + 3x2 + 1 = .
Bài 7: Cho hàm số: y = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Bài 8: Cho hàm số y = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình 
Bài 9:	Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
 b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm 
 Chuû đề II
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f(x): 
Daïng1: Tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) taïi ñieåm M0(x0; y0):
* Phöông phaùp: 
	+ Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm M0(x0; y0).
+ Tính heä soá goùc tieáp tuyeán k = f/(x0). 
+ Thay toaï ñoä ñieåm (x0; y0) vaø heä soá goùc f/(x0) vaøo phöông trình tieáp tuyeán 
Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) bieát tieáp tuyeán song song (hoaëc vuoâng goùc) vôùi ñöôøng thaúng cho tröôùc y = k1x + b. 
* Phöông phaùp: 
● Töø phöông trình ñöôøng thaúng y = k1x + b cho tröôùc ta tìm ñöôïc heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán, giaûi phöông trình f/(x0) = k (x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm). 
● Vôùi x0 = ?, tính y0 =?, töø ñoù vieát ñöôïc phöông trình tieáp tuyeán .
* Chuù yù raèng: Hai ñöôøng thaúng song thì hai heä soá goùc baèng nhau, coøn hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc thì tích hai heä soá goùc baèng –1. 
Baøi 1: Cho haøm soá y= x3 - 3x2 coù ñoà thò (C). Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C)
a/ Taïi caùc giao ñieåm vôùi truïc hoaønh. b/ Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä = 4.
c/ Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= -3. d/ Bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y= 9x + 2012.
e/ Bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y= x + 2012. 
 f/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(1;-2).
Baøi 2: Cho . Viết pttt với đồ thị (c) 
a/ Tại điểm có hoành độ bằng – 1 b/ Tại điểm có tung độ bằng 2 c/ biết hệ số góc bằng 4
Bài 3: Cho . Viết pttt với đồ thị (c)
a/ Tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y – 3x + 4 = 0.
Bài 4: Cho Viết pttt với đồ thị (c) tại các giao điểm 
Bài 5: Cho . Xác định các giá trị của m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 10. Viết pttt đó.
Chuû đề III: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Phöông phaùp: 
	1) Tìm GTLN, GTNN treân ñoaïn [a; b]:
	● Tính f/(x). Giaûi phöông trình f/(x) = 0, giaû söû coù nghieäm x1 , x2 , x3,, xn thuoäc [a, b].
	● Tính caùc giaù trò: f(a), f(b), f(x1), f( x2), f(x3),  f(xn) (baèng maùy tính).
● So saùnh caùc soá: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),  f(xn). Soá lôùn nhaát laø max f(x), soá nhoû nhaát laø min f(x).
	2) Tìm GTLN, GTNN treân (a; b); [a; b); (a; b]; (a; +¥); (–¥; b); [a; +¥); (–¥; b]:
	● Tính y/, laäp baûng bieán thieân. Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän.
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [0; 4]
Giải.
+ Ta có , cho 
+ 
+ Vậy 
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải.
+ TXĐ: D = R
+ Ta có 
+ Giới hạn 
+ BBT 
x
 - 2 +
y/
 + 0 -- 0 +
y
 7 CT 
 CÑ 
Vậy 
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
Bài 3: Cho hàm số , có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình 
Tìm GTNN và GTLN của hàm số đã cho trên đoạn 
Bài 4: Cho hàm số .
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 
Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm GTNN và GTLN của hàm số đã cho trên đoạn 
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Bài 9: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
Bài tập tương tự: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y = x3-8x2+16x-9 trên đoạn [1;3]; 2) y = x2-4ln(1-x) trên đoạn [-3;0]; 3) y = 2ln3x-3ln2x-2 trên đoạn [1;e2]; 4) y = ex(x2-x-1) trên đoạn [0;2];	5) y = 2x3-3x2-12x+10 trên đoạn [-2;0];
6) y = x4-2x3+x2-1 trên đoạn [-1;1]; 7) trên đoạn [2 ; 5] 18) y= trên đoạn [-2;4];	 9) y = trên txđ; 10) y = 3sinx-2sin3x+1 trên đoạn [0;p]; 
11) y = cos2x-sinx+3 trên đoạn 	12) y = ex+e2-x trên đoạn [-1;2];	13) y = (x-1)e-x trên đoạn [0;2]; 14) y = (x2-x-1).e-x trên đoạn [-1;1] 15) y =2x.ex-2x-x2 trên đoạn [0;1];	 
16) y = 2(x-2)ex+2x-x2 trên đoạn [0;2]; 17) y = x2-ln(1-2x) trên đoạn [-2;0];	 18) y = x2-2x-ln(x2+1) trên đoạn [0;2];	19) y = xlnx-2x+2 trên đoạn [1;e2]; 20) y = 2x2lnx-3x2 trên đoạn [1;2e];	21) y = trên đoạn [1;e3];	 22) trên đoạn 
23) y = x2+2-2lnx trên đoạn ;	24) y = cos2x+4sinx trên đoạn [0;]
25) Xác định m để đạt gtnn trên đoạn [0;1] bằng -2;
Chuû ñeà IV: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
 a) Phương phaùp tìm m để haøm soá đồng biến treân TXĐ: 
● Tìm TXĐ: D = 
● Tính .
● Ñể haøm soá ñồng biến treân thì: (I) Giải hệ baát phöông trình (I) ta tìm được m.
	b) Phương phaùp tìm m để haøm soá nghòch bieán treân TXĐ:
● Tìm TXĐ: D = 
● Tính .
● Ñể haøm soá nghòch bieán treân thì: (I) Giải hệ (I) ta tìm được m.
c) Phương phaùp tìm m ñeå haøm soá đồng biến treân TXÑ (ñoàng bieán treân töøng khoaûng)
● Tìm TXĐ: D = 
● Tính (Tử số coù chứa m).
● Ñể haøm soá đồng biến thì: 
Giải baát phương trình naøy tìm được m.
d) Phương phaùp tìm m ñeå haøm soá nghòch bieán treân TXÑ (nghòch bieán treân töøng khoaûng)
● Tìm TXĐ: D = 
● Tính (Tử số coù chứa m).
● Ñể haøm nghòch bieán thì: 
Giải baát phương trình naøy tìm được m.
* Chuù yù: trong trường hợp naøy ta khoâng lấy dấu “=”
Ví dụ 1: Định m đề hàm số luôn luôn đồng biến trên TXĐ
Giải. TXĐ: D = R
Hàm số luôn luôn đồng biến R 
Ví dụ 2: Định m đề hàm số luôn luôn nghịch biến trên TXĐ
Giải.TXĐ: D = R
Hàm số luôn luôn nghịch biến R 
Bài tập tương tự
Bài 1. Định m đề hàm số luôn luôn đồng biến trên TXĐ
Bài 2. Định m đề hàm số luôn luôn nghịch biến trên TXĐ
Bài 3. Định m đề hàm số luôn luôn đồng biến trên 
Bài 4. Định m đề hàm số luôn luôn nghịch biến trên TXĐ
Bài5: Cho hàm số y = x3+mx2+4x+3. Xác định m để hàm số: 
a) Đồng biến trên R;	b) Có cực đại và cực tiểu;
Bài 6: Cho hàm số y = x3-3mx2+(m2-1)x+2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x0=2;
Bài 7: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định:
a) y = x3-mx2+(m+6)x-2;	b) y = x3-2(m-1)x2+(2m2-m+2)x+m-3;
Bài 8: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định:
a) y = -x3+(m+1)x2-(2m+1)x-3;	b) ;
Bài 9: Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a) y = x3+2(m-1)x2+(m2-3m+2)x+2;	b) 	c) y = (m-1)x4-2mx2-3;
Bài 10: Tìm m để hàm số:
a) y = 2x3+(m+1)x2+(m2-4)x-m+1 đạt cực đại tại x0=0;	 b) đạt cực tiểu tại x0=2; c) y = (2m2-1)x3-mx2+(2m+3)x-2 đạt cực tiểu tại x0=-1;	d) đạt cực tiểu tại x0=1; e) y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x0 = 1;	
Chuû ñeà V: Cực trị
a) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
	● Tính ñaïo haøm trong ñoù coù chöùa tham soá m.
	● Ñeå coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu thì phöông trình: phaûi coù hai nghieäm phaân bieät
 (I) giảii heä ph trình naøy tìm ñược m
b) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu (coù 3 cöïc trò):
● Tính ñaïo haøm (coù chöùa m).
● Ñeå coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu thì phöông trình: phaûi coù ba nghieäm phaân bieät 
Û coù ba nghieäm phaân bieät
Û phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät x khaùc 0 Û. Giải baát phương trình naøy tìm được m
3. Phöông phaùp tìm m ñeå haøm soá khoâng coù cöïc trò .
	● Tính (coù chöùa tham soá m)
	● Ñeå haøm soá khoâng coù cöïc trò thì phöông trình VN hoaëc coù nghieäm keùp, töø ñoù tìm m.
4. Phöông phaùp tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi (hoaëc cöïc tieåu) taïi ñieåm x = x0 cho tröôùc:
	● Böôùc 1: tính y/ (Coù chöùa m)
	● Böôùc 2: Haøm soá ñaït cöïc trị taïi x0 thì . Giaûi phương trình naøy seõ tìm ñöôïc m.
	* Chuù yù raèng: giaù trò m naøy laøm cho haøm soá ñaït cöïc ñaïi hoaëc cöïc tieåu taïi ñieåm x0. 
	● Böôùc 3: Vôùi m vöøa tìm ñöôïc ôû böôùc 2, ta thay m naøy vaøo, laäp baûng bieán thieân xeùt daáu 
Töø baûng bieán ta tìm ñöôïc giaù trò m phuø hôïp vôùi ñeà baøi.
5. Phöông phaùp chöùng minh haøm soá luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vôùi moïi m
	● Tính (coù chöùa tham soá m)
● Chöùng minh phöông trình: luoân coù 2 nghieäm phaân bieät vôùi moïi m.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số sau
Ví dụ 2. Định m để hàm số 
a/ Có cực trị b/ Không có cực trị
Bài 1: Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Bài 2: Định m để hàm số không có cực trị.
Bài 3: Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Bài 4. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Bài 5: Định a để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Chuû ñeà VI: Phöông trình, baát phöông trình muõ logarit
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
 a/ Phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : 
 Daïng ax= b ( a> 0 , )
b0 : pt voâ nghieäm 
 b>0 : 
Daïng ( a> 0 , )
Ñieàu kieän : x > 0
 b/Baát phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : 
 Daïng ax > b ( a> 0 , )
b0 : Bpt coù taäp nghieäm R
 b>0 : 
 . , khi a>1
 . , khi 0 < a < 1
Daïng ( a> 0 , )
Ñieàu kieän : x > 0
 , khi a >1
 , khi 0 < x < 1
Phöông trình muõ:
Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá 
Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau 
a) 	b) 	 c) 
d) 	e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110 f) 
f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2	 g) (1,25)1 – x = 
Daïng 2. ñaët aån phuï 
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình
	a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12	b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
	c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 	d) 
	e) 	 f) 
	g) 	 
	i) (TN – 2007)	j) 
Daïng 3. Logarit hoùaï 
Baøi 3 Giaûi caùc phöông trình
	a) 2x - 2 = 3	b) 3x + 1 = 5x – 2	 c) 3x – 3 = 
	d) 	e) f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Daïng 4. söû duïng tính ñôn ñieäu 
Baøi 4: giaûi caùc phöông trình
	a) 3x + 4 x = 5x	b) 3x – 12x = 4x	c) 1 + 3x/2 = 2x
 Phöông trình logarit
Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá 
Baøi 5: giaûi caùc phöông trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5	 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½ 	 f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	
h) 
Daïng 2. ñaët aån phuï 
Baøi 6: giaûi phöông trình 
a) b) logx2 + log2x = 5/2 c) logx + 17 + log9x7 = 0	
d) log2x + e) log1/3x + 5/2 = logx3	f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
g)	h) 
Daïng 3 muõ hoùa 
Baøi 7: giaûi caùc phöông trình a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)	 b) log3(3x – 8) = 2 – x
 Baát phöông trình muõ
Baøi 8: Giaûi caùc baát phöông trình
a) 16x – 4 ≥ 8	b) 	 c) 
d) 	e) 	 f) 52x + 2 > 3. 5x
Baøi 9: Giaûi caùc baát phöông trình
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17	 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3	 c) 
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 	 e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x 
Baøi 10: Giaûi caùc baát phöông trình
 a) 3x +1 > 5	 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 	c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)
 Baát phöông trình logarit
Baøi 11: Giaûi caùc baát phöông trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) 	 b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) 
4c) log2( x2 – 4x – 5) 2/3 	 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1g) 	
Baøi 12: Giaûi caùc baát phöông trình
	a) log22 + log2x ≤ 0 	b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 	d) 	e) f) 
Baøi 13. Giaûi caùc baát phöông trình
a) log3(x + 2) ≥ 2 – x	 	b) log5(2x + 1) < 5 – 2x
c) log2( 5 – x) > x + 1	 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2
Bài tập làm thêm. 
 1) Giải các phương trình sau:
 a/ b/ c/ d/ 
e/ f/ g/ 	h/ 
2) Giải các phương trình logarit sau:
a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
	e/ 	f/ 
	g/ 	 h/ 	k/ 
3) Giải các bất phương trình sau:
	a/ 	b/ 	c/ 	d/ 
	e/ 	f/ 	g/ 
	h/ 	i/ 	k/ 
	j/ 
4. Giải phương trình sau đây: 
 a) ; b) ; c) ; d) 
 e) 3.4x – 2.6x = 9x ; f) 25x + 15x = 2.9x ; g) 3x(3x+1 – 30) + 27 = 0
5. Giải các phương trình sau: 
a) ; b) ; 
c) d) 
e ) f) g) 
6. Giải các bất phương trình:
a) ; b) ; c) 4x – 3.2x + 2 <0 ; d) 2x + 2-x – 3 
e) ; f) 
7. Giải các bất phương trình:
 a) ; b) ; 
 c) d) e) 
Chuû ñeà VII: NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
Baûng nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp :
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản 
Nguyên hàm của những hàm số hợp
CAÙC COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC HAY DUØNG TRONG
BIEÁN ÑOÅI CAÙC TÍCH PHAÂN
	– Coâng thöùc cô baûn: 
	– Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång:
	– Coâng thöùc haï baäc: 
	– Coâng thöùc nhaân ñoâi: 
MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC ÑAËC BIEÄT CAÀN NHÔÙ
II/ CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN :
2/Moät soá daïng toaùn thöôøng gaëp:
Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát.
Phöông phaùp giaûi: 
 Thöôøng ñöa tích phaân ñaõ cho veà tích phaân cuûa toång vaø hieäu sau ñoù vaän duïng baûng nguyeân haøm thöôøng duøng keát quaû.
Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau:
 a/ b/ c/ 
Giaûi
a/ = 
b/
==8
c/ =+=+ =(x-=5 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/J= 3/K= 
 Daïng 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng 1:
 Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët x = u(t) (ñieàu kieän cho t ñeå x chaïy töø a ñeán b) dx = 
 b2: Ñoåi caän: 
 x = a u(t) = a t = 
 x = b u(t) = b t = ( choïn , thoaû ñk ñaët ôû treân)
 b3: Vieát veà tích phaân môùi theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân .
Ví duï: Tính :
 Đặt x = sint dx = cost.dt. Vì x [0;1] nên ta chọn t
 Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x= 1 t = 
 Vậy : = = 
Daïng 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán.
Ví duï : Tính tích phaân sau :
 a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Ñoåi caän: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vaäy J = 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 
Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
 Coâng thöùc töøng phaàn : 
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/ I= b/J=
Giaûi
a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = cosx= -1
b/ Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
1) L = 	KQ: L = 
2) I = 	KQ: I = 	
3) J = 	 	KQ: J = 
4) K = 	KQ: K = – 2 	
5) M = 	KQ: M = 	
6) N = 	KQ: N = 	
7) P = 	KQ: P = 
8) Q = 	KQ: 
9) R = 	KQ: 
10) S = 	KQ: 
(HD: Phân tích 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)
Từ đó 
Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a/Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ = .
b/ 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/J= 
b/Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: 
 Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
Ñaët =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. vaäy ta coù: 
=
 Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
CI:
=(ln 
CII: Ñaët 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy = 
Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= 
Giaûi:
Ta coù = 
Tính J= 
Ñaët x+1=(t ) dx=.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= vaäy J= 
Vaäy I= ln ) 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/I= 3/ I= 
 Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ:
Daïng1: Ñaët t=
Daïng 2: Ñaët t=
Ví duï: Tính tích phaân I = 
Giaûi
Ñaët t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
Ñoåi caän:
x = 0 t=1; x=1 t = 0. Vaäy I= 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
a) I = 	KQ: I = 	
b) J = 	KQ: J = –4 
c) K = 	KQ: K = 	
d) L = 	KQ: L = 
e) M = 	KQ: M = 	
g) N = 	KQ: N = ln
h) P = 	KQ: P = 
(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10-7)
i) Q = ( Đặt x = sint)	KQ: 
2) Tính các tích phân:
a) I1 = 	KQ: 4
b) J1 = 	KQ: 
c) P = 	KQ: 2ln3
d) Q= 	KQ: 16/3
e) L1 = 	KQ: 
g) N1 = 	KQ: ln(e+1)
h) J4’ = 	KQ: 
(Kết quả J4’máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 0,1015873016)
Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
Ví duï :
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t = sinx
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x = tant
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ b/ c/ d/
Giaûi
a/ = 
b/
c/I==
ñaët u = sinx du = cosx dx.
x= 0 u =0 ; x = u=1 vaäy: I=
d/J==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 J=
Baøi taäp ñeà nghò: 
Bài 1.Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 2/ 3/ 4/
Bài 2: Tính các tích phân sau : 1/ I = ;	 2/ I = ;	
3/ I =	;	 4/ I = .
Bài 3: Tính các tích phân sau
 1/ I = ;	2/ I =;	3/ I = 	;	
4/ I =; 5/ I = ; 	 6/ I =;	 7/ I = ;	
;	 9/ I = ; 10/ I = .
11/ I = 12/ I = 13/ I = 
Bài 4: Tính các tích phân sau đây :
; 2/ I = ;	 3/ I = ; 
4/ I = 
Bài 5 :Tính các tích phân sau đây :1/ I =; 
 2/ I = ;	4/ I = 
Bài 6: Tính các tích phân sau đây :
 ; 2/ I = ;	 3/I = 
 4/ I = ; 5/ I = 
Bài 7: Tính các tích phân sau :1/I =; 2/I =; 3/I = ; 
4/ I = ;	5/=;	6/ I = 
Bài 8: Tính các tích phân sau :
1/ I =;	 2/ I = ;	 3/ I =; 
	4/ I = 
 Chuû ñeà VIII: Tính diện tích hình phẳng.
1) Diện tích hình phẳng:
	Cơ sở lí thuyết:
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1).
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2).
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải:
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S = 
Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]
Vậy S = + = + = 2 (đvdt)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x.
Giải:
 · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S = 
Vậy S = = = = (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].
Ví duï 1ï:
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2] vaø truïc hoaønh 
Giaûi :
Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x= vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
S = = = 4 
Ví duï 2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x , vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x = -1 ; x =2 . Giaûi
phhñgñ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 . Do ñoù :
S =
= = =
Ví duï 3:
 Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y2 = 4 x vaø ñöôøng thaúng (d): 2x+y-4 = 0.
Giaûi: Ta coù (P): y2 = 4 x x = vaø (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phöông trình tung ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø: =
Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: 
 S= 
Baøi taäp ñeà nghò: 
1/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (P): y= x2 - 2x vaø truïc 0x.
 2/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (H): vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöông trình x=1, x=2 vaø y=0
3/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (C): y= x4 - 4x2+5 vaø ñöôøng thaúng (d): y=5. 
 4/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = x3 –3 x , vaø y = x .
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
	Cơ sở lí thuyết:
	Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3)
Ví dụ: 
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., 
Giải:
	· Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 
· Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 
Ta có V = = = (đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
	· Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 
· Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: 
Có V1 ==
· Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox: 
Có V2 == 
Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)
Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V = đvtt.
Các bài tập tự luyện:
1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh.	
KQ: S = ñvdt
2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø y = – x – 2 .	
KQ: S = ñvdt
3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3]
	KQs: S = 200 ñvdt
4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox:
a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2	KQ: 16 ñvtt
b) y = x2 vaø y = 3x	KQ: ñvtt	
c) y = ; y = 0; x = 0; x =	KQ: ñvtt
Chuû ñeà IX: SỐ PHỨC
C©u 1: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: 
a. (2 - i) + 	 b. 
c. d. 
C©u 2: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
	a. (2 - 3i)(3 + i)	b. (3 + 4i)2	b. 
C©u 3: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
	a. 	b. 	c. 	d. 
C©u 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc
	a. 	b. 
 c. 	d. 
Bài tập về nhà
Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau đây :
;	;	 ;	 ; ; ;	;	 ; ;	;	
Bài 2 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
;	;	;	
Bài 3 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây : ;	.
Bài 4 : Cho . Tìm và .
Bài 5 : Cho , . Tìm và .
Bài 6 : Cho . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức .
Bài 7 : Giải các phương trình sau :
 ;	 ;	;	
 ;	;	; 	;	 ;	;	;	;
Bài 8 : Tìm số phức , biết rằng :
	;	;	;	;
Bài 9 : Giải các phương trình sau trên tập C.
 ;	;	; ; ; 	;	 ; .
Bài 10 : Tìm số phức biết rằng :
;	;	
c¨n bËc hai cña Sè phøc. ph­¬ng tr×nh bËc hai
(Nâng cao)
D¹ng 1: tÝnh c¨n bËc hai cña sè 
Ví dụ :
 Tìm căn bậc hai của số phức 
Gọi x + iy là căn bậc hai của số phức , ta có :
 hoặc 
 (loại) hoặc 
 Vậy số phức có hai căn bậc hai : 
C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: 
	a. -5	b. 2i	c. -18i	d. 
D¹ng 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai 
VÝ dô: Giải phương trình trên tập số phức 
Giải: 
Phương trình có hai nghiệm : 
C©u 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc
	a. x2 + 7 = 0	b. x2 - 3x + 3 = 0	c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
	d. x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0	e. ix2 + 4x + 4 - i = 0	g. x2 + (2 - 3i)x = 0 
C©u 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc
	a. 	 b. 
	c. 
C©u 3: T×m hai sè phøc biÕt tæng vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît lµ:
	a. 2 + 3i vµ -1 + 3i	b. 2i vµ -4 + 4i
C©u 4: T×m ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc nhËn a lµm nghiÖm:
	a. a = 3 + 4i	b. a = 
C©u 5: T×m tham sè m ®Ó mçi ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiÖm z1, z2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®· chØ ra: 
	a. z2 - mz + m + 1 = 0 	®iÒu kiÖn: 
	b. z2 - 3mz + 5i = 0	®iÒu kiÖn: 
Bµi tËp:
C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
	a. 7 - 24i	b. -40 + 42i	c. 11 + 4i	d. 
C©u 2: Chøng minh r»ng:
NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña hai sè phøc a + bi th× x - yi lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a - bi
NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a + bi th× lµ c¨n bËc hai cña sè phøc (k ¹ 0)
C©u 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc:
a. z2 + 5 = 0	b. z2 + 2z + 2 = 0	c. z2 + 4z + 10 = 0 
d. z2 - 5z + 9 = 0 	e. -2z2 + 3z - 1 = 0
C©u 4: Gi¶i ph­¬ng t