Bài giảng môn toán lớp 12 - Chương 2: Phương trình lượng giác cơ bản

 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
= + π⎡= ⇔ ⎢ = π − + π⎣
u v k2
sin u sin v
u v k2
cosu cosv u v k2= ⇔ = ± + π 
π⎧ ≠ + π⎪= ⇔ ⎨⎪ = + π⎩
u k
tgu tgv 2
u v k '
 ( )k,k ' Z∈ 
u k
cot gu cot gv
u v k '
≠ π⎧= ⇔ ⎨ = + π⎩ 
Đặc biệt : si nu 0 u k= ⇔ = π π= ⇔ = + πco su 0 u k
2
(sinu 1 u k2 k Z
2
π= ⇔ = + π ∈ ) cosu 1 u k2= ⇔ = π ( ) k Z∈
sinu 1 u k2
2
π= − ⇔ = − + π cosu 1 u k2= − ⇔ = π + π 
Chú ý : sinu 0 cosu 1≠ ⇔ ≠ ±
cosu 0 sinu 1≠ ⇔ ≠ ± 
Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) 
[ ]x 0,14∈ nghiệm đúng phương trình Tìm 
( )cos3x 4 cos2x 3cos x 4 0 *− + − = 
Ta có (*) : ⇔ ( ) ( )3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0− − − + − = 
⇔ 3 24 cos x 8cos x 0− = ⇔ ( )24 cos x cos x 2 0− = 
⇔ ( )= =cos x 0hay cos x 2 loại vì cos x 1≤ 
⇔ ( )x k k
2
π= + π ∈ Z 
Ta có : [ ]x 0,14 0 k 1
2
4π∈ ⇔ ≤ + π ≤ 
⇔ k 14
2 2
π π− ≤ π ≤ − ⇔ 1 14 10,5 k 3,9
2 2
− = − ≤ ≤ − ≈π 
 Mà k nên Z∈ { }k . Do đó : 0,1,2,3∈ 3 5 7x , , ,
2 2 2 2
π π π π⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭ 
Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) 
Giải phương trình : 
( ) ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *− + = − 
Ta có (*) ⇔ ( ) ( ) ( )− + =2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1− 
⇔ ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin x 0− + −⎡ ⎤⎣ ⎦ =
)
⇔ ( ) (2cos x 1 sin x cos x 0− + = 
⇔ 1cos x sin x cos x
2
= ∨ = − 
⇔ cos x cos tgx 1 tg
3 4
π π⎛ ⎞= ∨ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ ( )π π= ± + π ∨ = − + π ∈x k2 x k , k
3 4
Z 
Bài 30 : Giải phương trình + + + =cosx cos2x cos3x cos4x 0(*) 
Ta có (*) ⇔ ( ) ( )cos x cos4x cos2x cos3x 0+ + + = 
⇔ 5x 3x 5x x2cos .cos 2cos .cos 0
2 2 2 2
+ = 
⇔ 5x 3x x2cos cos cos 0
2 2 2
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ 5x x4cos cos x cos 0
2 2
= 
⇔ 5x xcos 0 cos x 0 cos 0
2 2
= ∨ = ∨ = 
⇔ π π π= + π ∨ = + π ∨ = + π5x xk x k k
2 2 2 2 2
⇔ ( )π π π= + ∨ = + π ∨ = π + π ∈2kx x k x 2 ,
5 5 2
k Z 
Bài 31: Giải phương trình ( )2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+ = + 
Ta có (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 cos2x 1 cos6x 1 cos4x 1 cos8x
2 2 2 2
− + − = + + + 
⇔ ( )cos2x cos6x cos4x cos8x− + = +
⇔ 2cos4xcos2x 2cos6xcos2x− =
⇔ ( )2cos2x cos6x cos4x 0+ = 
⇔ 4cos2xcos5xcos x 0= 
⇔ cos2x 0 cos5x 0 cosx 0= ∨ = ∨ = 
⇔ π π π= + π ∨ + π ∨ = + π ∈ 2x k 5x k x k ,k
2 2 2
⇔ π π π π π= + ∨ = + ∨ = + πkk kx x x
4 2 10 5 2
 ∈ , k 
Bài 32 : Cho phương trình 
( )π⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 x 7sin x.cos4x sin 2x 4sin *
4 2 2
Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: − <x 1 3 
Ta có : (*)⇔ ( )1 7sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x
2 2
⎡ π ⎤⎛ ⎞
2
− − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ − 
⇔ − + = − −1 1 3sin x cos4x cos4x 2sin x
2 2 2
⇔ 1sin x cos4x cos4x 1 2sin x 0
2
+ + + = 
⇔ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1cos4x sin x 2 sin x 0
2 2
⇔ ( ) 1cos4x 2 sin x 0
2
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ 
( )cos4x 2 loại
1sin x sin
2 6
= −⎡⎢ π⎛⎢ = − = −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
⎞ ⇔ 
π⎡ = − + π⎢⎢ π⎢ = + π⎢⎣
x k
6
7x 2
6
2
h
Ta có : − <x 1 3 ⇔ ⇔ 3 x 1 3− < − < 2 x 4− < < 
Vậy : 2 k2
6
π− < − + π < 4 
⇔ 2 2k 4
6 6
π π− < π < + ⇔ 1 1 2 1k
12 12
− < < +π π 
Do k nên k = 0. Vậy Z∈ x
6
π= − 
π− < + π <72 h2
6
4 
 ⇔ π π− − < π < − ⇔ − − < < −π π
7 7 1 7 22 h2 4 h
6 6 12
7
12
⇒ h = 0 ⇒ π= 7x
6
.Tóm lại −π π= = 7x hay x
6 6
Cách khác : −π= − ⇔ = − + π ∈ k1sin x x ( 1) k , k
2 6
Vậy : 
−π − −− < − + π < ⇔ < − + <π π
k k2 12 ( 1) k 4 ( 1) k
6 6
4 
⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với −π π= = 7x hay x
6 6
Bài 33 : Giải phương trình 
( )3 3 3sin x cos3x cos x sin 3x sin 4x *+ = 
Ta có : (*)⇔ ( ) ( )3 3 3 3 3sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4sin x sin 4x− + − = 
⇔ 3 3 3 3 3 3 34sin xcos x 3sin xcosx 3sin xcos x 4sin xcos x sin 4x− + − =
⇔ ( )2 2 33sin x cos x cos x sin x sin 4x− =
⇔ 33 sin2x cos2x sin 4x
2
= 
⇔ 33 sin4x sin 4x
4
= 
⇔ 33sin4x 4sin 4x 0− = 
⇔ sin12x = 0 
⇔ ⇔ 12x k= π ( )kx k
12
Zπ= ∈ 
Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) 
Giải phương trình : 
( )2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *− = − 
Ta có : (*)⇔ 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
− − + = − − + 
⇔ cos6x cos8x cos10x cos12x+ = +
⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx=
⇔ ( )2cos x cos7x cos11x 0− = 
⇔ cosx 0 cos7x cos11x= ∨ =
⇔ π= + π ∨ = ± + πx k 7x 11x k
2
2 
⇔ π π π= + π ∨ = − ∨ = ∈ k kx k x x , k
2 2 9
Bài 35 : Giải phương trình 
( ) ( )sin x sin 3x sin 2x cos x cos3x cos2x+ + = + + 
⇔ 2sin2xcosx sin2x 2cos2xcosx cos2x+ = +
⇔ ( ) ( )+ = +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1 
⇔ ( ) ( )2cos x 1 sin 2x cos2x 0+ − = 
⇔ 1 2cos x cos sin2x cos2x
2 3
π= − = ∨ = 
⇔ 2x k2 tg2x 1
3 4
tgπ π= ± + π ∨ = = 
⇔ ( )π π π= ± + π ∨ = + ∈2x k2 x k , k
3 8 2
Z 
Bài 36: Giải phương trình 
( )+ + = +2 3cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x. cos 3x * 
Ta có : (*)⇔ ( ) ( )3cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x+ + = + − 
⇔ ( )cos10x cos8x 1 cos x 2cos x.cos9x+ + = +
⇔ 2cos9xcosx 1 cos x 2cosx.cos9x+ = +
⇔ cosx 1=
⇔ ( )x k2 k Z= π ∈ 
Bài 37 : Giải phương trình 
( )3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+ − − = 
Ta có : (*) ⇔ ( ) ( )2 2sin x 4sin x 3 cos x sin x 3cos x 02− − − = 
⇔ ( ) ( )⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦2 2sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 02
=
=
⇔ ( ) ( )24 sin x 3 sin x cos x 0− −
⇔ ( ) ( )2 1 cos2x 3 sin x cos x 0− − −⎡ ⎤⎣ ⎦
⇔ 
1 2cos2x cos
2 3
sin x cos x
π⎡ = − =⎢⎢ =⎣
⇔ 
22x k2
3
tgx 1
π⎡ = ± + π⎢⎢ =⎣
 ⇔ 
x k
3
x k
4
π⎡ = ± + π⎢⎢ π⎢ = + π⎢⎣
 ( )k Z∈ 
Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) 
Giải phương trình : 
( )sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0 *+ + + + = 
Ta có : (*) ⇔ 2sin x cosx 2sin xcosx 2cos x 0+ + + =
⇔ ( )sin x cos x 2cos x sin x cos x 0+ + + = 
⇔ ( ) (sin x cos x 1 2cos x 0+ + ) =
⇔ 
sin x cos x
1 2cos2x cos
2 3
= −⎡⎢ π⎢ = − =⎣
⇔ 
tgx 1
2x k
3
= −⎡⎢ π⎢ = ± + π⎣ 2
⇔ 
x k
4
2x k2
3
π⎡ = − + π⎢⎢ π⎢ = ± + π⎢⎣
( )k Z∈ 
Bài 39 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )22sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 cos x 3 *+ + − + = 
Ta có : (*) ⇔ ( ) ( ) ( )22sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 1 sin x 3 0+ + − + − − = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 1 2sin x 0+ + − + + − = 
⇔ ( ) ( )2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 0+ + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦ =
=
⇔ ( ) ( )3 cos4x 1 2sin x 1 0− +
⇔ 1cos4x 1 sin x sin
2 6
π⎛ ⎞= ∨ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ π π= π ∨ = − + π ∨ = +74x k2 x k2 x k2
6 6
π 
⇔ ( )π π π= ∨ = − + π ∨ = + π ∈k 7x x k2 x k2 , k
2 6 6
Z 
Bài 40: Giải phương trình ( ) ( )+ = +6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x * 
Ta có : (*) ⇔ 6 8 6 8sin x 2sin x cos x 2cos x 0− + − = 
⇔ ( ) ( )6 2 6 2sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0− − − = 
⇔ − =6 6sin x cos2x cos x.cos 2x 0
⇔ ( )6 6cos2x sin x cos x 0− =
⇔ 6 6cos2x 0 sin x cos x= ∨ =
⇔ 6cos2x 0 tg x 1= ∨ = 
⇔ ( )2x 2k 1 tgx 1
2
π= + ∨ = ± 
⇔ ( )x 2k 1 x k
4 4
π π= + ∨ = ± + π 
⇔ kx
4 2
π π= + ,k ∈ 
Bài 41 : Giải phương trình 
( )1cos x.cos2x.cos4x.cos8x *
16
= 
Ta thấy x k= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó 
cosx 1,cos2x cos4x cos8x 1= ± = = = 
(*) thành : 11
16
± = vô nghiệm 
Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0≠ ta được 
(*)⇔ và ( )16sin x cos x cos2x.cos4x.cos8x sin x= sin x 0≠
⇔ và ( )8sin 2x cos2x cos4x.cos8x sin x= sin x 0≠ 
⇔ và si( )4sin 4x cos4x cos8x sin x= n x 0≠ 
⇔ và 2sin8xcos8x sin x= sin x 0≠ 
⇔ sin16x sin x= và sin x 0≠ 
⇔ ( )π π π= ∨ = + ∈k2 kx x , k
15 17 17
Z 
Do : không là nghiệm nên = πx h ≠k 15m và ( )+ ≠ ∈2k 1 17n n, m Z
Bài 42: Giải phương trình ( )38cos x cos 3x *
3
π+ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Đặt t x x t
3 3
π π= + ⇔ = − 
Thì ( ) ( )cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t= − π = π − = − 
Vậy (*) thành = −38cos t cos3t
⇔ 3 38 cos t 4 cos t 3cos t= − +
⇔ 312cos t 3cos t 0− = 
⇔ ( )23 cos t 4 cos t 1 0− =
⇔ ( )3cos t 2 1 cos 2t 1 0+ −⎡ ⎤⎣ ⎦ =
⇔ ( )cos t 2 cos 2t 1 0+ =
⇔ 1 2cos t 0 cos 2t cos
2 3
π= ∨ = − = 
⇔ ( ) π π= + ∨ = ± +2t 2k 1 2t k2
2 3
π 
⇔ π π= + π ∨ = ± + πt k t
2 3
k 
Mà x t
3
π= − 
Vậy (*)⇔ ( )π π= + π ∨ = π ∨ = + π ∈2x k2 x k x k , vớik
6 3
Z 
Ghi chú : 
Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay 
chứa căn bậc chẵn... ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ 
dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay 
không. 
 + Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa 
Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng 
một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có 
trùng với ngọn cung của điều kiện. 
Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. 
Bài 43 : Giải phương trình ( )2tg x tgx.tg3x 2 *− = 
Điều kiện 3
cos x 0
cos 3x 4 cos x 3cos x 0
≠⎧⎨ = − ≠⎩
π π⇔ ≠ ⇔ ≠ + hcos3x 0 x
6 3
Lúc đó ta có (*) ⇔ ( )tgx tgx tg3x 2− = 
⇔ sin x sin x sin 3x 2
cos x cos x cos 3x
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ ( ) 2sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x− =
⇔ ( ) 2sin x sin 2x 2 cos x.cos 3x− = 
⇔ 2 22sin x cos x 2cos x cos3x− =
⇔ (do cos2sin x cos x cos3x− = x 0≠ ) 
⇔ ( ) ( )1 11 cos 2x cos 4x cos 2x
2 2
− − = + 
⇔ cos4x 1 4x k2= − ⇔ = π + π 
⇔ ( )kx k
4 2
π π= + ∈ Z 
so với điều kiện 
Cách 1 : Khi 
kx
4 2
π= + π thì ( )3 3k 2cos 3x cos 0 nhận
4 2 2
π π⎛ ⎞= + = ± ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy 
không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : 
(*) ⇔ kx
4 2
π π= + 
Lưu ý cách 2 rất mất thời gian 
Cách 3 : 
Nếu 
π π π= + = +3 3k3x h
4 2 2
π
h 6k
Thì + = +3 6k 2 4h
⇔1 4 = −
⇔ = −1 2h 3k
2
 (vô lý vì ∈k,h Z ) 
Bài 44: Giải phương trình 
( )2 2 2 11tg x cot g x cot g 2x *
3
+ + = 
Điều kiện 
cos x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
≠⎧⎪ ≠ ⇔ ≠⎨⎪ ≠⎩
Do đó : 
(*)⇔ 2 2 21 1 11 1 1cos x sin x sin 2x 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11 
⇔ 2 2 2 21 1 1cos x sin x 4 sin x cos x 3+ + =
20
⇔
2 2
2 2
4 sin x 4 cos x 1 20
4 sin x cos x 3
+ + = 
⇔ 25 2sin 2x 3=
0
⇔ 2 3sin 2x
4
= (nhận do sin2x 0≠ ) 
⇔ ( )1 31 cos4x
2 4
− = 
⇔ 1 2cos4x cos
2 3
π= − = 
⇔ 24x k2
3
π= ± + π 
⇔ ( )kx k
6 2
π π= ± + ∈ Z 
Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : 
2tgx cot gx
sin 2x
+ = 
Vậy (*)⇔( )2 21 1tgx cot gx 2 1sin x 3
⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 
⇔ 25 2sin 2x 3=
0
Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) 
Giải phương trình 
( )2 2 2x xsin tg x cos 0 *
2 4 2
π⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ±
lúc đó : 
(*) ⇔ [ ]221 sin x 11 cos x 1 cos x 02 2 cos x 2
⎡ π ⎤⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ = 
 ⇔ ( ) ( ) ( )221 sin x 1 cos x 1 cos x 01 sin x
− − − + =− 
⇔ ( )21 cos x 1 cos x 0
1 sin x
− − + =+ 
⇔ ( ) 1 cos x1 cos x 1 0
1 sin x
−⎡ ⎤+ −⎢ ⎥+⎣ ⎦ =
=
⇔ ( ) ( )1 cos x cos x sin x 0+ − −
⇔ ( )cos x 1 nhậndocos x 0
tgx 1
= − ≠⎡⎢ = −⎣
⇔ 
= π + π⎡⎢ π⎢ = − + π⎣
x k2
x k
4
Bài 46 : Giải phương trình 
( ) ( )2sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+ = 
Điều kiện : ⇔ sin x 0
cos2x 0
≠⎧⎨ ≠⎩ 2
sin x 0
2cos x 1 0
≠⎧⎨ − ≠⎩
 ⇔ 
cos x 1
2cos x
2
≠ ±⎧⎪⎨ ≠ ±⎪⎩
Ta có : cos x sin2xcot gx tg2x
sin x cos2x
+ = + 
cos2x cos x sin2xsin x
sin x cos2x
+= 
cos x
sin x cos2x
= 
Lúc đó : (*) ⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2cos x2sin x cos x 4 cos x
sin x cos 2x
⇔ 
2
22cos x 4 cos x
cos2x
= ( )Dosin x 0≠ 
⇔ 
cos x 0
1 2
cos2x
=⎡⎢⎢ =⎣
 ⇔ 
( )
⎡ ⎛ ⎞= ≠ ≠ ±⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢ π⎢ = = ≠⎣
2cos x 0 Nhận do cos x và 1
2
1cos 2x cos , nhận do sin x 0
2 3
⇔ 
π⎡ = + π⎢⎢ π⎢ = ± + π⎢⎣
x k
2
x k
6
 ( ) ∈k Z
Bài 47 : Giải phương trình: 
( )2 2cot g x tg x 16 1 cos4x
cos2x
− = + 
Ta có : 
2 2
2 2
2 2
cos x sin xcot g x tg x
sin x cos x
− = − 
4 4
2 2 2
cos x sin x 4cos2x
sin x cos x sin 2x
−= = 
Điều kiện : ⇔ sisin2x 0
cos2x 0
≠⎧⎨ ≠⎩ n4x 0≠ 
Lúc đó (*) ( )24 16 1 cos4xsin 2x⇔ = + 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
⇔ = +
⇔ = + −
⇔ = − =
⇔ = ≠
⇔ − =
π π⇔ = ⇔ = + ∈ 
2
2 2
2
1 4 1 cos 4x sin 2x
1 2 1 cos 4x 1 cos 4x
1 2 1 cos 4x 2sin 4x
1sin 4x nhận do sin 4x 0
2
1 11 cos 8x
2 2
kcos 8x 0 x , k
16 8
Bài 48: Giải phương trình: ( )4 4 7sin x cos x cot g x cot g x *
8 3 6
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Điều kiện 
sin x 0 sin x 0
3 3 2sin 2x 0
3
sin x 0 cos x 0
6 3
⎧ ⎧π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≠ + ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ ⇔ +⎨ ⎨ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− ≠ + ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
≠ 
1 3sin2x cos2x 0
2 2
tg2x 3
⇔ − + ≠
⇔ ≠
Ta có: ( )24 4 2 2 2 2 21sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x 1 sin 2x2+ = + − = − 
Và: cot g x .cot g x cot g x .tg x 1
3 6 3 3
π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 
Lúc đó: (*) 21 71 sin 2x
2 8
⇔ − = 
 ( )1 11 cos4x
4 8
⇔ − − = − 
⇔ =
π π⇔ = ± + π ⇔ = ± +
1cos 4x
2
k4x k2 x
3 1
π
2 2
 (nhận do 3tg2x 3
3
= ± ≠ ) 
Bài 49: Giải phương trình ( )12tgx cot g2x 2sin2x *
sin2x
+ = + 
Điều kiện: 
cos2x 0
sin2x 0 cos2x 1
sin2x 0
≠⎧ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±⎨ ≠⎩ 
Lúc đó: (*) 
2sin x cos2x 12sin2x
cos x sin2x sin2x
⇔ + = + 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⇔ + = +
⇔ + − = +
⇔ − =
⎡ ⎤⇔ − + =⎣ ⎦
⎡ = ≠ ⇒⎢⇔ π⎢
≠
= − = ≠ ±⎢⎣
π⇔ = ± + π ∈
π⇔ = ± + π ∈ 
2 2
2 2 2 2
2 2
2
4 sin x cos 2x 2sin 2x 1
4 sin x 1 2sin x 8sin x cos x 1
2sin x 1 4 cos x 0
2sin x 1 2 1 cos 2x 0
sin x 0 loại do sin 2x 0 sin x 0
1 2cos 2x cos nhận do cos 2x 1
2 3
22x k2 k Z
3
x k , k
3
Bài 51: Giải phương trình: 
( ) ( )3 sin x tgx 2 1 cos x 0 *
tgx sin x
+ − + =− ( ) 
Điều kiện : ⇔ tgx sin x 0− ≠ sin x sin x 0
cos x
− ≠ 
⇔ ( )sin x 1 cos x 0
cos x
− ≠ ⇔ 
sin x 0
cos x 0 sin2x 0
cos x 1
≠⎧⎪ ≠ ⇔ ≠⎨⎪ ≠⎩
Lúc đó (*)⇔ ( )( ) ( )
3 sin x tgx .cot gx
2 1 cos x 0
tgx sin x .cot gx
+ − + =− 
⇔ ( )( ) ( )
3 cos x 1
2 1 cos x 0
1 cos x
+ − + =− 
⇔ ( )− = ≠ + ≠−
3 2 0 do sin x 0 nên cos x 1 0
1 cos x
⇔ 1 2cosx 0+ =
⇔ 1cos x
2
= − (nhận so với điều kiện) 
⇔ π= ± + π ∈ 2x k2 , k
3
Bài 52 : Giải phương trình 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 21 cos x 1 cos x 1tg xsin x 1 sin x tg x *
4 1 sin x 2
− + + − = + +− 
Điều kiện : 
cos x 0
sin x 1
≠⎧⎨ ≠⎩ ⇔ cos x 0≠ 
Lúc đó (*)⇔ ( )( ) ( )
2 3 2
2 2
2 1 cos x sin x 1 sin x1 sin x
4 1 sin x 1 sin x 2 1 sin x
+ − = + +− − − 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 21 cos x 1 sin x 2sin x 1 sin x 1 sin x 2sin x+ + − = + − + 2 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 sinx 1 cos x 1 sin x cos x 2sin x 1 sin x+ + = + + + 
⇔ 2 2
1 sin x 0
1 cos x cos x 2sin x
+ =⎡⎢ + = +⎣ 2
⇔ ⇔ cos2x = 0 = − ≠⎡⎢ = −⎣
sin x 1 ( loại do cos x 0 )
1 1 cos 2x
⇔ 2x k
2
π= + π 
⇔ x k
4 2
π= + π (nhận do cosx ≠ 0) 
Bài 53 : Giải phương trình 
( )cos3x.tg5x sin7x *= 
Điều kiện cos5x 0≠
Lúc đó : (*) ⇔ sin5xcos3x. sin7x
cos5x
= 
sin5x.cos3x sin7x.cos5x= ⇔ 
[ ] [ ]1 1sin8x sin2x sin12x sin2x
2 2
+ = + ⇔ 
sin8x sin12x= ⇔ 
 12x 8x k2 12x 8x k2= + π ∨ = π − + π⇔
π π= ∨ = +k kx x⇔ π
10
So lại với điều kiện 
2 20
k 5kx thì cos5x cos cos
2 2
π π= = = k
2
π
 (loại nếu k lẻ) 
π π π π⎛ ⎞= + = + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠20 10
k kx thì cos5x cos 0 nhận
4 2
π π= π ∨ = + kx h x
20 10
Do đó : (*)⇔ , với k, h ∈ 
Bài 54 : Giải phương trình 
( )4 4sin x cos x 1 tgx cot g2x *
sin2x 2
+ = + ( )
Điều kiện :
Ta có :
 sin2x 0≠ 
 ( )24 4 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + − 2
211 sin 2
2
= − x
sin x cos2xtgx cot g2x
cos x sin2x
+ = + 
sin2xsin x cosx cos2x
cos xsin2x
+= 
( )cos 2x x 1
cos xsin2x sin2x
−= = 
( )
−
⇔ =
⇔ − =
⇔ = ≠
⇔ =
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈


2
2
2
2
11 sin 2x 12Do đó : (*)
sin 2x 2sin 2x
1 11 sin 2x
2 2
sin 2x 1 nhận do sin 2x 0
cos 2x 0
2x k , k 
2
kx , k 
4 2
Bài 55 : Giải phương trình 
( )2tg x x2 2 2.cot g 2x.cot g3x tg x cot g 2 cot g3x *= − + 
cos x 0 sin2x 0 sin3x 0≠ ∧ ≠ ∧ ≠ Điều kiện : 
sin2x 0 sin3x 0⇔ ≠ ∧ ≠
( )⇔ − = −
⎡ − + ⎤ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2 2 2Lúc đó (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4xcot g3x 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x
 −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
( )
⎡ ⎤⇔ − + − + −⎣ ⎦
= − − − + +
⇔ − = − +
⇔ − = −
⇔ = ≠
⇔ = ∨ =
π⇔ = + π ∨ =
cot g3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos2x 1 cos4x
1 cos2x 1 cos4x 1 cos4x 1 cos2x
cot g3x 2cos4x 2cos2x 2 cos4x cos2x
cos3x 4sin3xsin x 4cos3x cos x
sin3x
cos3xsin x cos3x cos x do sin3x 0
cos3x 0 sin x cos x
3x k tgx 1
2
( )π π π⇔ = + ∨x x
6 3
= + π ∈k l k, l Z
4
 điều kiện: sinSo với ≠2x.sin3x 0 
* Khi π π= + kx
6 3
 thì π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + π ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2ksin .sin k 0
3 3 2
+⎛ ⎞⇔ π ≠⎟⎠
1 2ksin 0 
Luôn đúng 
⎜⎝ 3
( )∀ + ≠k thỏa 2k 1 3m m Z ∈
* Khi π= + πx l thì π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ π + π = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2sin 2l sin 3l 0
2 4 2
4
≠
luôn đúng 
Do đó: (*) 
π π⎡ = + ∈ ∧ ≠ − ∈⎢⇔ ⎢ π⎢ = + π ∈⎢⎣


kx , k Z 2k 3m 1( m
6 3
x l , l
4
)
Cách khác: ( )⇔ − = −
−−⇔ = =− −
+ −⇔ = − +
⇔ = ⇔ = ∨ =
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
 (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
tg 2x.tg x 1tg x cot g 2xcot g3x
tg x cot g 2x 1 tg x tg 2x
(1 tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx )cot g3x
(tg2x tgx) ( tg2x tgx)
cot g3x cot gx.cotg3x cos 3x 0 sin x cos x
BÀI TẬP 
π⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠,331. Tìm các nghiệm trên của phương trình: 
 π π⎛ ⎞ ⎛+ − = +⎜ ⎟ ⎜5 7sin 2x 3cos x 1 2sin x2 2 
⎞− ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Tìm các nghiệm x trên π⎛ ⎞⎜ ⎟2 ⎝ 2 ⎠0, của phương trình 
4x cos 6x sin 10,5 10x
3. Giải các phương trình sau: 
x cos x 2 sin x s x+ = + 
 sin ( )− = π +2 2
 a/ sin co( )3 3 5 5
 b/ sin x sin2x sin3x 3
cos x cos2x cos3x
+ + =+ + 
 c/ 2 1 cos xtg x
1 sin x
+= − 
 d/ tg2x tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x− − = 
 e/ 24cos x cos x
3
= 
 f/ 1 12 2 sin x
4 sin x cos x
π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2
 i/ 2tgx cot g2x 3
sin2x
+ = + 
 h/ 23tg3x cot g2x 2tgx
sin4x
+ = + 
 k/ =2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + 
 l/ 
si 2n x 2cos x 0
in x
+
1 s
=+ 
 m/ ( )225 4x 3sin2 x 8sin x 0− π + π =
 n/ sin x.cot g5x 1
cos9x
= 
 o/ 23tg6x 2tg2x cot g4x
sin8x
− = − 
 p/ ( )22sin 3x 1 4sin x 1− = 
 q/ 2 1 cos xtg +x
1 sin x
= − 
 r/ 3c x 33 2os cos3x sin xsin x
4
+ = 
 s/ 4 4x x 5sin cos
3 3 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 t/ =3 3 2cos x 4sin x 3cos xsin x sin x 0− − + 
 u/ 4 4x xsin cos 1 2sin x
2 2
+ = − 
 v/ s 3in x sin2x.sin x
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 w/ 
( )24
4
2 sin x sin3x
tg x 1
cos x
−+ = 
2 x y/ tgx cos x cos+ − x sin x 1 tg tgx
2
⎛ ⎞= + ⎠ 
. 
⎜ ⎟⎝
4 Cho phương trình: ( ) ( ) (2 )2s x m 3 4cos x 1+ + = − 
 a/ Giải phương trình khi m = 1 
2sin x 1 2cos2x in−
[ ]0,π b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên 
m 0 m 1 m 3= ∨ ) 
5. Cho phương trình: 
( )54 cos xs 5 2in x 4sin x.cos x sin 4x m 1− = + 
Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường 
hợp đó. 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn