Bài giảng môn toán lớp 12 - Giải phương trình đại số có dạng đặc biệt phương pháp lượng giác

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Có nhiều bài toán trong phạm vi đại số rất khó giải, nhưng nếu chúng ta biết thay đổi hình thức của bài toán thì sẽ thu được những phương trình đơn giản hơn. Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài toán và thông qua miền giá trị của chúng.
 I .CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
CÁCH CHỌN
 hoặc 
 hoặc 
 hoặc
Ta xét các ví dụ sau đây:
w VD 1 : Trên đoạn phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
v Giải : Vì nên tồn tại góc sao cho 
Thu được phươnhg trình : 
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình nên 
nhân hai vế của phương trình cho ta được :
 ; 
Vì suy ra các nghiệm : 
; ; ;
w Ví dụ 2 : Cho hai phương trình :
 (1) và (2)
 Giả sử x là nghiệm của phương trình (1) . Chứng minh rằng, khi 
đó x cũng là nghiệm của phương trình (2) .
v Giải : 
Đặt với t > 0.
Khi đó phương trình (1) trở thành : 
 . Xét , đặt ta được 
Vì nên 
suy ra 
Rõ ràng phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét 
nghiệm . Mặt khác và do đó 
nghiệm của phương trình (1) là : .
Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2) 
w Ví dụ 3 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : 
	 (1) 
v Giải : ĐK :
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
Nhận xét : Vì 
nên khiến ta nghĩ đến lượng giác hoá bằng cách đặt : 
 với 
 (1) .
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi : 
So sánh với điều kiện m>0 ta có : 
w Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có ngiệm :
 (1)
v Giải : Điều kiện : .
Nhận thấy rằng : 
Nên tồn tại góc sao cho :
 và với 
Xét hàm số : 
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn và 
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi : 
w Ví dụ 5: Giải phương trình : 
 với tham số 
v Giải : 
Chia cả hai vế của phương trình cho , 
ta được : . Vì nên tồn tại góc để cho .
Thu được phương trình : 
Hàm số là hàm nghịch biến và ta có 
. Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
w VD6 : 
v Giải:
Điều kiện: 
Đặt Thu được PT mới có dạng LG như sau : 
 Đặt : 
ĐK : 
Thu được PT : 
Với 
w VD 7 : Cho PT 	 (1)
a) Giải PT (1) khi m= 3
b) Tìm m để PT (1) có nghiệm.
v Giải :
Với điều kiện: gợi cho ta nghĩ đến việc chuyển PT (1) về 
lượng giác bằng cách đặt : ; 
 Giải: a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 
 sint+cost+3sint.cost = 1(2)
Đặt tiếp: ĐK :
BÀI TẬP 
Bài 1 : Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm và thỏa điều kiện: 
Bài 2 : Giải các phương trình : 
 với tham số 
Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 ) 
Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : 
HD: Đk: ; Đặt : ;
Bài 6 : Giải các PT sau :
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt : 
d) 
Cách 1: Đặt 
Cách 2 :Đặt 
Bài 7 : Tìm m để PT sau có nghiệm : 
Bài 8 : Giải các hệ phương trình sau :
a) ; HD : Rút x; y; z và đặt 
b) HD : ĐẶT .
Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình:
 (C): 
Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho (x0+y0) nhỏ nhất.
HD : đặt :