Bài giảng môn toán lớp 12 - Hàm trùng phương

HÀM TRÙNG PHƯƠNG 
 y=ax4+bx2+c ( a ¹ 0 ) 
1/. MXĐ : D= R 
2/. y’= 4ax3+2bx
 y’’= 12ax2+2b 
3/. Hàm số có 3 cực trị Û y’=0 có 3 nghiệm phân biệt Û ab < 0 
 Hàm số có 1 cực trị Û y’=o có 1 nghiệm phân biệt Û ab ³ 0
4/.Hàm số có 2 điểm uốn Û y’’=o có 2 nghiệm phân biệt Û ab<0 
 hàm số không có điểm uốn Û y’’=o vô nghiệm hoặc nghiệm kép Ûab³0 
5/. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng 
6/. Hàm số luôn luôn có 1 cực trị trên trục tung 
7/. Tọa độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm hệ phương trình : Þax4+bx2+c =0 (1) 
 Û 
* Đồ thị hsố cắt Ox tại 1 điểm Û (1) có 1 nghiệm 
 Û (2) có nghiệm kép bằng 0 Û 
*Đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm pbiệt Û (1) có 2 nghiệm 
Û (2) có đúng 1 nghiệm dương Û 
Û ( nếu a có chứa tham số , xét trường hợp a =0 ) 
*Đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û (1) có 3 nghiệm 
Û (2) có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm bằng 0, 1 nghiệm dương 
Û 
*Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û (1) có 4 nghiệm pÛ (2) có 2 nghiệm dương Û 
*Đồ thị hàm số và Ox không cắt nhau (không có điểm chung )
Û(1) vô nghiệm Û Û
Bài 1 : Cho hàm số : y= x4-mx2+2m+5 (Cm)
a/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m= -2
b/. Định m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt 
c/. Tính diện tích hình phẳng bởi (C) và đường thẳng y=4 
Bài 2 : cho hsố : y=x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm)
a/. Định m để hàm số (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt 
b/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1
c/. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A (
Bài 3: Cho hàm số : y= (m+1) x4-4mx2+2 (Cm)
a/.Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1 
b/. Dùng đồ thị (C) , biện luận theo k số nghiệm phương trình :
2(x2-1)2 - k =0 
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y =2 
Bài 4 : Cho hàm số y= ax4+bx2+c
a/. Tìm a,b c biết đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẵng 4, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng -2 và tại điểm x=-1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6 
b/. KSHS với a,b,c vừa tìm được và vẽ (C) 
c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 
d/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành 
Bài 5: a/. KSHS : y=- x4 +5x 2 -4 
b/. Định m để phương trình : x4-5x2-m2+ . m =0 có 4 nghiệm pbiệt
Bài 6 : y=x4-mx2+4m -11
a/. KSHS với m=4 và vẽ (C) 
b/. Dùng đồ thị (C) , biện luận theo a số nghiệm phương trình :
 x4-4x2+5-a=0
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và y=5
Bài 7: y= x4+ax2+b 
a/. Xác định a,b để đồ thị nhận điểm I ( làm điểm uốn 
b/. KSHS với a,b tìm được ở câu a 
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành .
Bài 8: y=x4-x2+1 đồ thị (C)
a/. KSHS 
b/. Tìm A Ỵ Oy kẻ đến (C) được 3 tiếp tuyến 
c/. Biện luận theo m số nghiệm phương trình :-x4+x2+m =0 
HD: ptdt d qua A , hsg k : y= kx +n ( A (0,n) )
ĐKTX Û hệ phương trình sau có nghiệm Þ 3x4 -x2 +n -1 =0 
YCBT Û Û A(0,1) 
Bài 9 : y=x4+mx2-(m+1) (Cm)
a/. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến với (Cm) tại M1 , M 2 vuông góc với nhau 
b/. KSHS với m= -2 
Bài 10 : y= mx4 + ( m2 -9 ) x2 +10 
a/. KSHS khi m=1 
b/. Tìm m để hàm số có 3 cực trị 
Bài 11 : y= x4 -2mx2 + m3 - m2 ( Cm) 
a/. KSHS khi m=1 
b/. Định m để (Cm) tiếp xúc Ox tại 2 điểm phân biệt 
HD bài 11 : 
phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox 
x4-2mx2+m3-m2 =0 (1) Û 
Ycbt Û (2) có nghiệm kép dương Û m=2 
Bài 12 : y=-x4+2(m+1) x2 -2m -1 (Cm) 
a/.Định m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng 
b/. Gọi (C) là đồ thị khi m=0 .Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) .
HD: a/. ¸ Þ 9X1 =X2 Þ10X1=X1+X2
y=-x4+2(m+1)x2-2m-1
X1= 
X2=Þm=4 hoặc m=
b/. M(0,a) ỴOy 
ptđt (d) : y=kx+a
 d tiếp xúc (C) ÛHệ phương trình sau có nghiệm 
 Þ 3x4-2x2 -1-a =0 (*)
Ycbt Û (*) phải có nghiệm x=0 ; x=0 là nghiệm của (*) Þ a= - 1 
 Vậy : M(0; - 1) 
Bài 13 : y= x4 - 5x2 +4 
a/. KSHS 
b/. Tìm m để đường thẳng y =m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt 
c/. Tìm m để (C) chắn trên đường thẳng y=m 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau 
HD: b/. 
b/. Với điều kiện trên : x1<x2<x3<x4 Þx1= - x4 ; x2= x3
ycbt Û x4 = 3 x3 Ûm=
Bài 14: y= (1-m ) x4-mx2 +2m -1 (Cm) 
a/. Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị 
b/. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1 
c/. KSHS với m tìm được ở câu b , đồ thị (C) 
d/. Định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 
e/. Dùng đồ thị( C) , biện luận theo k số nghiệrm phương trình : 
 x2 . (x2-2) -3k=0
Bài 15: y = -x4+2mx2+m+1 (Cm)
a/. KSHS khi m = - 1
b/. Với những giá trị nào của m thì (Cm) luôn luôn lồi ? 
c/. Khi m=1 tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Bài 16: y= kx4 + (k-1)x2 + (1-2k) 
a/. Định k để đồ thị của hàm số chỉ có 1 cực trị 
b/. KSHS khi k= có đồ thị (C) 
c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) qua gốc toạ độ 
Bài 17: y =
a/. KSHS và vẽ (C) 
b/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y=
c/. Viết pttt của (C) qua A(
Bài 18 : y= m2x4-mx2-1 (Cm)
a/. KSHS khi m=1 , đồ thị (C) 
b/. Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến // đường thẳng 2x +y -1=0
c/. Tìm m để hàm số đã cho chỉ có 1 cực trị 
Bài 19 : y = x4-2(m+2)x2+2m+3 (Cm)
a/. Định m để đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng 
b/. KSHS 
c/. Tuỳ theo giá trị của k , biện luận số nghiệm phương trình : 
x4 -10x2 +k =0 bằng phương pháp đồ thị và bằng phép tính 
Bài 20 : 
Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 
1) Tìm m để hàm số có ba điểm cực tri, và 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác dều.
2) Khảo sát khi m = 1. Tìm trên đồ thị các điểm mà tiếp tuyến tại đó còn có hai điểm chung với đồ thị ( ko kể tiếp điểm).
Bài 21 : 
Cho hàm số : 
1/. Khảo sát hàm số khi m= 1
2/. Tìm m để hàm số (1) cĩ 3 cực trị 	ĐHKB-2002
Bài 22: : Cho hàm số : 
1/. Khảo sát hàm số khi m=8
2/. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tạI 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng
Bài 23: Cho hàm số ( C ) 
 Cho điểm M trên (C ) cĩ hồnh độ x= a với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại hai điểm khác với M . 
Giải : Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ hồnh độ x=a là : 
y=( 2a3-6a).(x –a)+=
PThđgđ của © và D; 
Ycbtthì phương trình x2+2ax+3a2-6=0 phải cĩ hai nghiệm phân biệt khác a
Bài 24 : Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A cĩ thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị hàm số : y= x4 –x2 +1
Giải : Gọi A( 0, y0) là điểm trên trục tung 
Phương trình đường thẳng d qua A, hsg là k : y= kx+ y0
ycbt