Bài giảng môn toán lớp 12 - Hình giải tích trong không gian

Hình giải tích trong không gian
1.[ĐHTCKTHN_95] Xác định l và m để mặt phẳng (P): 5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng a(3x – 7y + z - 3) + b(x – 9y – 2z + 5) = 0	đ l = -15, m = -11
2.[ĐHSPHN2_00] Cho điểm A(1; -1; 1) và hai đường thẳng 
 (d1): (d2): 
 CMR (d1), (d2) và A cùng thuộc một mặt phẳng 
 đ Xây dựng mp (P) qua (d2) và A, c/m (d1) (P)
3.[ĐHNNI_95] Lập PT mp chứa đường thẳng và vuông góc với mp 
 (P): x - 2y + z + 5 = 0	đ 11x - 2y -15z – 3 = 0
4.[ĐHKT_96] Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b , c > 0. Lập PT tổng quát của mp(ABC) và tính diện tích của tam giác ABC.	đ S = /2
5.[ĐHNNI_96] Lập PT mp(P) chứa đường thẳng (d1) và song song với (d2)
 (d1): (d2): 
	đ 11x – 2y -15z – 3 = 0
6.[ĐHKTHN_97] Viết PT mp (P) đi qua A(1; 2; 1) và chứa đường thẳng (d): 
	đ 15x – 11y – z + 8 = 0
7.[ĐH Nông Lâm_94] CMR hai đường thẳng sau vuông góc với nhau
 (d1): (d2): 
8.[ĐHKT TPHCM_94] Lập PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng
 (d1): (d1): đ 
9.[ĐH Nông Lâm TPHCM_95] Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
 (d1): x = 1 – t, y = t, z = -t và (d2): x = 2t, y = 1 – t, z = t	đ /2
10.[ĐH Ngoại Ngữ_96] Viết PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
 (d1): x = -7 + 3t, y = 4 – 2t, z = 4 + 3t và (d2): x = 1 + t, y = -9 + 2t, z = -12 – t 
	đ 
11.[ĐH Thăng Long_A96] Cho hai đường thẳng (d1): x = -y + 1 = z – 1 và (d2): -x + 1 = y - 1=z
Tìm toạ độ điểm A thuộc (d1) và B thuộc (d2) để đường thẳng AB vuông góc với (d1) và (d2)
	đ A(-1/4; 5/4; 3/4), B(1/4; 7/4; 3/4)
12.[ĐH Huế_97] Cho hai đường thẳng (d1): và (d2): 
Chứng tỏ (d1) vuông góc với (d2) và viết PT đường vuông góc chung của chúng
	đ 
13.[HVKTQS-98] Viết PT tham số đường vuông góc chung của AC và BD biết A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1)	đ x = 45/17+ t, y = 45/17 – t,z =1+ 7t
14.[ĐHSP TPHCM_94] Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mp(P), biết rằng 
 (d): (P): 3x – 2y – z + 15 = 0	đ 
15.[HVCNBCVT_00] Viết PT hình chiếu của (d2) theo phương (d1) lên mp(P), biết rằng
 (d2): , (d1): , (P): x + y + z + 3 = 0
	đ 
16.[ĐHSP Hải Phòng_01] Viết PT hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): trên mp(Oxy)đ Tách một mp đi qua (d) không chứa z, Đ/S 
17.[ĐH Mỏ_94] Lập PT đường thẳng đi qua M(-4; -5; 3) cắt (d1) và (d2), trong đó 
 (d1): , (d2): đ 
18.[ĐHKTQD_95] Lập PT đường thẳng đi qua A(-1; 2; -3), vuông góc với = (6; -2; -3) và cắt đường thẳng (d): 	đ 
19.[ĐHTL_97] Viết PT đường thẳng đi qua A(3; -2; -4) song song với mp(P): 3x – 2y – 3z –7=0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 	đ 
20.[ĐHTL_98] Cho mp(P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng (d): 
 a. Xác định giao điểm A của (d) và (P)	đ A(2; -5; 4)
 b. Viết PT đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P)
	đ 
21.[ĐHXD_98] Viết PT đường thẳng (d) vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 và cắt cả hai đường 
thẳng (d1): , (d2): 	đ 
22.[ĐHTCKT TPHCM_95] CMR đường thẳng (d): nằm trong mp(P): 4x – 3y + 7z – 7 = 0
23.[ĐHDL Phương Đông_A00] Cho đường thẳng (d): và hai điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 1). Kẻ AA’, BB’ vuông góc với đường thẳng (d).Tính độ dài đoạn A’B’
	đ 11/
24.[ĐHLHN_96] Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh D(4; -1; 0) của tứ diện ABCD biết A(1; 1; 1), B(-2; 0; 2), C(0; 1; -3)	đ 39/
25.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2; 2; 4), A(-2; 2; 0), B(-5; 2; 0), C(-2; 1; 1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và BC	đ 3/
26.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho hai đường thẳng song song (d1): và (d2): 
 a. Viết PT mp(P) chứa (d1) cà (d2)	đ 63x + 109y -20z + 76 = 0
 b. Tính khoảnh cách giữa (d1) và (d2)	đ 25
27.[ĐH Kiến Trúc HN_97] Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 1) đến đường thẳng (d): 	đ 347/26
28.[ĐHNT_96] Tìm điểm A thuộc mặt cầu (V): x2 + y2 + z2 -2x + 2z – 2 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến mp(P): 2x – 2y + z + 6 = 0 đạt GTNN, GTLN
 đ A1(-1/3; 4/3; -5/3), dmin = 1/3, A2(7/3; -4/3; -1/3), dmax = 13/3(HD: Xây dung đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mp(P), cắt mặt cầu tại A1 và A2 )
29.[ĐHTH TPHCM_94] Cho đường thẳng (d): 
 a. Xác định vectơ chỉ phương của (d)	đ 
 b. CMR đường thẳng (d) tạo với trục Oz một góc không phụ thuộc đ cos((d); Oz) = 1/
30.[ĐEHY_D TPHCM_94] Xác định góc nhọn tạo bởi đương thẳng (d) và mp(P), biết rằng
 (d): (P): 3x + y – z + 1 = 0	đ sin = 19/77
31.[ĐHNT TPHCM_94] Lập PT mp chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng
 (d): (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z – 15 = 0
 đ (P1): 3x - 4y + 2z – 10 = 0, (P2): 2x - 3y + 4z – 10 = 0
32.[HVQY_95] Lập PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và song song với hai đường thẳng (d1): , (d2): 
 đ (P1): 4x + 6y + 5z – 103 = 0, (P2): 4x + 6y + 5z + 205 = 0
33.[ĐHSP Vinh_A99] Cho điểm I(1; 2; -2) và mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0
 a.Lập PT mặt cầu (S) tâm I sao cho giao điểm của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8p 
 	đ (S):(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25 
 b. CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (): 2x – 2 = y + 3 = z
 đ Viết () dưới dạng tham số rồi thay vào PT của mặt cầu (S) dẫn tới PT có một nghiệm kép
34.[ĐHTL_00] Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4 và mp(P): x + z = 2. CMR (P) cắt (S).Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến (C) của (P) và (S)
	đ (C) có tâm I(1;0;1),bán kính r =
35.[ĐH Kiến Trúc_94] Cho hai mp (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng (d): . Lập PT mặt cầu có tâm I = (d) (P) sao cho (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20p 	đ (x - 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 110/3
36.[ĐHL_95] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (): và tiếp xúc với hai mp (P): x + 2y – 2z – 2 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0
 đ Do (P) song song với (Q) nên tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A và B là giao điểm của () với (P) và (Q)	đ (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 3)2 = 1
37.[ĐHAN_98] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P1) và (P2), biết (d): , (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0, (P2): x + 2y + 2z + 7 = 0
	đ (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 4/9
38.[ĐH Thái Nguyên_01] Cho bốn điểm A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2)
 a. CMR ABCD là hình tứ diện và có hai cặp cạnh đối bằng nhau
 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD đ d = EF = 4, với E, F là trung điểm AB, CD
 c. Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD	đ x2 + (y – 4)2 + (z – 1/2) = 29/4
Chú ý: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều. Trong tứ diện này, trọng tâm trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp; đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó. 
39.[ĐHBK TPHCM_94] Cho tứ diện với bốn đỉnh A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2)
 a. Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnhD xuống mp(ABC)	đ 1/
 b. Viết PT tham số của đường cao nói trên. Tìm toạ độ hình chiếu D trên mp(ABC)
	đ H(43/11; 14/11; 23/11)
40.[HVKTQS_98] Cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD
	đ D’(81/25; 13/5; 33/25), V = 8
41.[ĐH Cần Thơ_01] Cho A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3)
 a. Kiểm chứng A, B, C không thẳng hàng. Viết PT mp(P) chứa A, B, C. Tímh khoảng cách từ gốc O tới D.	đ (P): x + 2y + 2z – 9 = 0, d = 3 
 b. Tính diện tích tam giác ABC và thể tích OABC.	đ S = 3/2, V = 3/2
42.[ĐHBKHN_96] Cho A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1)
 a. CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc
 b. Tính góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC)	đ sin = /5
 c. Lập PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD	đ (x + 1)2 + (y + 3/2)2 + (z- 4)2=129/4
43.[ĐHSP Quy Nhơn_97] Cho M(1; 0; 2), N(1; 1; 0), P(0; 1; 2)
 a. Viết PT mp () đi qua M, N, P	đ 2x + 2y + z – 4 = 0
 b. Gọi A, B, C là giao điểm () với Ox, Oy, Oz. Tính thể tích tứ điện ABCD và diện tích tam giác ABC	đ V = 8/3, S = 6
 c. CMR ba đường thẳng AP, BM, CN đồng quy tại G, tìm toạ độ diểm G
 đ Ba trung tuyến đồng quy tại G(2/3;2/3;4/3) 
 d. Gọi a1, a2, a3 là góc tạo bởi với . CMR cos2a1 + cos2a2 + cos2a3 = 1
 	đ cosa1 = cosa2 = 1/, cosa3 = 2/
44.[ĐHSP Vinh_97] Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có A trùng gốc toạ độ, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Điểm M, N thay đổi trên đoạn AB’, BD tương ứng sao cho AM = BN = a, với 0 < a < 
 a. Viết PT đường thẳng MN đ 
 b. Tìm a để MN đồng thời vuông góc với AB’ và BD	đ a = 
 c. Xác định a để đoạn MN nhỏ nhất và tính độ dài đoạn đó đ a = , MNmin = 
 d. CMR khi a thay đổi thì các đường thẳng MN luôn song song với một mp cố định, viết PT mp đó 	
 đ Cho a hai giá trị đặc biệt để xây dựng mp cần tìm, chẳng hạn một mp cần tìm là y+z=0
45.[ĐHBKHN_98] Cho đường thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 – t, z = 3t và mp(P): 2x – y – 2z +1=0
 a. Tìm toạ độ các điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mp(P) bằng 1	đ M1(9; -2; 12), M2(-3; 4; -6)
 b. Xác định toạ độ điểm K đối xứng với I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) đ K(4; 3; 3)
46.[HVKTQS_95] Cho A(-1; 3; -2) và B(-9; 4; 9) và mp(P): 2x – y + z + 1 = 0. Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất.	đ K(-1; 2; 3)