Bài giảng môn toán lớp 12 - Một số dạng toán về số phức

 1 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 
I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 
Dạng 1) Bài toán liên quan đến biến đổi số phức 
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26z i= + 
Giải: 
3 18 26z i= + ( ) ( ) ( )3 23 2 3 3 22 33 1818 26 18 3 26 33 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y
 − =
⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −
− =
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được 1 3, 1
3
t x y= ⇒ = = . Vậy z=3+i 
Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2;z z thoả mãn 1 2 1 2; 3z z z z= + = Tính 1 2z z− 
Giải: 
Đặt 1 1 1 2 2 2;z a b i z a b i= + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b
 + = + =

+ + + =
( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1a b a b a a b b z z⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = 
Dạng 2) Bài toán liên quan đến nghiệm phức 
Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − = 
Giải: Ta có ( )22' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i∆ = − − − = − − = − Từ đó tìm ra 2 nghiệm là 
1 25 12 , 3 4z i z i= − = + 
Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = 
Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 
z1 = i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−−
=
+
−
=
+
+−
z2 = i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−−
=
+
−
=
+
−−
Ví dụ 3) Giải phương trình 3 29 14 5 0z z z− + − = 
Giải: Ta có phương trình tương đương với ( )( )22 1 4 5 0z z z− − + = . Từ đó ta suy ra 
phương trình có 3 nghiệm là 1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i= = − = + 
Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 22 5 3 3 (2 1) 0z z z z i− + + + + = biết phương trình có 
nghiệm thực 
Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 
3 22 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z
 − + + =

+ =
1
2
z
−
⇒ = thoả mãn cả 
hai phương trình của hệ:Phương trình đã cho tương đương với 
( ) ( )22 1 3 3 0z z z i+ − + + = . Giải phương trình ta tìm được 1 ; 2 ; 12z z i z i= − = − = + 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 2 
Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = biết phương trình có 
nghiệm thuần ảo: 
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có 
( ) ( )3 2 2 3 2(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0bi i bi i bi i b b b b b i+ − + − − = ⇔ − + − + + − = 
2
3 2
0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b
 − =
⇔ ⇒ = ⇒ =
− + + − =
 là nghiệm, từ đó ta có phương trình tương 
đương với ( )( )2 (1 ) 2 0z i z i z− + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm được các nghiệm 
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2z z= . 
Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2a bi a bi+ = + 
2 2
2
a b a
ab b
 − =
⇔ 
= −
 Giải hệ trên ta tìm được 1 3( , ) (0;0), (1;0), ( ; )
2 2
a b = − ± . Vậy phương 
trình có 4 nghiệm là 1 30; 1;
2 2
z z z i= = = − ± 
Dạng 3) Các bài toán liên quan đến modun của số phức: 
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 
1 2 2z i z i+ − = − + và 5z i− = 
Giải: 
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −

+ − =
( )
( )
2 2 2 2
22
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y
 + + − = − + −
⇔ 
+ − =
2
3
10 6 4 0
y x
x x
=
⇔ 
− − =
1, 3x y⇔ = = hoặc 
2 6
,
5 5
x y= − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn điều kiện. 
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −
a) Tìm m để 1.
2
z z = 
b)Tìm m để 1
4
z i− ≤ 
c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. 
Giải: 
a) Ta có 
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2 2
1 2 (1 ) 2 (1 2 )
1 2 1 2 1 2 1 4
i m m mii m m m m m m
z
m mi m mi m mi m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 3 
( )
2 2
2 2 2 2 22
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 11
m m i m m mi z i
m m m mm
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + ++
( )
2
2
22
1 1 1
. 1 2 1
2 21
m
z z m m
m
+
⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+
b) Ta có 
2
2 2 2 2
1 1 1 11
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ + + + + 
⇔ 
2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 116 1(1 ) (1 ) 16 1 6 15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +
c) Ta có ( )
2
max2 22
1 1 1 | | 1 0
11
m
z z m
mm
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
++
Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 4 5z i− − = Tìm số phức z có 
modun lớn nhất, nhỏ nhất. 
Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( )2 22 4 5x y− + − = Suy ra tập hợp 
điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4) bán kính 5R = 
Dễ dàng có được (2 5 sin ;4 5 cos )M α α+ + . Modun số phức z chính là độ dài véc tơ 
OM. 
Ta có |z|2= 2 2 2(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )OM α α α α= + + + = + + 
Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( )2 2 2(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5α α α α+ ≤ + + = 
5 sin 2cos 5α α⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5z⇒ ≤ ≤ . Vậy 
min
1 2| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z iα α α α− −= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z iα α α α= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn điều kiện 2 4 2z i z i− − = − .Tìm số phức z có 
moodun nhỏ nhất. 
Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra 
( ) ( ) ( )2 2 222 4 2 4 0x y x y x y− + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn 
số phức z là đường thẳng y=-x+4 
Ta có 2 2 2 2 2 2(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ đó suy 
min 2 2 2 2 2 2z x y z i= ⇔ = ⇒ = ⇒ = + 
Dạng 4) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: 
a) 3z
z i
=
−
 b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + = 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 4 
Giải: 
Gọi z=x+yi 
a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 29 93 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − = 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 9 3(0; ),
8 8
I R = 
b) Từ giả thiết ta có ( )22 2 23 (4 ) 6 8 25x y x y x y+ = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các điểm 
M là đường thẳng 6x+8y-25=0 
c) Giả sử z =x+yi thì 4z i z i− + + = ( ) ( )2 22 21 1 4x y x y⇔ + − + + + = ⇔ 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
22 22
22 2 2 22 2 2
1 161 4
2 1 41 16 8 1 1
x yx y
x y yx y x y x y
  + + ≤+ + ≤ 
⇔ ⇔ 
+ − = + + − = − + + + + + 
( ) ( )
22
22
2 2
2 2 2
1 16(1)1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4 4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y y
 + + ≤ + + ≤ 
 
⇔ + + + = + + ⇔ + = 
 ≥ − ≥ − 

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung độ các điểm nằm trên (Elip) 
luôn thoả mãn điều kiện y >-4. Vậy tập hợp điểm M là Elip có pt 
2 2
1
3 4
x y
+ = . 
Ví dụ 2) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số 
phức ( )1 3 2i zω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1z − ≤ 2. 
Giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ 
Ta có 1z − ≤ 2 ( )2 21 4a b⇔ − + ≤ (1) 
Từ 
( ) ( )( ) 3 2 3 1 31 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 = − + − = − + 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔ 
= + − = − +  
Từ đó ( ) ( ) ( )22 2 23 3 4 1 16x y a b − + − ≤ − + ≤  do (1) 
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( ) ( )223 3 16x y− + − ≤ ; tâm ( )3; 3I , bán 
kính R=4. 
Ví dụ 3) Xác định tập hợp các điểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số 
phức z sao cho số 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
. 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 5 
Giả sử z=x+yi, thì ( )( )
( ) ( )
( )2 2
2 222
2 2 2
x yi x yix yiz
z x yi x y
− + + +   
− +
−    
= =
+ + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2 2
4 2 2 4 4
2 2 2
x y yi x x x y y i
x y x y x y
− + + + − + + −
= = +
+ + − + − +
 (1) 
Vì số phức 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
, nên ta có: 
( ) ( )
2 2
2 22 2
4 4
cos sin
3 32 2
x y y i i
x y x y
pi pi
τ
+ −  
+ = + 
 − + − +
 với 0τ > 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4
22
4 3
22
x y
x y
y
x y
τ
τ
 + −
=
− +
⇒ 

=

− +
 Từ đó suy ra y>0 (1) và 
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 43 4 (2)
4 3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =   + −    
.Từ (1) và (2) suy ra 
tập hợp các điểm M là đường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). 
Dạng 5) Chứng minh bất đẳng thức: 
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1z ≤ thì 2 1 1
2
z
iz
− ≤
+
Giải: 
Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 21 1z a b a b= + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 
2 2
2 2
4 (2 1)2 1 2 (2 1)
2 (2 ) (2 )
a bz a b i
iz b ai b a
+ −− + −
= =
+ − +
− +
.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 
với 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +
Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn điều kiện 3 3
1 2z
z
+ ≤ . Chứng minh 
rằng: 1 2z
z
+ ≤ 
Giải: Dễ dàng chứng minh được với 2 số phức 1 2,z z bất kỳ ta có 1 2 1 2z z z z+ ≤ + 
Ta có 
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 13 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +   
   
Đặt 
1
z
z
+ =a ta có ( ) ( )23 3 2 0 2 1 0a a a a dpcm− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 6 
II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC 
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 
a) ( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
 b) ( ) ( )1 cos sin 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +   
Giải: 
a) ( ) ( )( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +
2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2tan tan
2 22cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +
- Khi tan 0
2
ϕ
> dạng lượng giác là: tan cos sin
2 2 2
iϕ pi pi    − + −    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
< dạng lượng giác là: tan cos sin
2 2 2
iϕ pi pi    − +    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
= thì không có dạng lượng giác. 
( ) ( )) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +  
   
= − +   
   
2sin cos isin
2 2
pi piϕ ϕ ϕ    = − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác định. 
- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( 2sin ) cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + + +    
    
Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 
a) ( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
 b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + 
Giải: 
a) ( )
2
sin cos1 cos sin 1 cos sin 2 2tan tan
1 cos sin 2 22cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
ii i i
i i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
−
− +
− −
= = = −
+ + + −
Khi tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là tan
2
ϕ
cos sin
2 2
ipi pi    − + −    
    
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 7 
Khi tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là - tan
2
ϕ
cos sin
2 2
ipi pi    +    
    
Khi tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác. 
b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + 
2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
pi piϕ ϕ ϕ
   
= − +   
   
    
= − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác định 
- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( )2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + + +    
    
Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN 
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2 2 2 3z i= − + 
Giải: Ta có: 2 2 2 22 2 3 4 co s sin
3 3
z i z ipi pi = − + ⇔ = + 
 
Do đó: 2 2 2 22 2 3 4 cos sin
3 3
z i z ipi pi = − + ⇔ = + 
 
2 22 cos sin
1 33 3
1 32 cos sin
3 3
z i
z i
z iz i
pi pi
pi pi
  
= +   = + ⇔ ⇔ 
   = − −
= − +  
 
Từ đó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và 3− 
Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: ( )1 3z i− + biết một acgumen của z 
bằng
3
pi
Giải: z có một acgumen bằng
3
pi
 nên 1 3
2 2
z z i
 
= +  
 
Do đó: ( )1 3z i− + = 1 3( 2) 2 2z i
 
− +  
 
- Khi 2z > , một aacgumen của ( )1 3z i− + là 3pi 
- Khi 0 2z< < , một acgumen của ( )1 3z i− + là 43pi 
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 8 
- Khi 2z = thì ( )1 3z i− + =0 nên acgumen không xác định. 
Ví dụ 3) Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , tìm một 
acgumen của: 
a) 22z b) 1
2z
− c) z z+ d) 2z z+ 
Giải: 
1z = , z có một acgumen là ϕ . Do đó cos sinz iϕ ϕ= + 
a) ( ) ( )2 2cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = + ⇒ = − 
Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕ 
b) ( )cos sin cos sin 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = − ⇒ = − 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ pi ϕ ϕ pi
⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +
Vậy 1
2z
− có một acgumen là ϕ pi+ 
c) Ta có: 2cosz z ϕ+ = 
Nếu cos 0ϕ > thì có một acgumen là 0 
Nếu cos 0ϕ < thì có một acgumen làpi 
Nếu cos 0ϕ = thì acgumen không xác định. 
d) 2 cos 2 sin 2 , cos sinz z i z iϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = − 
( )2 3 3cos 2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
32cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= + 
 
Vậy acgumen 2z z+ là 
2
ϕ
 nếu 
3
cos 0
2
ϕ
> , là 
2
ϕ
pi+ nếu 
3
cos 0
2
ϕ
< và không xác định 
nếu 
3
cos 0
2
ϕ
= 
Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin
7 7
z ipi pi= − − . Tính môđun, acgumen và viết z dưới 
dạng lượng giác. 
Giải: 
Ta có: 
2
2 8 41 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
pi pi pi pi pi     
= − + = − = + =     
     
Đặt ( )arg zϕ = thì 
2
8
sin sin 47 7tan cot tan4 7 141 cos 2sin
7 7
pi pi
pi piϕ
pi pi
−
 
= = = = − 
 
−
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 9 
Suy ra: ,
14
k k zpiϕ pi= − + ∈ 
Vì phần thực 1 cos 0
7
pi
− > , phần ảo sin 0
7
pi
− < nên chọn một acgumen là
14
pi
− 
Vậy 42cos cos i sin
7 14 14
z
pi pi pi    
= − + −    
    
Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1
3
z = và một 
acgumen của 
1
z
i+
 là 3
4
pi
− 
Giải: 
Theo giả thiết 1
3
z = thì ( )1 cos sin
3
z iϕ ϕ= + 
( ) ( ) ( )( )1 1cos sin cos sin3 3z i iϕ ϕ ϕ ϕ⇒ = − = − + − 
Vì 1 21 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i ipi pi
   
+ = + = +       
Nên 1 os sin
1 4 43 2
z
c i
i
pi piϕ ϕ    = − − + − −    +     
Do đó: 3 2 2 , .
4 4 2
k k kpi pi piϕ pi ϕ pi− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ vậy 1 os sin .
3 2 2
z c ipi pi = + 
 
Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: 3 1z i
z i
+
=
+
 và z+1 có một ácgumen là 
6
pi
− 
Giải: Từ giả thiết 
3 1z i
z i
+
=
+
( ) ( )2 22 23 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒ = −
z+1 có 1 acgumen bằng 
6
pi
− tức là ( )1 [ os sin ] 36 6 2z c i ipi pi ττ    + = − + − = −       với r>0. 
Ta có z+1=x+1-2i suy ra 
31 42 2 3 1 2
2 3 12
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ = = 
⇔ ⇒ = − − 
= −
− = −

Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP 
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 
a) 0 2 4 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n nn n n n nS C C C C C−+ + + + += − + − + − 
b) 1 3 5 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n nn n n n nS C C C C C− ++ + + + += − + − + − 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 10 
Xét 
( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ..... ... ( .. )n n n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C C i C C C+ + + ++ + + + + + + + + ++ = + + + + = − + − + − + −
Mặt khác ta lại có: 
( ) 2 12 1 (2 1) (2 1)1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n ni i i ipi pi pi pi
++ + +   
+ = + ⇒ + = +      
=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n nn n k ki ipi pi pi pi+ + + +   + = +      
3 32 2 cos sin 2 2
4 4
n n ni ipi pi = + = − +  
Từ đó ta có 
a) S=-2n 
b) S=2n 
Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: 
a) 2 4 61 ..........
n n nS C C C= − + − + 
b) 1 3 5 7 ..........n n n nS C C C C= − + − + 
Giải: 
Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 71 ..... 1 ... ( ....)n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − + 
( )1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n ni i i ipi pi pi pi   + = + ⇒ + = +      
Từ đó ta có kết quả 
a) 2 cos
4
n nS pi= b) 2 sin
4
n nS pi= 
Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 11 ... 2 2cos
3 3
n
n n
nC C pi + + + = + 
 
Giải: Ta có 0 1 2 32 ....n nn n n n nC C C C C= + + + + (1) 
Xét 32 2cos sin 1
3 3
ipi piε ε= + ⇒ = 
Ta có 
( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 41 ...... .....n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + (2) 
( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 41 ...... .....(3)n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + 
Ta có 2 21 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c ipi pi pi piε ε ε ε+ + = + = − + = + 
Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 6 0 3 62 1 1 3 ... 2 2cos 3 ...3
nnn n
n n n n n n
nC C C C C Cpiε ε+ + + + = + + + ⇔ + = + + + 
3 6 11 ... 2 2cos
3 3
n
n n
nC C pi ⇔ + + + = + 
 
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 11 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Giải phương trình sau trên tập số phức: 
3)a z z= ) 3 4b z z i+ = + ( )22) 4 3c z z i− = 2) 2 1 0d z z i+ + − = 
2) 4 5 0e z z+ + = 2)(1 ) 2 11 0f i z i+ + + = 2) 2( ) 4 0g z z z− + + = 
2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: 
) 1 4 2 5xa i −+ − ≤ 2
1 7) log 1
4
ib x+ − ≤ 2
1 2 2)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥ 
− 
3) Tìm số phức z sao cho ( 2)( )A z z i= − + là số thực 
4) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện 75;
1
z i
z
z
+
=
+
 là số thực 
5) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 
điều kiện 
( )22) 9a z z− = 2) 4
2
z ib
z i
−
=
+
 )3 3c z i z z i+ = + − ) 3 4 2d z i+ − = ) 1e z z i+ ≥ + 
) 4 3f z z i= + − 2) 1
2
z ig
z i
−
>
+
 )2 2h z i z z i− = − + 1
3
2 2) log ( ) 1
4 2 1
z
k
z
− +
>
− −
6) Trong các số phức thoả mãn điều kiện 32 3
2
z i− + = . Tìm số phức z có modun lớn 
nhất,nhỏ nhất. 
7) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện ( ) ( )1 2z z i− + là số thực và z nhỏ nhất. 
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i z+ = 
9) Tìm số phức z thoả mãn 2 2z z+ = và 2z = 
10) Giải hệ pt sau trong tập số phức: 
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +

− =
1 2
1 2
3
) 1 1 3
5
z z i
b i
z z
+ = −

+ + =

2
1 2
2
2 1
1 0)
1 0
z z
c
z z
 − + =

− + =
12 5
8 3)
4 1
8
z
z id
z
z
 −
=
−

−
=

−
3 2
2010 2011
2 2 1 0)
1 0
z z z
e
z z
 + + + =

+ + =
11) Cho phương trình 3 22 (2 1) (9 1) 5 0z i z i z i− + + − + = có nghiệm 
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 
12) Tìm phần thực phần ảo của 20112011
1
w
w
z = + biết 1 w 1
w
+ = 
13) Tìm n nguyên dương để các số phức sau là số thực, số ảo: 
2 6)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=   + 
4 6)
1 5
nib z
i
+ 
=  
− + 
7 4)
4 3
ni
c z
i
+ 
=  
− 
3 3)
3 3
id z
i
 
−
=   
− 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 12 
14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng 
( )0 2 4 6 2 22 2 2 2 2 23 9 27 ..... 3 2 cos 3
n n n
n n n n n
nC C C C C pi− + − + + − = 
15) Tìm số phức z sao cho 2z z= − và một acgumen của z-2 bằng một acgumen 
của z+2 cộng với 
2
pi
16) Giải phương trình 
a) 2 2 00
2
tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + − b) 2 2 00
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i= + + − 
Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com