Bài giảng môn toán lớp 12 - Một số phương pháp giải phương trình

Một số phương pháp giải phương trình 
1. Đưa về hệ đối xứng loại 2: 
a. Nhận diện: vế trái và vế phải thường là các kiểu hàm số ngược nhau (ví dụ như 
hàm nâng lên lũy thừa và hàm căn thức, hàm số mũ và hàm log) 
b. Phương pháp: đặt ẩn phụ phù hợp để đưa về dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 
c. Ví dụ: 
Giải phương trình: √ 
TXĐ: , khi đó đặt √ 
 ,ta cũng có và lập được hệ phương trình sau: 
 { 
Bằng việc trừ vế theo vế, việc giải hệ này là đơn giản hơn nhiều so với cách lũy thừa phương 
trình đầu tiên lên. 
d. Bài tập: 
1/ 
2. Tham số hóa hằng số (còn gọi là phương pháp “Hằng số biến thiên”) 
a. Nhận diện: các hằng số có một mối liên hệ tương tự như các hàm số bậc hai. 
Phương pháp này thường khó để nhận ra, muốn áp dụng cần thử nhiều trường hợp 
để xem cách đặt như thế nào sẽ giúp đơn giản hóa phương trình 
b. Phương pháp: Đặt một hằng số trong đề bài là m, với có dạng đa thức bậc 
hai. Sau đó giải đa thức bậc hai theo m, rồi mới giải 2 phương trình thu được theo 
x 
c. Ví dụ: 
Giải phương trình: 
√ 
ĐK : , khi đó, ta chú ý rằng √ √ và , đặt √ , ta có : 
 , dễ dàng giải được phương trình này do biệt số 
 có dạng bình phương đúng, từ đó ta sẽ thu được hai phương trình bậc hai của x theo m. 
d. Bài tập : 
1/ 
2/ √ 
3. Phương pháp đánh giá 
a. Nhận diện : các phương trình duy nhất mà chúng ta giải được là các phương trình 
đa thức và lượng giác cơ bản, mọi phương trình đều phải đưa về dạng này để giải 
quyết. Do đó, nếu bài toán chứa nhiều dạng hàm số khác nhau như căn thức, lũy 
thừa, logarit, thường sẽ phải đánh giá bằng bất đẳng thức hoặc tính đồng biến 
nghịch biến để chứng minh vô nghiệm hoặc tồn tại nghiệm duy nhất. 
b. Phương pháp : có rất nhiều công cụ để áp dụng phương pháp này (cần lưu ý về 
điều kiện dấu bằng xảy ra để áp dụng cho phù hợp, có thể đoán nghiệm đẹp trước 
để dự đoán cách làm) 
i. Bất đẳng thức 
ii. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 
iii. Tọa độ, vector 
c. Ví dụ : 
VD1 : √ √ 
 √ 
Nhận xét : vế trái là tổng các hàm căn thức, vế phải là hàm đa thức, nếu thực hiện bình phương 
sẽ ra đa thức bậc cao rất khó giải, vì thế ta thực hiện phương pháp đánh giá cho bài này 
Đầu tiên, đoán nghiệm : Dùng hàm SOLVE của máy tính, ta thu được 
 là một nghiệm của 
phương trình, ta sẽ viết lại vế trái và vế phải để xuất hiện biểu thức : 
VT = √ √ 
 √ 
 | | | 
| | | (vì x = 
 là nghiệm nên dấu bằng vẫn có thể xảy ra) 
 | 
 | (lưu ý một lần nữa về điều kiện dấu bằng xảy ra) 
 (1) 
Đẳng thức xảy ra khi 
VP = 
[ ] 
 (2) 
Đẳng thức xảy ra khi 
Kết hợp (1) và (2), ta có nghiệm của phương trình là 
VD2 : √ 
Dễ thấy VT nên VP , suy ra 
Nhận xét : Nếu ta lũy thừa để khử căn sẽ nhận được phương trình bậc 12 mà việc giải gần như là 
không thể, do đó chúng ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá để tìm điểm đặc biệt của 
phương trình 
Đoán nghiệm : dùng hàm SOLVE, ta được 
, áp dụng BĐT AM-GM (BĐT Cauchy) cho vế 
phải, với việc chọn điểm rơi thích hợp (dấu bằng xảy ra), dấu căn thức sẽ biến mất để đưa 
phương trình đã cho về phương trình đa thức có thể giải được : 
VP = √ 
Từ đó ta có bất phương trình : 
   
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy nghiệm phương trình là 
d. Bài tập 
1/ √
 √
4. Phương pháp lượng giác hóa 
a. Nhận diện : khi các giá trị của biểu thức có những nét „tương đồng‟ với các hằng 
đẳng thức lượng giác quen thuộc 
b. Ví dụ : 
VD: √ 
ĐK 
Nếu , ta có VT = √ (dễ chứng minh) 
Do đó ta chỉ cần xét , đây là tập xác định của hàm số , hơn nữa ta thấy 
vế trái của phương trình có nét giống công thức 
Đặt với [ ], thay vào và rút gọn ta được phương trình (
) 
Giải và đối chiếu điều kiện, ta được 3 nghiệm của phương trình ban đầu là : 
 (
) (
) 
c. Bài tập 
1/ √