Bài giảng môn toán lớp 12 - Phần I: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến

Phần I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :
1)Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) trên đoạn [0;2];
b) trên đoạn [-2 ;2] ;
c) trên đoạn [-2 ;2].
d) trên đoạn [-2;1];
e) trên đoạn [0;2] (ĐH2013D).
Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) trên đoạn [0;3];
b) trên đoạn [1;8];
c) trên đoạn [0;1];
d) trên đoạn [-2;1];
e) trên đoạn [0;1];
g) trên đoạn [0;3];
h) trên đoạn [-2;0];
i) trên đoạn [-1;0];
k) trên đoạn [0;2];
l) trên đoạn [1;4];
m) trên đoạn [0;2].
n) trên đoạn [0;2].
p) trên đoạn [0;6].
q) trên đoạn [0;4].
(TN2004) trên đoạn [0;];
(TN2007) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2];
(TN2008) trên đoạn [2;4];
(TN2009) trên đoạn [-2;0];
(TN2012)Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;1] bằng -2.
(TN2013)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;2].
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) ; 
 b);
c); 
 m)(HSG NA2007).
d); 
 n) (HSG NA 2006).
e); 
f) ;
g); 
h).
i) trên đoạn (GVG2011NA).
k) (HD: đặt )
2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: 
Câu 4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a); (ĐH2010-D)
b); 
c);
d); 
 đ)
e).
Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) ; 
 b); 
 c);
d); 
 e).
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) trên đoạn ; 
 b) ;
c); 
 d) ; (HSG NA 2004)
e); 
f);
g).
h) trên khỏang .
HD: Cách 1: Đặt , ta có .
Cách 2: Xét phương trình:.
h1) trên khoảng .
h.2) trên khoảng .
h.3) trên khoảng .
Câu 7. (THTT417) trên khoảng .
II.ỨNG DỤNG: 
1.Giải và biện luận nghiệm của phương trình: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
HD: Điều kiện . 
Xét hàm số và trên đoạn [2;4].
Ta có và .
Suy ra .
Vậy nghiệm của phương trình là.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thức phân biệt
 .
HD: Điều kiện . 
Xét hàm số trên đoạn [-1;8]. 
với -1<x<8 ,ta có .
Bảng biến thiên
Suy ra với là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba gó thỏa mãn 
 .
 Chứng minh tam giác ABC đều.
HD: PT.
Xét hàm số trên đoạn (0;1).
Ta có .
Bài tập : 
1.1)Giải phương trình: 
a);
b);
c) (HSG NA 2010-2011)
(HD: xét hàm số , )
1.2)Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
a) ; 
b);
c); 
d) (ĐH2008A).
e).
1.3)Tìm m để phương sau trình có nghiệm thực :
a);
b) (HSG NA 2007-2008).
(HD: đặt ,. PT)
c); 
(HD: đặt )
d) (ĐH2007A) 
(HD: đặt , )
e)(HD: đặt ,);
g).
h).
i).
k).
l) (HSG_NA2012B)
1.4)Tìm m phương trình có nghiệm .
1.5)Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
 .
2.Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình:
Ví dụ 4: Cho hệ :.Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn .
HD: Điều kiện . Đặt , với .
Ta có (II).
Xét hàm số trên đoạn [3;4].
Hệ (II) có nghiệm .
Bài tập: 
2.1)Tìm m để hệ sau có nghiệm :
a) ; b); c) ; 
d) (HSG12-NA:2011)
e) .
g) (THTT418).
Hướng dẫn: 
(b) đặt . Ta có , 
Suy ra .
(c) điều kện .
Ta có : (II)
Với x=-1 hoặc y=-1 ta thấy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Với x=y=3 thì m=2.
Xét hàm số , .
Ta có . Suy ra đồng biến trên khoảng (-1;3).
Suy ra (II)(III).
Xét , .Ta có .
Suy ra hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khi .
Vậy hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi .
(d) . Điều kiện: . . Xét hàm số . . Suy ra nghịch biến trên (3). Ta có và cùng thuộc đoạn và nên kết hợp (3) suy ra . Thay vào (2) ta có phương trình . Do đã hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) có nghiệm x thuộc đoạn [-2;2]. Đặt . ; ;. . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
(g) .