Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (tiếp)

 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 —&–
Phương trình đường thẳng 
1. Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0 với A2 + B2 … 0
 - Vectơ pháp tuyến 
 - Vecto chỉ phương 
 F Phương pháp: Xác định điểm I(x0; y0) và vectơ pháp tuyến ; phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
 A(x – x0) + B(y – y0) = 0
2. Đường thẳng d có vecto chỉ phương (a; b) và đi qua điểm M (x0; y0) có:
 F Phương trình tham số: 
 F Phương trình chính tắc: 
3. Đường thẳng d đi qua hai điểm A (a; 0) và B(0; b) có 
phương trình đoạn chắn là: 
 Bài 1:
 Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng (D) biết:
(D) qua M ( 2, 1) có vectơ chỉ phương = (3.4)
(D) qua M (-2,3) và có pháp vectơ = (5,1)
(D) qua M (2,4) và có hệ số góc k = 2
Qua 2 điểm A (3,5); B (6,2)
 Bài 2: Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
a) 3x + 4y –10 = 0
b) (D) qua A (1,2) và song song với đường thẳng x +3y –1 = 0
c) (D) qua B (2, -1) và vuông góc với đường thẳng x –2y +2 = 0
d) (D) qua C ( 3, 1) và song song đường phân giác thứ (I) của mặt phẳng toạ độ.
 Bài 3: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau:
(D) qua A (1,2) có pháp vectơ = (1,2)
(D) qua A (2,1) có vectơ chỉ phương = (1,2)
(D) qua A (2,1) có hệ số góc k = 2
(D) qua 2 điểm A (1,4); B (3,3)
 Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh A (2,2)
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình: 9x –3y –4 = 0 và x + y –2 = 0
 b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC.
 Bài 5: Cho ABC có phương trình cạnh (AB): 5x –3y + 2 = 0; đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là: 4x –3y +1 = 0; 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.
 Bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu A (1,3) và phương trình hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt là: x – 2y + 1 = 0 ; y –1 = 0.
Bài 7: Cho biết trung điểm ba cạnh của một tam giác là M1(2,1); M2 (5,3); M3 (3,-4). Lập phương trình ba cạnh của tam giác đó.
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với M (-1,1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh kia có phương trình là: x + y –2 =0, 2x + 6y +3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác,
Bài 9: Lập phương trình các đường trung trực của ABC biết trung điểm của các cạnh là M (-1,-1), N (1,9) ; P (9,1).
 Bài 10: Cho hình bình hành có đỉnh A(3,-1) và phương trình hai cạnh là: 2x + 3y – 5 = 0; x – 4y + 14 = 0. Tìm phương trình hai cạnh còn lại.
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P(2,5) và Q(5,1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3.
Bài 12: Viết phương trình đường thẳng (D) qua M(4,3) biết (D) cách đều A(5,0) và B(3,7). ĐS 7x + 2y – 34 = 0; x – 4 = 0
Bài 13: Tính góc giữa 2 đường thẳng sau:
 a) b) 
Bài 14: Lập phương trình đường thẳng đi qua A(2,1) và tạo với đường thẳng: 2x + 3y +4 = 0 một góc thẳng 450
Bài 15: Cho tam giác ABC với phương trình 3 cạnh là: 
 AB: x +2y –5 =0; BC: 2x –y –5 =0 ; CA: 2x +y +5 =0.
 Viết phương trình phân giác trong góc B và C.
Bài 16: Cho tam giác ABC có A(1, 1) , B(-1, 2) , C(4, 2). Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
ĐS 
Bài 17: Cho 3 điểm A(1,1), B(-1, - ) và C(4, -3). Tìm phương trình đường phân giác ngoài của góc A. ĐS x + 7y – 8 = 0
Bài 18: Tìm phương trình đường thẳng () đi qua giao điểm của hai đường thẳng (D1): 2x +3y –6 = 0 ; (D2): 3x + 4y –1 = 0. Biết () thoả:
Qua điểm A(-1, 3)
Song song đường thẳng (d): x + y +1 = 0
Vuông góc đường thẳng (d): x + 4y + 1 = 0
ĐS a) 13x + 20y – 47 = 0 b) x + y +5 = 0 c) 4x – y + 100 = 0 
Bài 19: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng (D1): x –3y +1= 0; (D2): 2x +5y –9 = 0 và tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R =2.
ĐS 3x + 4y – 10 = 0; x – 2 = 0
Bài 20: Cho hai điểm A(6; 1), B(0; 3) và đường thẳng 
(): 3x – 2y – 5 = 0.
a)Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.
b) Viết phương trình đường thẳng () và () theo thứ tự qua A, B và vuông góc với (). Có nhận xét gì về quan hệ giữa () và (). ĐS : 2x + 6y – 18 = 0 : 2x + 3y – 15 = 0
(): 2x + 3y – 9 = 0 
 Tìm tọa độ điểm và tính khoảng cách
Phương pháp: 
F Một điểm nằm trên đường thẳng tương ứng với một tham số t và ngược lại.
F Biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t
F Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) chứa điểm M hay công thức khoảng cách. Sau đó giải phương trình tìm giá trị tham số t
F Thay giá trị tham số vào biểu thức xác định tọa độ điểm M hay công thức khoảng cách cần tìm.
Bài 21: Cho (D1): 3x – 4y + 6 = 0; (D2): 4x –3y –9 = 0. Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều (D1) và (D2).
Bài 22: Tìm M trên (D): 2x + y –1 = 0 biết khoảng cách từ M đến đường thẳng (): 4x + 3y – 10 = 0 bằng 2.
Bài 23: a) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(xM; yM) qua đường thẳng (d): Ax + By + C = 0.
 b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(1; -2) qua đường thẳng (d): 3x + 2y – 5 = 0 
Bài 24: Cho hai điểm M(5; 5), N(1; 4) và đường thẳng 
(d): x + 2y – 6 = 0. Tìm điểm A trên đường thẳng (d) sao cho: 
 a) lớn nhất. b) MA + MB nhỏ nhất.
ĐS a) b) 
Bài 25: Cho tam giác ABC có đường phân giác của góc A là (d): x + y + 2 = 0. đỉnh B(1; 3), đỉnh C(2; 0). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 26: Tìm toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh AB, BC, AC tương ứng là C’(5; 1), A’(1;1), B’(3; 7). ĐS 
Bài 27: Cho ba đường thẳng: (d1): x – y + 1 = 0
 (d2): 3x + 2y – 7 = 0 (d3): x + 4y – 19 = 0
đôi một cắt nhau tại A, B, C. 
Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. ĐS 
Bài 28: Lập phương trình các cạnh của ABC đỉnh C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: 
2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 (ĐHVH 1998)
Bài 29: Cho hai điểm M(1; 1), N(7; 5) và đường thẳng
 (d): x + y – 8 = 0.
Tìm điểm P (d) sao cho PMN cân đỉnh P.
Tìm điểm Q (d) sao cho QMN vuông đỉnh Q. 
 ĐS P(2; 6) Q(2;6)
Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng: (d1): x – y = 0 và (d2): 2x + y – 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. (ĐH khối A 05)
Bài 31: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm của chúng (nếu có): 
 và x – 2y + 1 = 0 b) và c) và 
Bài 32: Tìm phưong trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng:
 và chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.
Bài 33: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC và điểm M(-1; 1) là trung điểm của cạnh AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đường thẳng:
 x + 3y – 3 = 0.
 a) Xác định toạ độ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC và viết phương trình đường cao AH.
 b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 34: Cho đường thẳng (1): 
và điểm M(0; ).
Viết phương trình đường thẳng (2) qua M và song song với (1).
Viết phương trình đường thẳng (3) qua M và song song với (1).
Tìm khoảng cách giữa (1) và (2).
Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Khối B 2004 ĐS C(7; 3) C’
Bài 36: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(-3; 1) và song song với đường thẳng : -2x + 7y – 9 = 0.
ĐS 2x – 7 y +12 = 0
Bài 37: Cho đường thẳng : 3x – 2y + 4 = 0 và điểm M(2; 5). Viết phương trình đường thẳng ’ đối xứng với đường thẳng qua điểm M. ĐS 3x – 2y – 36 = 0 
Bài 38: Cho hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng : x + 3y -6 = 0; 
: 2x – 5y -1 = 0 và có tâm I(3; 5). 
Viết phương trình các cạnh còn lại. Tính tọa độ các đỉnh.
Viết phương trình các đường chéo.
ĐS A(3;1); C(3; 9); B(-147; 59); D(153; -49)
 AC: x – 3 = 0 BD: 9x – 25y + 2798 = 0 
Bài 39: Cho đường thẳng : 2x – y -1 = 0 và điểm M(1; 2).
Viết phương trình đường thẳng (’) đi qua M và vuông góc với .
Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên .
Tìm điểm M’ đối xứng với M qua . ĐS M’()
Bài 40: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(5; 6); B(-3; 2); C(2; -3)
Viết phương trình các đường cao AA’, BB’, CC’. Suy ra tọa độ trực tâm H của tam giác .
Viết phương trình các đường trung trực của tam giác, suy ra tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
ĐS H(0; 1) O()
Bài 41: Cho tam giác ABC; cạnh AB nằm trên đường thẳng có phương trình : 
: 5x – 3y + 2 = 0. Các đường cao AD, BE theo thứ tự nằm trên các đường thẳng: 
 4x - 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Viết phương trình đường cao CF.
ĐS A(-1; -1); B(2; 4) ; C(6; 1); CF: 3x + 5y – 23 = 0 
Bài 42: Cho tam giác ABC, đỉnh A(3; -4) và hai đường cao nằm trên hai đường thẳng 
 : 7x – 2y + 1 = 0; : 2x – 7y – 6 = 0.
Viết phương trình các cạnh AB, AC của tam giác
Tìm tọa độ các đỉnh B, C, phương trình cạnh BC.
Viết phương trình đường cao thứ ba.
ĐS: AB: 7x + 2y – 13 = 0 ; AC: 2x + 7 y + 22 = 0 
 BC: x – y + 2 = 0 AJ: x + y + 1 = 0 
B. ĐƯỜNG TRÒN
Vấn đề 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng (D) cho trước
Phương pháp: phương trình có dạng: (x – a )2 + (y – b)2 = R2
Với R = d(I; D) (khoảng cách từ I đến D)
Bài 1: a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D: x – 2y – 2 = 0
b) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng D: 3x + 4y + 7 = 0
Bài 2: a) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và cắt đường thẳng D: x – 2y + 4 = 0 một đoạn bằng 4
Vấn đề 2: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A; B và có tâm I nằm trên đường thẳng (D) cho trước
Phương pháp Tìm điểm I trên (D) sao cho IA = IB = R. Có hai cách xác định tâm I: + Cách 1: 
+ Cách 2: Viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn AB. Giao điểm của đường thẳng trung trực với (D) là tọa độ điểm I
Bài 3:a) Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1; 1); B(1; - 3) và có tâm nằm trên đường thẳng (D): 2x – y + 1 = 0
Đ S: 
 b) Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1; 2); B(-2; 3) và có tâm nằm trên đường thẳng (D): 3x – y + 10 = 0
Vấn đề 3: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng (D) cho trước
Phương pháp: Viết phương trình đường tròn có dạng:
 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Dùng 3 điều kiện để tìm a, b, c
Bài 4: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(1; 0) và 
B(2; 0) đồng thời tiếp xúc với đường thẳng x – y = 0
Vấn đề 4: Viết phương trình đường tròn qua điểm A cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng (D) tại một điểm B biết trước
Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d qua B và vuông góc với (D). Giao điểm của d với đường trung trực của AB là tọa độ tâm đường tròn
Bài 5: Viết phương trình đường tròn (C) qua A(-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 4x + 3y – 30 = 0 tại B(6; 2).
Vấn đề 5: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (D) và tiếp xúc với một đường thẳng (D’) cho trước
Phương pháp: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn. 
 Dùng 2 điều kiện để tìm a, b. 
Bài 6: Viết phương trình đường tròn có hoành độ tâm a = 9, bán kính R = 2 và tiếp xúc với đường thẳng 2x + y – 10 = 0.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường () phương trình x + y – 5 = 0 có bán kính R = và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0.
Vấn đề 6: Viết phương trình đường tròn đi qua một điểm A cho trước và tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước.
Phương pháp: 
* Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a, b) có dạng:
 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
* Giả sử (C) đi qua A và tiếp xúc với d1 và d2 tại K1, K2.
 Dùng điều kiện IK1 = IK2 = IA = R. Tính được I(a, b) và R = IA
Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm gốc O và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 2x + y – 1 = 0 và d2 : 2x – y + 2 = 0
Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1, 0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y – 4 = 0 và d2: x + y + 2 = 0.
Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp: 
a) (C) có tâm I(1; 3) và đi qua điểm A(3; 1)
b)(C) có tâm I(-2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng : 2x + y –1 = 0
Bài 11: Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau:
a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 6y + 2 = 0 c) 2x2 + 2y2 – 5x – 4y + 1 + m2 = 0
Bài 12: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm M(1; -2), N(1; 2) và P(5; 2)
Bài 13: a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm (2; 1)
b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1; 1), (1; 4) và tiếp xúc với trục Ox.
Bài 14: Hãy lập phương trình đường tròn (C) biết rằng:
1) Đường kính AB với A(-1, 1), B(5, 3)
2) Qua 3 điểm A(1, 3), B(5, 6) và C(7, 0)
3) Tâm I(-4, 2) và tiếp xúc (D): 3x + 4y – 16 = 0
4) Tiếp xúc các trục tọa độ và
	a) Đi qua A(2, 4)
	b) Có tâm trên (D): 3x – 5 y – 8 = 0
5) Tiếp xúc với Ox tại A(-1, 0) và đi qua B(3, 2)
Kết quả 1) x2 + y2 – 4x – 4y –2 = 0 2) x2 + y2 – 3x – 5y + 14 = 0
3) (x + 4)2 + (x – 2)2 = 16 4) a) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 và (x – 10)2 + (y – 10)2 = 100 b) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 16 và
(x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 5) (x + 1)2 + (y – 5)2 = 25
Bài 14: Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
Vấn đề 7: Tiếp tuyến có phương cho trước:
Cho đường tròn (C) và đường thẳng (D) Ax + By + C = 0. 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết tiếp tuyến song song (hoặc vuông góc ) với (D).
Phương pháp: Tiếp tuyến (d) song song (hoặc vuông góc) với (D) thì phương trình có dạng : 
 Ax + By + C1 = 0 (C1 ¹ C) hoặc Bx – Ay + C2 = 0
Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I ; D) = R để tìm C1 (hoặc C2)
Vấn đề 8: Tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ở ngoài (C)
Cho đường tròn (C) và một điểm A(xA;yB) ở ngoài (C).Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) đi qua (xuất phát từ) điểm A.
Phương pháp: Tiếp tuyến (D) đi qua A có phương trình:
 A(x – xA) + B(y – yB) = 0
Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I , D ) = R để tìm A, B
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)
a) Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3x - 4y + 1 = 0 
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho họ
 (Cm) : x2 + y2 – (m – 2)x + 2my – 1 = 0
a) CMR với mọi giá trị của m, (Cm) là các đường tròn 
b) CMR các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
c) Xét đường tròn (C-2) ứng với m = - 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C-2) kẻ từ điểm P(0; -1) 
ĐS a) a2 + b2 + c = > 0 với mọi m
 b) A(-2; -1); B() c) y + 1 = 0 và 12x – 5y -5 = 0 
Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 4 trong mỗi trường hợp sau:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x – y + 17 = 0;
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y – 5= 0
Tiếp tuyến đi qua điểm (2; -2)
Bài 18: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (C) sau đây: 3x + y + m = 0 và x2 + y2 -4x + 2y + 1 = 0
Bài 19: Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau:
 (C): x2 + y2 + 2x + 2y – 1 = 0; (C’): x2 + y2 – 2x + 2y – 7 = 0
Bài 20: Cho điểm M(2; 3). Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua M, biết:
a) (C): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 b) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 11= 0
Bài 21: Cho điểm M(2; 3). Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua M, biết:
a) (C): (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 b) (C): x2 + y2 - 2x – 8y – 8 = 0
Bài 22: Cho đường thẳng và đường tròn (C) có phương trình:: 3x – 4y + 12 = 0; (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 9 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với đường thẳng .
Bài 23: Cho hai điểm A(0; 2) và B(; -1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. 
(Khối A- 2004)
Bài 24: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, co s bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc với đường tròn (C). (Khối D – 2006) 
—&–
“’Trên bước đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”