Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải phương trình:
3 sinx− (cosx− sinx)2
√
2 sin
(
2x− pi
4
)
+ 1
= 1
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
3 sinx+ 2 sinx cosx− 2 = sin 2x− cos 2x⇔ 3 sinx− 2 + cos 2x = 0⇔ 3 sinx− 3 sin2 x− cos2 x = 0
⇔ −2 sin2 x+ 3 sinx− 1 = 0⇔ (sinx− 1) (−2 sinx+ 1) = 0
Bài 2. Giải phương trình:
2
(
cos4 x− sin4 x)+ 1
2 cos
(x
2
− pi
3
) = √3 cosx+ sinx
Lời giải
Tử còn 2 cos(2x + 1). Vế phải chia cho 2 cos
(
x− pi
6
)
đưa về sau đó quy đồng tách tích thành tổng
mà làm
Bài 3. Giải phương trình: cot
x
2
− 1 + cos 3x
sin 2x− sinx = 2 sin
(
3x+
pi
3
)
Lời giải
⇔ cot x
2
− 4 cos
3 x− 3 cosx+ 1
sinx(2 cosx− 1) = 2 sin
(
3x+
pi
3
)
⇔ cot x
2
− (1 + cos x)(2 cosx− 1)
sinx
= 2 sin
(
3x+
pi
3
)
⇔ cot x
2
− cot x
2
(2 cosx− 1) = 2 sin
(
3x+
pi
3
)
⇔ 2 cot x
2
(1− cosx) = 2 sin
(
3x+
pi
3
)
⇔ sinx = sin
(
3x+
pi
3
)
Đáp số x = ±pi
6
+ kpi;x =
2pi
3
+ l2pi, (k, l ∈ Z)
Bài 3. Giải phương trình: 2 tan3 x− tanx+ 3 (1 + sinx)
cos2 x
− 8cos2
(pi
4
− x
2
)
= 0
Bài 4. Giải phương trình: 2
√
2 cos 2x+ sin 2x cos
(
x+
3pi
4
)
− 4 sin(x+ pi
4
) = 0
Bài 5. Giải phương trình: 4 cos2 2x+ 4
√
3 sin 2x+ 4 cos 2x+ 8 sinx+ 13 = 0
Lời giải
Bài 6. Giải phương trình: 2cos4x+ sin3 x = sin2
(
3pi
4
− x
2
)
.
Lời giải
⇔ 2 cos4 x+ sin3 x =
1− cos
(
3pi
2
− x
)
2
⇔ 4 cos4 x+ 2 sin3 x = 1 + sinx
⇔ (sinx− 1) (2 sin2 x− 1) (2 sinx+ 3) = 0
Bài 7. Giải phương trình:
√
15− 10 cosx− 10 sinx = 12 sinx+ 8 cosx− 27
s inx− cosx− 8
Lời giải
Phương trình tương đương với(√
15− 10 cos x− 10 sin x− 2
)(
1 +
√
15− 10 cos x− 10 sinx+ 2
sinx− cosx− 8
)
= 0
1
⇔
(√
15− 10 cosx− 10 sinx− 2
)(
sinx− cosx− 6 +√15− 10 cos x− 10 sinx
)
= 0
Bài 8. Giải phương trình: 4(sinx + cosx)(1 + cosx)2 = 6cos2
x
2
+ sinx
Lời giải
sinx+ sin 2x+ cosx+ cos 2x = 0⇔ cosx(2 sinx+ 1) + (sinx+ 1− 2 sin2 x) = 0
Bài 9. Giải phương trình:
√
3 sin 3x
cosx− 2 sin 2x = cos 2x+ 2cos
2x
Lời giải
Phương trình tương đương với
⇔
√
3 sinx (4 cos2 x− 1)
cosx− 2 sin 2x = 4 cos
2 x− 1⇔ (4 cos2 x− 1) (√3 sinx− cosx+ 2 sin 2x) = 0
Bài 10. Giải phương trình:
√
2 sin
(
2x+
pi
4
)
− sinx− 3 cosx+ 2 = 0
Lời giải
PT ⇔ sin 2x+ cos 2x− sinx− 3 cosx+ 2 = 0⇔ (2 cosx− 1) (sinx+ cosx+ 1) = 0
Bài 11. Giải phương trình: cos 2x+
√
3.sin2x = 1 +
1
sin
(
x+
pi
3
)
Lời giải
cos 2x+
√
3 sin 2x = 1 +
1
sin
(
x+
pi
3
) ⇔ 2(1
2
cos 2x+
√
3
2
sin 2x
)
= 1 +
1
sin
(
x+
pi
3
)
⇔ 2 cos
(
2x− pi
3
)
= 1 +
1
sin
(
x+
pi
3
) . Đặt t = x+ pi
3
PT : 2 cos (2t− pi) = 1 + 1
sin t
⇔ 4sin3t− 3 sin t− 1 = 0
Bài 12. Giải phương trình:
sin
(
x− pi
6
)
+ cos
(
x− pi
3
)
cosx
+ cosx+ sinx tan
x
2
= 1 + tan2 x
Lời giải
Phương trình tương đương với
⇔
√
3 tanx = tan2 x⇒ tanx = 0, tanx =
√
3
Bài 13. Giải phương trình: cos 2x+ cos 5x− sin 3x− cos 8x = sin 10x
Lời giải
Bài 14. Giải phương trình: Giải phương trình: cos 2x+
√
3 sin 2x+ 3 cosx−√3 sinx− 1 = 0
Lời giải
cos 2x+
√
3 sin 2x+ 3 cosx−
√
3 sinx− 1 = 0⇔ 2cos2x+ 3cosx− 2 + 2
√
3 sinx cosx−
√
3 sinx = 0
⇔ (2 cosx− 1)(cosx+ 2) +
√
3 sinx(2 cosx− 1) = 0⇔ (2 cosx− 1)(
√
3 sinx+ cosx+ 2) = 0
Bài 15. Giải phương trình: sin 5x+ cos 3x = (1 + 4
√
3 cosx) sinx+
√
3.
Lời giải
Phương trình đã cho được viết lại như sau:
sin 5x− sinx+ cos 3x =
√
3(2 sin 2x+ 1)⇔ 2 sin 2x cos 3x+ cos 3x−
√
3(2 sin 2x+ 1) = 0
2
⇔ (2 sin 2x+ 1)(cos 3x−
√
3) = 0
Trường hợp 1: sin 2x = −1
2
. Giải phương trình này ta có: x = − pi
12
+ kpi với k ∈ Z và x = 7pi
12
+ lpi với
l ∈ Z
Trường hợp 2: cos 3x =
√
3. Phương trình này vô nghiệm.
Bài 16. Giải phương trình: cos 2x+ cos 5x− sin 3x− cos 8x = sin 10x
Lời giải
(cos 2x−cos 8x)+(cos 5x−sin 3x)−2 sin 5x. cos 5x = 0⇔ 2 sin 3x. cos 5x−2 sin 5x. cos 5x+(cos 5x−sin 3x)
⇔ (cos 5x− sin 3x)(2 sin 5x− 1) = 0.
Bài 17. Giải phương trình:
sin4x− sin 2x− cos4x
(cot 2x+ 1) sin 2x
=
√
2 sin 2x.
Lời giải
sin4x− cos4x− sin 2x = −cos2x− sin 2x⇔ (cot 2x+ 1) sin 2x = sin 2x+ cos2x
Bài 18. Giải phương trình: sin3 x+ cos3 x = 2− sin4 x
Bài 19. Giải phương trình: (cos 4x− cos 2x)2 = 5 + sin3x
Bài 20. Giải phương trình: sinx+ cosx =
√
2
(
2− sin7 2x)
Bài 21. Giải phương trình: 4sin3x. sinx+ 4 cos
(
3x− pi
4
)
. cos
(
x+
pi
4
)
− cos2
(
2x+
pi
4
)
+ 2
√
2 = 0
Lời giải
⇔ 2 (cos 2x− cos 4x) + 2 (cos 4x+ sin 2x)− 1− sin 4x
2
+ 2
√
2 = 0⇔ 4 (sin 2x+ cos 2x) + sin 4x+ 4√2− 1 = 0
Đây là phương trình đối xứng, nên ta đặt t = sin 2x+cos 2x, |t| ≤ √2 ta đưa pt trên về pt bậc hai theo t.
Bài 22. Giải phương trình: 3 tan3 x− tanx+ 3 (1 + sinx)
cos2 x
− 8 cos2
(pi
4
− x
2
)
= 0
Lời giải
PT ⇔ tanx (3tan2x− 1) + 3
1− sinx − 4 (1 + sinx) = 0⇔ tanx
(
4sin2x− 1
cos2x
)
+
4sin2x− 1
1− sinx = 0
⇔
(
4sin2x− 1
1− sinx
)(
sinx
cosx (1 + sin x)
+ 1
)
= 0⇔
(
4sin2x− 1
1− sinx
)(
sinx+ cosx+ sinx cosx
cosx (1 + sin x)
)
= 0
⇔
[
4sin2x− 1 = 0
sinx+ cosx+ sinx cosx = 0
Bài 23. Giải phương trình: 2
(
sin3 x+
√
3 cos3 x
)
= sinx+
√
3 cosx
Bài 24. Giải phương trình:
1 + cos2 x
2 (1− sinx) − tan
2 x. sinx =
1
2
(1 + sin x) + tan2 x
Lời giải
1 + cos2 x
2(1− sinx)−
sin2 x
cos2 x
. sinx =
1
2
(1+sinx)+
sin2 x
cos2 x
⇔ (1 + sin x)(2− sin
2 x)− 2 sin3 x
2(1− sinx)(1 + sin x) =
1
2
(1+sinx)+
sin2 x
cos2 x
3
⇒ 3 sin2 x+ 4 sinx+ 2 = (1 + sinx)2 + 2(1 + sin x) sin
2 x
cos2 x
⇒ 2 sin4 x+ 4 sin3 x+ sin2 x− 2 sinx− 1 = 0
⇔ (2 sin2 x− 1)(sinx+ 1)2 = 0
Bài 25. Giải phương trình: 1 + sin
(x
2
)
. sinx− cos
(x
2
)
. sin2 x = 2 cos2
(pi
4
− x
2
)
Lời giải
Phương trình được viết lại thành :
sin
(x
2
)
. sinx−cos
(x
2
)
. sin2 x = sinx⇔ sinx
(
sin
x
2
− 2 cos2 x
2
. sin
x
2
)
= 0⇔ sinx. sin x
2
(
1− 2 cos2 x
2
)
= 0
Bài 26. Giải phương trình: (sinx− 2 cosx) cos 2x+ sinx = (cos 4x− 1) cosx+ cos 2x
2 sinx
Lời giải
(sinx− 2 cosx) cos 2x+ sinx = (cos 4x− 1) cosx+ cos 2x
2 sinx⇔ 2 sinx (sinx− 2 cosx) cos 2x+ 2sin2x = (cos 4x− 1) 2 sinx cosx+ cos 2x
⇔ (2sin2x− 2 sin 2x) cos 2x+ 1− cos 2x = −2sin32x+ cos 2x
⇔ (1− cos 2x− 2 sin 2x) cos 2x+ 1− 2 cos 2x = −2sin32x
⇔ −cos22x− 2 sin 2x cos 2x+ 1− cos 2x+ 2sin32x = 0⇔ sin22x− 2 sin 2x cos 2x− cos 2x+ 2sin32x = 0
⇔ sin22x (1 + 2 sin 2x)− cos 2x (1 + 2 sin 2x) = 0⇔ (1 + 2 sin 2x) (sin22x− cos 2x) = 0
Bài 27. Giải phương trình: cos 10x+ 2 cos2 4x+ 6 cos 3x cosx = cosx+ 8 cosx cos3 3x
Lời giải
cos 10x+ 2cos24x+ 6 cos 3x cosx = cosx+ 8 cosxcos33x
⇔ cos 10x+ 1 + cos 8x− 2 cosx (4cos33x− 3 cos 3x) = cos x
⇔ 2 cos 9x cosx− cosx+ 1− 2 cos 9x = 0⇔ (1− 2 cos 9x) (1− cosx) = 0
Bài 28. Giải phương trình: sinx+ cosx+ sin 2x+ 2 cos 2x+ 1 = 0.
Lời giải
PT ⇔ (sinx + cosx) + (sinx + cosx)2 + 2 (sinx + cosx) (cosx− sinx) = 0
⇔ (sinx + cosx) (1 + 3 cosx− sinx) = 0 ⇔
[
sinx + cosx = 0
1 + 3 cosx− sinx = 0
Bài 29. Giải phương trình: 8
(
sin6 x+ cos6 x
)
+ 3
√
3 sin 4x = 3
√
3 cos 2x− 9 sin 2x+ 11
Lời giải
Ta có
sin6 x+ cos6 x = (sin2 x+ cos2 x)(sin4 x− sin2 x cos2 x+ cos4 x) = sin4 x+ cos4 x− sin2 x cos2 x
= (sin2 x+ cos2 x)2 − 3 sin2 x cos2 x = 1− 3
4
sin2 2x.
Do đó phương trình đã cho tương đương với
8
(
1− 3
4
sin2 2x
)
+ 3
√
3 sin 4x = 3
√
3 cos 2x− 9 sin 2x+ 11,
Hay √
3 sin 4x−
√
3 cos 2x = 2 sin2 2x− 3 sin 2x+ 1.
4
Do 2 sin2 2x− 3 sin 2x+1 = (2 sin 2x− 1)(sin 2x− 1) và 2 sin2 2x− 3 sin 2x+1 = (2 sin 2x− 1)(sin 2x− 1)
nên phương trình cuối có thể được viết thành
√
3 cos 2x(2 sin 2x− 1) = (2 sin 2x− 1)(sin 2x− 1),
Hay tương đương với
(2 sin 2x− 1)
(√
3 cos 2x− sin 2x+ 1
)
= 0.
Bài 30. Giải phương trình:
sin4
x
2
+ cos4
x
2
1− sinx − tan
2 x sinx =
1− sinx
2
+ tan2 x
Lời giải
PT ⇔ 2− sin
2x
2 (1− sinx) −
sin3x
(1− sinx) (1 + sinx) =
1− sinx
2
+
sin2x
(1− sinx) (1 + sinx)
⇔ 4sin3x+ 2sin2x− 3 sinx− 1 = 0 ⇔ (sinx+ 1) (4sin2x− 2 sinx− 1) = 0
Bài 31. Giải phương trình: sin2 x−√2 sinx+ tan2 x− 2 tanx+ 3
2
= 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với(
sinx−
√
2
2
)2
+ (tanx− 1)2 = 0
Bài 32. Giải phương trình: cos 9x+ cos 3x− sin 6x = 0
Lời giải
PT ⇔ ⇔ 4cos33x− 2 cos 3x− 2 sin 3x cos 3x = 0⇔
[
cos 3x = 0
4cos23x− 2 sin 3x− 2 = 0
Bài 33. Giải phương trình:
3(cos 2x+ cot 2x)
cot 2x− cos 2x = 2(sinx+ cosx)
2
Lời giải
Phương trình được viết thành
3(1 + sin 2x)
1− sin 2x = 2(sinx+ cosx)
2 ⇔ 3(sinx+ cosx)
2
1− sin 2x = 2(sinx+ cosx)
2
Bài 34. Giải phương trình:
√
2 cos 5x− sin(pi + 2x) = sin
(
5pi
2
+ 2x
)
. cot 3x
Lời giải
Điều kiện: sin 3x 6= 0. Để ý rằng sin(pi+2x) = − sin 2x, sin
(
5pi
2
+ 2x
)
= cos 2x. Phương trình đã cho
có thể được viết lại thành √
2 cos 5x+ sin 2x =
cos 2x cos 3x
sin 3x
,
tương đương √
2 cos 5x =
cos 2x cos 3x− sin 2x sin 3x
sin 3x
.
Đến đây, ta chỉ cần để ý thêm cos 2x cos 3x− sin 2x sin 3x = cos 5x nữa là mọi việc trở nên dễ dàng.
5
Bài 35. Giải phương trình: tanx+ tan 2x+ tan 3x = 0.
Lời giải
Ta thấy rằng
tan 3x =
tanx+ tan 2x
1− tanx tan 2x
Bài 36. Giải phương trình: 2 sinx+ cos 2x =
√
2
cosx
Lời giải
Điều kiện: cos 6= 0. Phương trình đã cho có thể được viết lại thành
sin 2x+ cosx cos 2x =
√
2.
Ta có
2 = (sin 2x+ cosx cos 2x)2 ≤ (sin2 2x+ cos2 2x)(1 + cos2 x) = 1 + cos2 x ≤ 2.
Do đó, các đánh giá trong bất đẳng thức trên phải trở thành đẳng thức, tức ta phải có
sin 2x
1
=
cos 2x
cosx
cos2 x = 1
Hệ này vô nghiệm (vì từ phương trình dưới, ta có x = kpi. Thay vào phương trình trên lại không thỏa
mãn). Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 37. Giải phương trình:
√
3 sin 2x+ cos 2x+ 2 = 3(sinx+
√
3 cosx)
Lời giải
PT ⇔ cos
(
2x− pi
3
)
+ 2 = 3 cos
(
x− pi
6
)
⇔ 2 cos2
(
x− pi
6
)
− 3 cos
(
x− pi
6
)
+ 1 = 0.
Bài 38. Giải phương trình: Giải phương trình
(cos 2x− 5 cosx+ 3) (2 sin x− 1)
2 cosx− 1 =
(√
3− 1) (cosx− 2)
Lời giải
cos 2x− 5 cosx+ 3 = 2 cos2 x− 5 cosx+ 2 = (cosx− 2)(2 cosx− 1)
Bài 39. Giải phương trình: 2
√
3 sin 2x = 4 sin x+ 1.
Lời giải
Phương trình tương đương với
2.2 sinx.
√
3 cosx+ 4 sin2 x+ 3 cos2 x = 4 sin x+ 1 + 4 sin2 x+ 3 cos2 x
⇔ (2 sinx+√3 cosx)2 = sin2 x+ 4 sinx+ 4⇔ (2 sinx+√3 cosx)2 − (sinx+ 2)2 = 0
Bài 40. Giải phương trình: 3 tan 2x− 2 sin
(
2x− 3pi
2
)
+
2(cosx− sinx)
cosx+ sinx
=
1
cos 2x
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
3
sin 2x
cos 2x
− 2 cos 2x+ 2(cosx− sinx)
cosx+ sinx)
=
1
cos 2x
⇔ 3 sin 2x− 2 cos2 2x+ 2(1− sin 2x) = 1⇔ 2 sin2 2x+ sin 2x− 1 = 0
6
⇔ 2(sin 2x− 1
2
)(sin 2x+ 1) = 0⇒ sin 2x = 1
2
⇔ x = pi
12
+ kpi ∨ x = 5pi
12
+ kpi.
Bài 41. Giải phương trình:
2 sin2
(
x− 25pi
4
)
− 2 cos2
(
x+
9pi
2
)
+ tanx(√
2 cosx+ 1
) (√
2 sinx+ 1
) = 0
Lời giải
7