Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương trình lượng giác (tiếp)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.Giải các phương trình sau
 a)2cos3x + cos2x + sinx = 0 b)sin22x – cos28x = sin(17 +10x)
 c) d) =2sinx + 2
 e) tg2x = f) tg2x = g) = 
 f) cotg4x = cos32x + 1 j) 3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x
 g) – tg2x.sinx = + tg2x h) = tg2
 h) cos10x + 2cos24x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos33x
 i) 3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x j) sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
 j) (1 + sinx)2 = cosx k) 2(cotg2x – cotg3x) = tg2x + cotg3x
 l) sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) m) sin3( x + ) = .sinx
 n) sin3x + sin2x + sinx = 0
2.Giải các phương trình sau:
 a) = b) 6sinx – 2cos3x = 
 c) cos4x – cos2x + 2sin6x = 0 d)2sin(3x + ) = 
 e) tg(1200 +3x) – tg(1400 – x) = 2sin(800 + 2x)
 f) sin() = sin() g) 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x
 g) |cotgx| = tgx + h) |tgx|= cotgx + i) 2cos3x = sin3x
 j) tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x) k) cos3x + sinx – 3sin2x.cosx = 0
 l) sin2x + sin22x + sin23x = m) cos4x – sin2x = cos2x 
n) tgx – sin2x – cos2x + 2(2cosx – ) = 0 o) = 
p) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x q) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
3.Tam giác ABC cân có 1 góc là nghiệm của phương trình 
 tgx – tg = Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
4.Giải phương trình sau: 48 – (1 + cotg2x.cotgx) = 0
5.Cho phương trình : 
 (4 – 6m)sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2)sin2xcosx – (4m – 3)cosx = 0
a)Giải pt khi m = 2
b)Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm x Î [0;]
6. Cho a2+b2 > 0 và c là số tuỳ ý.Chứng minh rằng trong 2 phương trình sau 
 acosx + bsinx = c và acotgx + btgx = c ít nhất có 1 phương trình có nghiệm
7.Cho phương trình : 
a)Giải phương trình khi m = 1
b)Khi m ¹ 0, ± phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [20p ;30p]
8. Giải các phương trình sau:
	a)cosx + + sinx + = 
	b)sin3x(1 + cotgx) + cos3x(1 + tgx) = 2
	c) tgx + tg2x + tg3x + cotgx + cotg2x + cotg3x = 6
 c) 2tg2x + + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0
 d)cotgx – tgx = sinx + cosx e) + 4sin2x = 1
 f) (2sinx – 1) = 4(sinx – 1) – cos(2x + ) – sin(2x + )
 g) sin8x + cos8x = cos22x h) 2cosx – = 1 i) |cosx| = 1 – sinx
 i) cos4x + sin4x – 2cos3x = 0
9.Tìm các nghiệm xÎ(;3p) của phương trình sau :
 sin(2x + ) – 3cos(x – ) = 1 + 2 sinx
10.Tìm các nghiệm xÎ(0,2p) của phương trình sau :
	 = sin2x + cos2x
11. a)Giải phương trình sau :
	cos2x – tg2x = với x Î [1;70]
 	 b)Tính tổng các nghiệm ấy
12. a)Giải phương trình sau :
	2cos2x + cotg2x = với x Î [2;40]
 	 b)Tính tổng các nghiệm ấy
13. Cho phương trình : cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
	a)Giải phương trình khi m = 
	b)Tìm m để phương trình có nghiệm xÎ(;)
14. Cho phương trình : (1 – a)tg2x – + 1 + 3a = 0
 a)Giải phương trình khi a = /2
 b)Tìm các giá trị của a để phương trình có nhiều hơn
 1 nghiệm trong khoảng(0;p/2)
15 .Tìm a,b để 2 phương trình sau tương đương 
	asin2x + = 2 cosx + asinx (1)
	2sin2x + cos2x +sin2x +b = 2bsinx + cosx +1 (2)
16. Tìm a để 2 phương trình sau tương đương
	2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)
	4cos2x – cos3x = acosx + (4 – a)(1 + cos2x) (2)
17. a)Giải phương trình : 
 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1)
	b)Tìm m để (1) tương đương với phương trình 
	mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + (8m – 4) = 0
18.Tìm m để phương trình :cos3x – cos2x + m cosx – 1 =0
	Có đúng 7 nghiệm trong khoảng (– p/2;2p)
19.Cho phương trình 
 (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x
	a)Giải phương trình khi m = 1
	b)Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm Î [0;p]
20.Cho phương trình 2cos2x + sin2x.cosx + sinx.cos2x = m(sinx + cosx) (1)
a)Giải phương trình (1) khi m = 2
b)Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0;p/2]
21. Cho phương trình 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x
	a)Giải phương trình khi m = – 7
 b)Tìm m để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm x Î [– 3p/8;– p /8 ] 
22. Xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 
 sin6x + cos6x = m|sin2x|
23.Cho phương trình sin4x + cos4x = msin2x – 1/2 
a)Giải phương trình khi m = 1
b)Xác định m để phương trình có nghiệm
24. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 
	 cos[p(x2 + 2x – )] – sin(px2) =0
25.Giải các phương trình sau:
 a) = 2sinx – 1 b) 
 c) = 1 d) = cos2x 
 e) cos3x.sin2x – cos4x.sinx = sin3x + 
f) cos2xsin4x + cos2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
26.Cho phương trình = 2m.tg2x
 a)Giải phương trình khi m = ()
 b)Tìm m để phương trình có nghiệm (vô nghiệm)
27.Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 + 3tg2x + m(tgx + cotgx) – 1 = 0
28.
a)Khảo sát hàm số y = x + 1 + (C)
b)Dựa vào (C) hãy biện luận theo m số nghiệm x Î (0;)của phương trình:
 1 + sinx + cosx + (tgx + cotgx + + ) = m 
29.Cho phương trình : cos4x + 6sinx.cosx = m
a)Giải phương trình khi m = 1
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0;p/4]
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Chứng minh rằng: 
a) sinA + sinB + sinC = 4cos.cos.cos
b) cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin.sin.sin
c) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC (ABC không phải tam giác vuông)
d) cot+ cot + cot = cot.cot .cot 
e) tan.tan+ tan.tan + tan.tan = 1
f) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1
g) sin2A + sin2B + sin2A = 4sinA.sinB.sinC
h) cos2A + cos2B + cos2C = – 1– 4cosA.cosB.cosC
i) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosA.cosB.cosC
j) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosA.cosB.cosC
1.Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 Chứng minh rằng : cotgA + cotgB + cotgC = 
 2.Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thoả mãn: 
 S = (c + a – b)(c + b – a). Chứng minh rằng tgC = 
*3.Cho tam giác ABC có AB = AC = b ;BC = a.Biết đường tròn nội tiếp tam giác đi qua trung điểm E của đường cao AH. Chứng minh rằng 3a = 2b và tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác theo a
*4.Cho tam giác ABC nhọn,chứng minh rằng : asinA ; bsinB ; csinc cũng là ba cạnh của một tam giác 
5.Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a. Gọi M là một điểm trên cạnh huyền,đặt góc BAM = x 
a)Chứng minh rằng : = + 
b)Cho biết 2b2 = 3ac ,tính góc B và C
 5. Trong tam giác ABC biết tg.tg= .
 Chứng minh rằng c = (a + b)
5.Tính góc A của tam giác ABC biết:
a) a2 = b2 + c2 + bc b) b(b2 – a2) = c(c2 – a2)
c) = a2
6.Tính cosB biết rằng : 2a2 + 4b2 + c2 = 4ab + 2ac
6*.Cho tam giác ABC thoả mãn: tg + tg = 1 . Chứng minh rằng 
 £ tg < 1 
7.Chứng minh rằng:
a) cotg;cotg;cotg tạo thành 1cấp số cộng Û a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số cộng theo thứ tự đó
b) tg;tg;tg tạo thành 1 cấp số cộng Û cosA ;cosB ;cosC cũng tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó
c) Nếu a ,b ,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì B ≤ 
8.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân.
 Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 600
9.Cho biết a4 = b4 + c4. Chứng minh rằng các góc của tam 
 giác đều là góc nhọn và tgB.tgC = 2sin2A
10.Cho tam giác cân cạnh đáy bằng a,cạnh bên bằng b,góc ở 
 đỉnh là 200 . Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2
11*Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc = 60o Û 
	 = 
12. Chứng minh rằng "DABC ta có
(a – b)cotg +(b – c)cotg +(c – a)cotg = 0
b) cosA + cosB + cosC £ 3/2 
c) cosA.cosB.cosC £ 1/8 tam giác ABC nhọn 
b*) tg+ tg+ tg = 
c) tgtg + tgtg + tgtg = 1 d) tg + tg + tg≥ 
d) tg2 + tg2 + tg2 ≥ 1 e) tgtgtg £ 
f) + + = 
g) + + ≥ 12 khi nào xảy ra đẳng thức
h) cos2A + cos2B + cos2C ≥ 
i) + + = 0
j) = 
13 .Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn
	a)Chứng minh rằng tgA + tgB + tgC = tgA .tgB .tgC 
	b)từ đó Chứng minh rằng tgA + tgB + tgC 3
	Khi nào xảy ra dấu =
 c) Cho biết tgA.tgB = 3 ; tgB.tgC = 6. Chứng minh rằng tam giác 
 ABC có một góc bằng 45o
	d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 
*14a)Cho tam giác ABC chứng minh rằng : 	
 cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 (1)
b)Cho ba góc nhọn A,B,C thoả mãn (1),chứng minh rằng A,B,C là ba góc của một tam giác 
15. Đặt T = sin2A + sin2B + sin2C .Chứng minh rằng
Tam giác ABC có 3 góc nhọn Û T > 2
16. a)Chứng minh rằng trong DABC bất kỳ ta có
	cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosA.cosB.cosC (1)
	b)Giả sử A,B,C là 3góc nhọn thoả mãn (1)
	Chứng minh rằng A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
16.Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 P = 
17. Cho biết C = 2B = 4A .Chứng minh rằng
	a) b)cos2A + cos2B + cos2C = 
18 .a)Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,chứng minh rằng :
 AB2 + HC2 = BC2 + HA2 = CA2 + HB2
b) + + = 0
c)Chứng minh rằng các trung tuyến AA’ và BB’ vuông 
 góc nhau khi và chỉ khi cotgC = 2(cotgA + cotgB)
19. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và trung tuyến là ma ; mb ; mc 
a)Chứng minh rằng : ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2)
b)Cho biết ¹ 1 .Chứng minh rằng 2cotgA = cotgB + cotgC
20.Cho tam giác ABC vuông ở A có 3 trung tuyến AD, BE ,CF
Chứng minh rằng: BE2 + CF2 = 5AD2
21.Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD.
Chứng minh rằng : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 
*20.Cho tam giác ABC có cotgA ;cotgB ;cotgC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng 
Gọi G là trọng tam của tam giác ,chứng minh rằng : GC = GA
21.Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn 1 trong 
 các điều kiện sau thì đó là tam giác cân:
 a) tgA + tgB = 2cotg b) tgA + 2 tgB = tgA.tg2B
 c) a(cotg – tgA) = b(tgB – cotg) d) = 
 e) = (cotg2A + cotg2B) f) tg2A + tg2B = 2tg2
 g) c2.sin2A + a2.sin2C = b2.cotg h) a + b = tg(atgA + btgB)
22. Tam giác ABC là tam giác gì biết rằng :
 a2.sin2B + b2.sin2A = 4ab.cosA.sinB và sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 
23.Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn 1 trong 
 các điều kiện sau thì đó là tam giác vuông :
 a)S = (a + b – c)(a – b + c) b)sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
 c) sinA + sinB + sinC = 1 – cosA + cosB + cosC
d) coscoscos – sinsinsin = e) sinA = 
f) S = p(p – c)
*24.Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn : 
 coscos(A – B) + cosCcos = 0 . Tính sinA + sinB
25. a)Chứng minh rằng DABC là vuông hoặc cân nếu thoả 
 mãn	a.cosB – b.cosA = a.sinA – bsinB (1)
	 b)Tính các góc của DABC biết D đó thoả mãn (1) và
	sin2A + sin2B + cos2A + cos2B = 
26. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
 a) (a2 + b2)sin(A – B) = (a2 – b2)sin(A + B) 
 b) a + b = (atgB + btgA)tg
 c) sin(A – B) = 	 d) 
27. Chứng minh rằng có thể tính diện tích tam giác ABC bằng công thức:
 S = (a2sin2B + b2sin2A)
27.Cho tam giác ABC có diện tích bằng S. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 = c2 + 4S.cotgC
b) cotgA + cotgB + cotgC = 
28.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Hãy xác định dạng của tam giác ABC biết diện tích S = (a + b + c)2 
29.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R và r là bán kính các đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác ấy. Chứng minh rằng :
a) r = 4R.sin.sin.sin
b) IA.IB.IC = 4Rr2
c) + + = 
30.Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp có độ dài các cạnh AB = a,BC = b,
 CD = c,DA = d. Chứng minh rằng : tg = 
 với p = 
31.a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả mãn điều kiện a < b < c và lập thành một cấp số cộng . Chứng minh rằng : ac = 6Rr
32. Xác định tất cả các tam giác ABC thoả mãn điều kiện :
 a) c = c.cos2B + b.sin2B
 b) cos2A + cos2B + cos2C = 1
33.Chứng minh rằng ABC là tam giác đều nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + c b) cosA = sinB + sinC – 
c) = d) 
e) a + b + c = 2. f) S = R2(sin3A + sin3B + sin3C)
g) sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C)
h) cos3 + cos3 + cos3 = + 
34.Tính các góc của tam giác ABC biết rằng : 
 a) cos2A + (cos2B + cos2C) + = 0
b) 4(cos2A + cos2B – cos2C) = 5
35** Chứng minh rằng không thể tồn tại tam giác mà cả 3 góc của nó đều là nghiệm của phương trình : (4cosx – 1)(7sin2x – sin2x – 6) = 0
36.Tìm các góc của tam giác ABC để biểu thức Q = sin2A + sin2B + sin2C đạt giá trị nhỏ nhất 
37.Cho tam giác ABC tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	M = 3cosA + 2cosB + 2cosC
38*.Hãy tính các góc của tam giác ABC biết:
39*.Cho tam giác nhọn ABC> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	P = .cosB + 3(cosA + cosC)
40.Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và r là bán kính đường tròn nội tiếp . Chứng minh rằng : ≤ + +