Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương trình quy về bậc hai

 Phương trình quy về bậc hai
Lưu ý: *) Đa thức Pn(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2++an có nghiệm x= c thì Pn(x)(x- c).
 *) Pn(x) có nghiệm hữu tỷ x= Thì : p là ước của an còn q là ước dương của a0.
1.Dạng bậc ba: a x3+bx2+cx+d= 0
 Phương pháp giải: Thường nhẩm được một nghiệm x= và đưa phương trình về dạng:
 (x-)(a1x2+b1x+c1)=0 giải được.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
1. 2x3+7x2+7x+2= 0 
2. (x-3)3+(x+1)3=8(x-1)3
B) Giải phương trình sau có tham số:
 1. Giải và biện luận: x3+(m-3)x2-(2m-1)x-3(m+1)= 0 m.
 2. Giải phương trình: x3-(m2-m-7)x-(3m2-3m-18)= 0 biết nó có một nghiệm là 1.
 3. Giải và biện luận : x3+(x-2)m-8= 0 tuỳ m 
 4. Giải và biện luận: x3+2(1-2m)x2+(5-7m)x+2(m+5)= 0 m. Biết rằng
 nó có nghiệm không phụ thuộc x.
 5. Tìm m để: x3-3(m+1)x2+2(m2+4m+1)x-4m(m+1)= 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
 6. Tìm m để: x3-2(2m+1)x2+(3m+1)x-(m+1)= 0 có 3 nghiệm dương phân biệt.
 7. Cho: x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b)= 0. Giải và biện luận theo a, b
 8. Xác định a,b sao cho: 3x3+a x2+bx+12= 0 có nghiệm 
 2. Dạng: ax4+bx2+c= 0 
 Phương pháp giải: Đặt y=x2 (đk: y 0) Đưa về dạng: ay2+by+c=0 giải được y
 Từ y=x2 giải được x. 
 Lưu ý: +) Mỗi giá trị y>0 ta được 2 giá trị của x= .
 +) Nếu x0 là nghiệm thì (-x0) cũng là nghiệm.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
 1: (x2+x+1)4-3(x2+x+1)2-54=0 
 2: (x+1)5-(x-1)5=32x 
 3: (2x+a)5-(2x-a)5=242a5
B) Giải phương trình sau có tham số:
 1: Cho mx4-2(m-1)x2+1= 0(1) Tìm m để (1) có : 4 nghiệm; không nghiệm.
 2: Định m để: x4+(1-2m)x2+m2-1= 0 có: không ;một,hai,ba nghiệm.
 3. Dạng: ax4+bx3+cx2bx+a= 0 
 Phương pháp giải:
 +) Thử trực tiếp x=0
 +) Khi x0 Chia 2 vế cho x2 được: .
 đặt t= (*) (đk: ) thì 
 Giải: at2+bt+c-2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.
 Hoặc “+) Khi x0 Chia 2 vế cho x2 được: .
 đặt t= (*) thì Giải: at2+bt+c+2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.”
 Lưu ý: Nếu x0 là nghiệm thì () cũng là nghiệm.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau: 
 1. x4+x3-10x2+x+1=0 
 2. 6x4+25x3+12x2 -25x+6=0 
 3. x4+x3-4x2+x+1=0 
 4. 4x4+12x3+47x2 +12x+4=0 
 5: 2x4-21x3+34x2+105x+50=0
B) Giải phương trình sau có tham số:
 1. Định m để: x4+mx3+mx2+mx+1=0 vô nghiệm.
 2. Định m để: x4+mx3+x2+mx+1=0 có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.
 3. Định m để: x4-mx3-(2m+1)x2+mx+1=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
 4: Cho phương trình 3x4-4x3+mx2+4x+3=0
 a) Giải phương trình khi m=-5.
 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm?
 4. Dạng: (x+a)4+(x+b)4 =c
 Phương pháp giải: Đặt (*) và ta được phương trình:
 (t+m)4+(t-m)4=c đưa về dạng: At4+Bt+C=0 giải được t từ (*) tìm được x.
A) Giải các phương trình sau: 
 1: (x+4)4 + (x+6)4= 2 
 2: (x-4)4 + (x-6)4= 82 
 3: (x+5)4 + (x+3)4= 2 
 4: (x-5)4 + (x-3)4= 82.
B) Giải phương trình sau có tham số:
 1: Tìm m để: (x+4)4+(x+2)4= m có nghiệm.
5. Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (*).
 Trong 4số a,b,c,d thì tổng 2 số bằng tổng 2 số còn lại.Chẳng hạn a+c=b+d=k.
 Phương pháp giải: 
 (*)[x2+(a+c)x+ac][x2+(b+d)x+bd]=0(x2+kx+ac)(x2+kx+bd)=0.
 Đặt x2+kx=t Hoặc x2+kx+ac=t Hoặc x2+kx+bd=t Hoặc x2+kx+=t (*). 
 Đưa về dạng At2+Bt+C=0 giải được t thay vào (*) được x tìm x.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
 1: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3 
 2: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x
 3: Tìm nghiệm nguyên: x(x+1)(x+2)(x+3)= y2.
 4: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x2.
 5: (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24.
 6: ((3x+4)(x+1)(6x+7)2=6.
 7: x(x-1)(x-2)(x-3)=120.
 8: (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4)=24
B) Giải phương trình sau có tham số:
 1: (2x-3)(2x-4)(2x-5)(2x-6)= m Tìm m để phương trình có nghiệm.
 2: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= m Giải khi m=24 .Tìm m để hệ vô nghiệm.
6.Dạng: af 2(x)+bf(x)g(x)+cg2(x)= 0
 Phương pháp giải: 
 +) Thử trực tiếp g(x)=0
 +) Khi g(x)0 đặt f(x)=kg(x) (*) được: ak2+bk+c=0 giải được k từ (*) giải được x 
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
 1: 
 2: 
 3: 
7.Dạng: 
 Phương pháp giải: Sử dụng A2+B2=(A-B)2+2AB 
Đưa phương trình về dạng: .
Giải được Từ đây tìm được f(x)=e giải tìm được x.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
8.Dạng: 
 ; ;
 Phương pháp giải:
 +) Thử trực tiếp x=0
 +) Khi x0 Chia cả tử và mẫu cho x đặt (*) đưa về:At2+Bt+C=0
 Giải được t thay vào (*) tìm được x.
 Luyện tập
A) Giải các phương trình sau:
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 
 6. 
 7. 
 8. 
 9. 
9.Dạng bình đẳng giữa ẩn và tham số.
 Phương pháp giải: 
 Đưa phương trình từ ẩn x thành dạng ẩn a giải a theo x 
 sau đó lại giải x theo a.
 Luyện tập 
 Với a là số thực tuỳ ý
 1. Giải và biện luận: x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a+6)x+2a+a2= 0
 2. Giải: a3x4+6a2x2-x+9a+3= 0 khi a
 3. Giải và biện luận: x4-2ax2+x2+a2-2a+1= 0
 4. Giải và biện luận: x6-(a2+1)x2+a= 0