Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương trình và bất phương trình siêu việt

Phương trình và bất phương trình siêu việt
Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit.
Các kiến thức cơ bản.
Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa.
Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Các phương trình và bất phương trình cơ bản: 
 Với mọi số dương m thì:
 + 
 + 
Với mọi số thực m thì:
 + 
 + 
 Trường hợp xét tương tự.
Một số phương pháp giải: 
Phương pháp đưa về cùng cơ số :
Bài 1: Giải các phương trình:
1. 
2. .
3. 
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1. .
2. 
Lưu ý: Cần nhớ: 
+ 
+ 
+ 
+ 
Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Bài 1: Giải các phương trình, và bất phương trình::
1. .
2. 
3. 
Lưu ý: Mục đích của phương pháp đặt ẩn số phụ là chuyển các bài toán đã cho về phương trình hoặc bất phương trình đẫ biết cách giải.
+ Dạng (hoặc > c) với ( m là hằng số) ta nên dặt .
+ Dạng thì nên chia cho rồi đặt .
+ Dạng a.f(x)2+b.f(x)+c=0 (hoặc >0) với f(x)=mg(x) hoặc f(x)=logmg(x) ta đặt t=f(x) để đưa phương trình hoặc bất phương trình bậc hai ẩn t.
Phương pháp lôgarit hoá:
Lưu ý: Phương pháp lôgarit hoá có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tíchcác luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Cần nhớ:
 + 
 + hoặc 
Bài 1: Giải các phương trình: 
1. 
2. 
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số:
Lưu ý: nếu PT có nghiệm x0, một vế của PT là hàm số đồng biến , vế kia là hàm số nghịch biến hoặc là hàm số hằng thì nghiệm x0 là duy nhất.
Bài 1: Giải các PT :
1. (ĐS x=1).
2. (ĐS x=2) 
Hệ phương trình mũ và lôgarit:
Lưu ý: Để giải hệ phương trình mũ và lôgarít ta cũng dùng các phương pháp thế, cộng đại số , phương pháp đặt ẩn số phụ như hpt đã biết.
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
 1. (ĐS: (x;y)=(2;1)).
 2. (ĐS: (1;1), (2;2))
 3. (HD: đặt u=log2x; v=log4y)
 4. (HD: đây là hpt đối xứng loại 2 nên tìm được (x;y)=(5;5))
 Bài 2: 
Bài tập
 Bài 1: Giải các phương trình sau: 
2x+4=42x-1.
 .
7x+2-.7x+1-14.7x-1+2.7x=48.
73x+9.52x=52x+9.73x.
9x-=-32x-1.
.
=84.
 ĐS: x=2; x=log510.
 x2lgx=10x ĐS: x=10; x=10-2.
 ĐS: x=1; x=100.
 ĐS: x=1;x=log2.
 ĐS: x=-2; x=2.
 ĐS: x=-1.
 ĐS: x=3; x=-3.
 3.16x+2.81x=5.36x ĐS: x=0; x=.
 5x+12x=13x ĐS: x=2.
 6x-2x=32 ĐS: x=2.
 3.4x+(3x-10).2x+3-x=0 ĐS: x=1; x=-log23.
 1+()x=2x ĐS: x=2.
 9.7x+1= (Tính đơn điệu) ĐS: x=1.
 ĐS: x=2.
 9x+2(x-2).3x+2x-5=0 ĐS: x=1.
B. Phương trình lượng giác: 
I. Các kiến thức cơ bản: 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 Hệ thức cơ bản
 Cung đối
 Cung bù
 s in + cos = 1
 1 + tan =
 1 + = 
tan = cot = tan .cot = 1 
cos(-) = cos sin(-) = - sin tan(-) = - tan cot(-) = - cot 
sin(-) = sin cos(-) = -cos tan(-) = - tan cot(-) = -cot 
 Cung phụ
 Hơn kém /2
 Hơn kém 
 Chu kỳ
sin(/2 -) = cos cos(/2 -) = sin tan(/2 - ) = cot cot(/2 -) = tan
sin(+/2 ) = cos
cos(+/2) =- sin tan(+/2) =- cot 
cot(+/2) = -tan 
sin(+) = -sin cos(+) = -cos tan(+) = tan 
cot(+) = cot
sin(+k2) = sin
cos(+k2) = cos tan(+k) = tan cot(+k) = tan
 Công thức cộng
Công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc
 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb 
 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 
 sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa 
 sin(a - b) = sina.cosb – sinb.cosa 
 tan(a + b) = 
 tan( a - b) = 
cos2a=
 =2cosa -1
 = 1 - 2sina 
 sin2a = 2sina.cosa tan2a = 
cosa =
sina =
tana =
 Công thức biến đổi tổng thành tích
 Công thức biến đổi tích thành tổng
 cosa + cosb = 2cos.cos
 cosa – cosb = -2sin.sin 
 sina + sinb = 2sin.sin
 sina – sinb = 2cos.sin
 tana + tanb = 
 tana – tanb = 
cosa.cosb = 
sina.sinb = 
sina.cosb = 
Hệ quả
cosx + sinx = cos(x -/4)
cosx – sinx = cos(x +/4)
 sinx +cosx = sin(x +/4)
 sinx –cosx = sin(x -/4)
Công thức nhân ba
 cos3a = 4cosa – 3cosa 
 sin3a = 3sina – 4sina 
tan3a = 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình cơ bản
 sinx = a (-11) 
cosx = a (-11)
 tanx = a (aR)
 cotx = a (aR)
sinx = sin
cosx = cos
x = +k2
tanx = tan
x = +k
cotx = cot
 x = +k
II. Phương trình lượng giác thường gặp
1 .Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
 Dạng : asinx +b sinx + c =0
 acosx +bcosx + c = 0
cách giải:
Đặt t = sinx , t = cosx (-1t1)
 Dạng : atanx + btanx + c = 0
 acotx + bcotx + c = 0
cách giải:
Đặt t = tanx , t = cotx ,(tR)
2. Pt bậc nhất theon sinx và cosx
3.Pt thuần nhất bậc hai theo sinx và cosx
Dạng : acosx + bsinx = c
cách giải:
+Điều kiện có nghiệm: a+bc
+Chia cả hai vế chota có:
cos(x -) =
(với cos =, sin = )
 &
 Dạng : asinx +bsinx.cosx +cosx= d
cách giải:
+Xét cosx =0
+Xét cosx0
Chia cả hai vế cho cosx, đưa về pt bậc
hai theo tanx
4.Pt đối xứng đối với sinx và cosx
 Dạng : a(sinx +cosx) +bsinx.cosx =c
 cách giải:
Đặt t =sinx + cosx sin(x+/4)
 (đk - t)
Đưa pt về bậc hai theo t
Chú ý: Pt phản xứng:
a(sinx - cosx) +bsinx.cosx = c 
vẩn giải tương tự 
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
sin
0
1/2
/ 2
/ 2
1
/ 2
/2
1/ 2
0
cos
1
/ 2
/ 2
1/ 2
0
- 1/ 2
-/ 2
-/ 2
-1
tan
0
/3
1
/ /
-
-1
-
0
cot
/ /
1
/ 3
0
-/ 3
-1
-
/ /
II.Một số baì tập:
Bài 1: Giải các phương trình: 
cotx + sinx(1+tanx.tan) =4.
cos4x+sin4x+cos
tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6
sin3x-cos3x=cos2x.tan
3sin2x-cos2x-sin2x+cos2x=1