Bài giảng môn toán lớp 12 - Phương trình vô tỷ

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
Dạng cơ bản 
Giải phương trình : 2
4 3 2 1
x 4 x 2
- = - 
22
2 22
2 1 4 x0 0 x 40x 24 3 2 1 2x x 224 3 4 2 1x 4 x 2 4 3 2 1 1 0
xx 4 x x 4x 4 x 2
ì -ì- ³ < £³ ìï ïï ï ï- = - Û Û Û Û =í í í
- =æ öï ï ï- = - +- = - îç ÷ ïï îè øî
Giải phương trình : x 6x 6 x 9 x 6 x 9
23
+
+ - - - =+ 
Đặt 2t x 9, t 0 x t 9 9= - ³ Þ = + ³ 
Phương trình cho viết lại : 
2
2
2
t 4 0
t 2
0 t 3
6 t 3 6 t 3 t 32 t 4
t 12t 32 0 t 8
t 3
éì - =
=êí é£ <îê ê+ + - = + Û Û =ê êì - + =ê ê =ëíê ³îë
t 2 x 9 2 x 13
t 4 x 9 4 x 25
t 8 x 9 8 x 73
· = Û - = Û =
· = Û - = Û =
· = Û - = Û =
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x 13, x 25, x 73= = = 
Giải phương trình : 22 1 3 2x x
x 1 3 x
= + + -
+ + -
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
1 0
1 3
3 0
+ ³ì
Û - £ £í - ³î
x
x
x
. 
Đặt 
( )( )
2
2 2 2 t 4t x 1 3 x, 2 t 2 2 t 4 2 x 1 3 x 4 2 3 2x x 3 2x x
2
-
= + + - £ £ Þ = + + - = + + - Þ + - = 
( ) ( ) ( )
2
2 3 22 2 t 41 3 2x x 1 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0 *
t 2x 1 3 x
-
= + + - Û = + Û - - = Û - + + =
+ + -
Vì 2t 2t 2 0+ + > nên ( ) ( )( )* t 2 x 1 3 x 2 x 1 3 x 0 x 1, x 3Û = Û + + - = Û + - = Û = - = 
Chú ý : Cho hai số a 0,b 0³ ³ nếu t a b= + thì ( )a b t 2 a b+ £ £ + ( Đại số 9) 
Dễ thấy 
( ) ( )
AM GM
2 2t a b t a b 2 ab a b t a b 2 ab 2 a b a b t 2 a b
-
= + Û = + + Û + £ = + + £ + Û + £ £ + 
AM GM- viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân. 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
Giải phương trình : ( ) ( )2 24x 1 x 1 2x 2x 1 1- + = + + 
( ) ( ) ( )2 2 2 24x 1 x 1 2x 2x 1 4x 1 x 1 2 x 1 1- + = + + Û - + = + + 
Đặt 2t x 1, t 1= + ³ 
Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 4x 1 t 2t 2x 1 2t 4x 1 t 2x 1 0 2t 1 t 2x 1 0Û - = + - Û - - + - = Û - - + = 
( )22 2
11 2x 1 0 xt 1 4x22
3x 1 2x 1t 2x 1 3x 4x 0
ìé - >ì >= < ï ïêÛ Û Û Û =í íê + = -ï ïî= - - =ë î
Giải phương trình : ( ) ( )42 2 21 2x x 1 2x x 2 1 x 2x 4x 1+ - + - - = - - + 
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 22 0 0 2- ³ Û £ £x x x . 
( ) ( )42 2 21 2x x 1 2x x 2 1 x 2x 4x 1+ - + - - = - - + 
( ) ( ) ( ) ( )( )42 2 21 1 x 2x 1 1 1 x 2x 1 2 1 x 2 x 2x 1 1Û + - - + + - - - + = - - + - 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 21 1 x 1 1 1 x 1 2 1 x 2 x 1 *Û + - - + - - - = - - 
Đặt ( ) [ ] [ ] ( )2t x 1 , x 0;2 t 0;1 a= - Î Û Î 
Phương trình ( ) ( ) ( )2* 1 1 t 1 1 t 2t 2t 1 **Û + - + - - = - 
Điều kiện để phương trình có nghĩa : ( )12 1 0
2
- ³ Û ³ t t b .Từ ( ) ( ) 1, ;1
2
é ùÞ Î ê úë û
a b t . 
Với 1 ;1
2
é ùÎ ê úë û
t , bình phương 2 vế phương trình ( )** ta được 
( ) ( )2 24 4 3
1 11 t 2t 2t 1 2 2t 1
t t t
+ = - Û + = - 
( )
4 3
2
1 1 21 ;1 2
2
2 2 1 2
ì = + ³ïé ùÎ Þ Þ = =íê úë û ï = - £î
VT
t t tt VT VP
VP t
 xảy ra khi 1 2= Û =t x 
Vậy phương trình có nghiệm 2=x . 
Giải phương trình : 2 4 23x 3x 1 x x 1
3
- + = - + + 
( ) ( ) ( )( )2 4 2 2 2 2 23 3x 3x 1 x x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 13 3- + = - + + Û - + - + + = - - + + + 
( )
2 2
2 2
x x 1 3 x x 12 1 0 *
x x 1 3 x x 1
- + - +
Û + - =
+ + + +
Đặt 
2
2
x x 1t ,0 t 1
x x 1
- +
= < ¹
+ +
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
Phương trình ( )
2
2 2
2
3t 0
3 x x 1 33* 2t t 1 0 x 2x 1 0 x 1
3 x x 1 33t
3
é
= - <ê - +êÛ + - = Û Û = Û - + = Û =
+ +ê
=ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm x 1= . 
Giải phương trình : ( )
2
x 35x 1
12x 1
+ =
-
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 1>x . 
Đặt ( )1 , 1 0 1= > Þ < < x x y a
y
( ) ( )2 2
2 2
x 35 1 1 35 35x 1 y 1 y y 1 y 2
12 y 12 12x 1 1 y
+ = Û + = Û + - = -
- -
Đặt ( )
2
2 2 11 1 3
2
-
= + - Þ - = tt y y y y với 0 1 1 2< < Þ < £y t 
Phương trình ( )2 viết lại : 
(
2
2
7t
35 t 1 5t . 35t 24t 35 0
512 2 t 1; 2
7
é =ê-
= Û - - = Û ê
ê ù= - Ï ûêë
( ) ( )
2
2
2 2 2 4 2
2
16 449 11 12 144 144 25 5251 1 0
9 32 2 25 625 625
25 5
é é= = ±- ê ê-
- = = = Û - = Û - + = Û Ûê ê
ê ê= = ±ê êë ë
y y
ty y y y y y b
y y
Từ ( ) ( )à a v b suy ra ( ) 5 4 5 3; ; , ;
4 5 3 5
æ ö æ ö= ç ÷ ç ÷
è ø è ø
x y 
Vậy phương trình cho có nghiệm : 5 5,
4 3
= =x x 
Chú ý : Với điều kiện 1>x gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với 1
cos
=x
t
hoặc 
1
sin
=x
t
Giải phương trình : 2x 4x 3 x 5- - = + 
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 5 0 5+ ³ Û ³ -x x 
( )22x 4x 3 x 5 x 2 7 x 5- - = + Û - - = + 
Đặt ( )2y 2 x 5, y 2 y 2 x 5- = + ³ Û - = + 
Ta có hệ : 
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2 2
2 2
x 2 y 5
x 2 y 5 x 2 y 5 x y 0 5 29xy 2 x 5 x y x y 3 0 2x 2 y 5
x 1y 2 y 2 x y 3 0
y 2
ìéì - = +ïïêíì - = + ì - = + ï - =êï éî +ï ï ï =ï ï ê ê- = + Û - + + = Û Ûí í í ì - = +êï êï ï ï íê = -ê³ ³ ë+ + =ïïï ï îî ëî
ï ³î
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
Giải phương trình : 22x 15 32x 32x 20+ = + - 
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 152 15 0
2
+ ³ Û ³ -x x . 
( )222x 15 32x 32x 20 2x 15 2 4x 2 28+ = + - Û + = + - 
Đặt ( )214y 2 2x 15, y 4y 2 2x 15
2
+ = + ³ - Û + = + 
Ta có hệ : 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
22 2
4x 2 2y 15
x y 14y 2 2x 15 x y 8x 8y 9 0 x
24x 2 2y 154x 2 2y 15 4x 2 2y 15
9 2218x 8y 9 0 x1 1y y 16
2 2 1y
2
ìéì + = +ïïêíì ì ï =êï éî+ = + - + + =ï ï =ïê êï ï ï ì + = +êï ê+ = + Û + = + Û Ûí í í íê - -êï ï ï + + =ï =îë êï ï ï³ - ³ - ë
î î ï
³ -ïî
Dạng tổng hiệu – bình phương 
Giải phương trình : ( ) ( )4x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1+ - + - - - = 
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
0
0 1
1 0
³ì
Û £ £í - ³î
x
x
x
. 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )4 4x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 0+ - + - - - = Û - - + - - - - + - = 
( ) ( ) ( )( )2 24 4 4 4 4 4x 1 x x 1 x 0 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 0Û - - - - - = Û - - - + - - - + - - = 
( )
( )
4 4
4 4
x 1 x x 1 x 0 1
x 1 x x 1 x 0 2
é - - - + - =
êÛ
ê - - + - - =ë
Phương trình 
 ( )4 4 4 41 1x 1 x x 1 x 0 1 1 x 1 x x x 0
4 4
æ ö æ ö- - - + - = Û - - - + - - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )( )
2 2
4 4 4 4 4 41 11 x x 0 1 x x 1 x x 1 0
2 2
æ ö æ öÛ - - - - = Û - - - + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )
( )
4 4
4 4
1 x x 0 a
1 x x 1 0 b
é - - =
êÛ
ê - + - =ë
( )4 4 4 4 11 x x 0 a 1 x x 1 x x x
2
· - - = Û - = Û - = Û = 
( ) 4 42 34 4 4 4 41 x x 1 0 b 1 x 1 x 1 x 1 4 x 6 x 4 x x· - + - = Û - = - Û - = - + - + 
( ) ( ) ( )4 4 43 2 24 4 4 4 4x x 2 x 3 x 2 0 x x 1 x x 2 0Û - + - = Û - - + = 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
4
4
4
4
4 2 4
x 0
x 0 x 0
x 1 0
x 1x 1
x x 2 0
é =
ê é = =é
Û - = Û Ûê ê ê == ëê êë
- + >êë
Phương trình 
 ( )4 4 4 41 1x 1 x x 1 x 0 2 x x 1 x 1 x 0
4 4
æ ö æ ö- - + - - = Û + + - - + - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )( )
2 2
4 4 4 4 4 41 1x 1 x 0 x 1 x x 1 x 1 0
2 2
æ ö æ öÛ + - - + = Û - - + - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
4 4
4 4
4 4
x 1 x 0 1x 1 x x 1 x x
2x 1 x 1 0
é - - =
Û Û = - Û = - Û =ê
+ - + >êë
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm 1x 0, x , x 1.
2
= = = 
Dạng dùng bất đẳng thức 
Giải phương trình : 2 2 2x x 1 x x 1 x x 2+ - + - + + = - + 
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
x x 1 0
x x 1 0
ì + - ³ï
í
- + + ³ïî
. 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 x x 1 x xx x 1 1. x x 1
2 2 x x 1 x x 1 x 1
1 x x 1 x x 2x x 1 1. x x 1
2 2
ì + + - +
+ - = + - £ =ïï Þ + - + - + + £ +í
+ - + + - + +ï - + + = - + + £ =ïî
Phương trình : ( )22 2 2 2x x 2 x x 1 x x 1 x x 2 x 1 x 1 0 x 1- + = + - + - + + Û - + £ + Û - £ Û = 
Vập phương trình cho có nghiệm x 1= 
Giải phương trình : 2 2 22x x 3x 3x 1 x 2x 3- + - + + = - + 
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
2x x 0
3x 3x 1 0
ì - ³ï
í
- + + ³ïî
. 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , 
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
22
2 2
1 2x x2x x 1. 2x x
2
1 3x 3x 1 3x 3x 23x 3x 1 1. 3x 3x 1
2 2
x 1x 3x 2VT 2x x 3x 3x 1 2 2
2 2
ì + -
- = - £ïï
í
+ - + + - + +ï - + + = - + + £ =ïî
-- + +
Þ = - + - + + £ = - £
( )22VP x 2x 3 x 1 2 2= - + = - + ³ 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
2
2
x 1 0
VT VP 2 khi 1 2x x x 1
1 1 3x 3x
- =ì
ï= = = - Û =í
ï = + -î
Vậy phương trình có nghiệm x 1= . 
Dạng khác 
Giải phương trình : 
2 2a) x 4 x 2 3x 4 x+ - = + - ( ) ( )b) x 1 x 4 x 1 x 4 5+ + - + + - = 2c) 4x 1 4x 1 1- + - = 
Hướng dẫn : 
2 2a) x 4 x 2 3x 4 x+ - = + - 
Đặt 2;4 2 £-+= xxxt có 20';
4
1'
2
=Û=
-
-= xt
x
xt t 2;2 2é ùÞ Î -ë û Phương trình : 
2 2x 4 x 2 3x 4 x+ - = + -
3
142,2,00823 2 --===Û=--Û xxxtt 
( ) ( )b) x 1 x 4 x 1 x 4 5+ + - + + - = 
Đặt [ ]t x 1 4 x; x 1;4 t ' 0 t 5; 10é ù= + + - Î - Þ = Þ Î ë û 
( ) ( )x 1 x 4 x 1 x 4 5+ + - + + - = 305
2
52
=Ú=Û=
-
+Û xxtt 
2c) 4x 1 4x 1 1- + - = 
ï
î
ï
í
ì
>-+-=
³
0)(';1414)(
2
1
2 xfxxxf
x
2
1)
2
1(1)( =Þ==Þ xfxf 
Nhân lượng liên hợp 
Giải các phương trình : 
a) ( )( )x 1 1 x 1 2x 5 x+ + + + - = b) 2 22x 3x 5 2x 3x 5 3x+ + + - + = 
a) ( )( )x 1 1 x 1 2x 5 x+ + + + - = 
Nhân cả hai vế phương trình với x 1 1+ - ta được phương trình hệ quả 
( ) ( ) ( ) ( )x x 1 2x 5 x x 1 1 x x 1 2x 5 x 1 1 0é ù+ + - = + - Û + + - - + - =ë û 
( ) ( )
x 0 x 0
x 1 2x 5 x 1 1 0 x 2
=é =é
êÛ Û ê+ + - - + - = =ê ëë
Thử lại ta thấy x 2= thỏa mãn . 
b) ( )2 22x 3x 5 2x 3x 5 3x 1+ + + - + = 
Nhân cả hai vế phương trình với 2 22x 3x 5 2x 3x 5+ + - - + ta được phương trình hệ quả : 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
( ) ( )
2 2
2 2
x 0
6x 3x 2x 3x 5 2x 3x 5
2x 3x 5 2x 3x 5 2 2
=é
= + + - - + Û ê
+ + - - + =êë 
Lấy ( ) ( )1 2+ ta được ( ) ( )22 22 2x 3x 5 2 3x 4 2x 3x 5 2 3x+ + = + Û + + = + phương trình hệ quả 
2 2 2 x 48x 12x 20 4 12x 9x x 16
x 4
=é
Û + + = + + Û = Û ê = -ë
Kiểm tra lại các nghiệm x 4; x 4; x 0= = - = ta thấy x 4= thỏa mãn 
Giải các phương trình : 
a) 
2xx 1 1 x 2
4
+ + - = - b) 
2 24x 1 2x 1 1 x 2x- - + = + - 
a) 
2xx 1 1 x 2
4
+ + - = - 
Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , 
lượng giác nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp . 
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
1 0
1 1
1 0
+ ³ì
Û - £ £í - ³î
x
x
x
. 
Vì 1 1- £ £x nên 
2x2 0
4
- > 
Phương trình cho 
( )
4 2
2 2 2 2x x2 2 1 x 4 x 2 1 1 x x 1
16 16
æ ö
Û + - = - + Û - - = -ç ÷
è ø
( )( ) ( )
2
2 2 2 2x2 1 1 x 1 1 x x 1 1 1 x
16
æ ö
Û - - + - = - + -ç ÷
è ø
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2
x 0
x2x x 1 1 1 x x 0x16 2 1 1 1 x
16
é =
æ ö êÛ = - + - Û Û =æ öç ÷ ê = - + -è ø ç ÷ê è øë
Vì x 0¹ nên ( )
2
2
2
2
x1 1 x16 1 1 1 x 2
16
1 1 x 2
ì
- < æ öï Þ - + - <í ç ÷
è øï + - <î
Vậy phương trình cho có nghiệm x 0= 
b) 2 24x 1 2x 1 1 x 2x- - + = + - 
kiện để phương trình có nghĩa :
2
1
4 1 0 2
12 1 0
2
é ³êì - ³
Û êí
+ ³ êî = -êë
xx
x x
· Nếu 1
2
= -x thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra 1
2
= -x là nghiệm phương trình . 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
· Nếu 1
2
³x thì phương trình cho 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1Û + - + + - = + Û - + + - =x x x x x x x x 
( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1Û - - = + - + Û - - - + = + - + - +x x x x x x x x 
( ) ( )( ) ( )
1
2 1 2 1 1 2 1 1 1
2 2 1 2 1 1 0
=é
êÛ - = + - + - + Û Û =
+ + - + =êë
x
x x x x x
x x
Vậy phương trình cho có nghiệm 1 , 1
2
= - =x x 
Dùng đạo hàm 
Giải phương trình : 6 23 x 7 x 2x 1 2+ + - + = 
33
6 23 3 3
33
x 7 x 1 2
x 1
x 7 x 2x 1 2 x 7 x 1 2
x 7 x 1 2
x 1
éì + + - =ï
êí
³ïêî+ + - + = Û + + - = Û êì + - - =ïêíê <ïîë
Trường hợp 1: 
33 x 7 x 1 2
x 1
ì + + - =ï
í
³ïî
 . Xét hàm số ( ) 33f x x 7 x 1= + + - . 
Hàm số ( )f x là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y 2= tại 1 giao điểm ; do đó phương trình 
cho có nghiệm duy nhất và ( )f 1 2 x 1= Þ = là nghiệm duy nhất của phương trình . 
Trường hợp 2 : 
33 x 7 x 1 2
x 1
ì + - - =ï
í
<ïî
Đặt 33u x 7, v x 1= + = - 
Hệ 
3
33
3
3 3
3
3
x 1
u 0 x 7 0
v 2u v 2x 7 x 1 2 x 1 2 x 7
u v 8 u 2x 1
x 7 2v 0
x 1 0
<ì
ïé =ì éì + =ï ïíê êí= -- =ì ì ï+ - - =ï îê ê - = -Û Û Û Û = -ïí í í îê- = =< êìï îî ïê ìí + =êïï=êîë íêï - =ïêîëî
Vậy hệ cho có nghiệm x 7;x 1= - = . 
Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ( )xxmxxx -+-=++ 4512 
Phương trình cho ( )( ) mxxxxx =---++Û 4512 
X ét ( ) ( )
( )
( )
( )
12 5 4= + + - - -
1442443 1442443
g x h x
f x x x x x x ; [ ]4,0ÎD 
( ) ( )12++= xxxxg : đồng biến trong D 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1' 0 0;4 :
2 5 2 4
-
= + > " Þ =
- -
h x x f x g x h x
x x
 đồng biến mọi Îx DÞ phương 
trình có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 12453240 ££-Û££ mfxff . 
Bài tập : 
Bài tập 1: Xác định m để phương trình : ( )( ) 01562 =--++- xxmxx có nghiệm. 
Hướng dẫn : ( ) ( )
2
t x 5 1 x ; 0 t 4 19
m 17
4m t t 5
ì = - - £ £ï Þ £ £í
= - +ïî
Bài tập 2: Tìm m để phương trình : mxxxx =-+-+ 22 sin2sinsin2sin có nghiệm. 
Hướng dẫn : [ ]2;0
2
2'
1|| ; sin
sin2sin
2
22
ÎÞ
-
--
=Þ
ïî
ï
í
ì
£=
-+= t
z
zzt
zxz
xxt 
[ ] 312;0
)(222
2
2sin2sin
22
2 ££-Þ
î
í
ì
Î
=-+=
Þ
-
=-Þ m
t
tfttmtxx 
Bài tập 3 : Cho phương trình : mxxxx =++++- 22 cossin1sinsin2 
1. Giải phương trình khi 22=m 
2. Định m để phương trình cho có nghiệm úû
ù
êë
é-Î
2
;
2
ppx 
Hướng dẫn : 
úû
ù
êë
éÎÞ-=Þ
î
í
ì
£=
-+=
4
9;021'
1|| ; sin
sinsin2 2
tzt
zxz
xxt
222
14)(
4
9;0
££Þ
ï
î
ï
í
ì
=+-=
úû
ù
êë
éÎ
Þ m
mttf
t
Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình : 4 444 4 6x x m x m m+ + + + + = 
Hướng dẫn : 4 44 4 ; ( ) 4 16t x x m f x x x m= + + = - - + = 
19m > : vô nghiệm ; 19m = : 1 nghiệm ; 19m < : 2 nghiệm 
Tìm m để bất phương trình : ( )( ) ( )21 2 3 2 5 3x x m x x+ - > + - + thỏa mãn 1 ;3
2
x é ù" Î -ê úë û
. 
Đặt ( )( )
( ) ( )
1 5 4 11 2 3 ; ;3 có ' , ;3
2 22 1 2 3
-é ù æ ö= + - Î - = Î -ç ÷ê úë û è ø+ -
xt x x x t x
x x
5' 0
4
t x= Û = 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
x 12- 
5
4 3 
t’ + 0 – 
t 7
2
 1 7: ;3 0;
2 2
x té ù é ùÎ - Þ Îê ú ê úë û ë û
 0 0 
Để bất phương trình cho đúng 21 ;3 thì : 6
2
x t t mé ùÎ - + > +ê úë û
đúng 70;
2
t é ùÎ ê úë û
. 
Đặt 2 1( ) '( ) 2 1 '( ) 0
2
f t t t f t t f t t= + Þ = + Þ = Û = - 
t -¥ 12- 0 
7
2 
f’(t) + 
f(t) 
 0 
7
0;
2
6 min ( ) (0) 0 6Î é ùÞ + < = = Þ < -ê úë û
tm f t f m