Bài giảng môn toán lớp 12 - Tính đơn điệu của hàm số

HÀM SỐ
[1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Hàm số nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số 
Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
Tìm m để hàm số tăng trên 
Tìm m để hàm số giảm trên 
Ví dụ 11
Cho hàm số . Tìm m để hàm số:
Liên tục trên R
Tăng trên khoảng 
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số đồng biến trên 
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì 
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
Chứng minh rằng 
Ví dụ 3
Cho hàm số 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
b. Chứng minh 
Ví dụ 3
Cho hàm số 
Xét chiều biến thiên của hàm số trên 
Chứng minh rằng 
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc I.
TXĐ: R
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II
TXĐ: R
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
 yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ =71
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu 
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số 
Bài 2. Tìm m để hàm số 
Bài 3. Tìm m để hàm số 
Bài 4. Tìm m để hàm số 
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn: 
+ Nếu 
+ Nếu q > 0 thì: 
Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cực trị của hàm phân thức . Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
Hướng dẫn.
a. TXĐ: R
 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình: 
b. TXĐ: 
Bài 1. Tìm m để hàm số 
Bài 2. Tìm m để hàm sô luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm . Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
Bài 5. Xác định m để hàm số 
Bài 6. Tìm m để hàm số 
Bài 7. Tìm m để hàm số 
Bài 8. Tìm m để hàm số 
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Bài 11. Tìm m để hàm số 
Bài 12. Tìm m để hàm sô luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm . Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Ž GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên :
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm caùc giaù trò xi (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh .
B2: Tính 
B3: GTLN = max{} 
	GTNN = Min{}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2. 
Tính GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 
Đường thẳng y = ax + b ( ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: 
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ 
Phương pháp 
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
	+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
	+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + với thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
Hướng dẫn
a. Ta thấy nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+ . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ . Ta thấy Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+ . Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+ . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 
Phương pháp
Ta phân tích 
Với khi đó có tiệm cận xiên bên phải
Với khi đó có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 
H­íng dÉn
C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña hµm sè 
DÊu cña g(x)
L
Tuú ý
0
L > 0
0
+
+
-
- 
L < 0
0
-
+
+
- 
Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau:
Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:
Bµi 3. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè
Bµi 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng.
Bµi 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè:
Bµi 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 (®vdt)
Bµi 7. Cho hµm sè: (1)
T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm 
T×m m ®Ó ®­êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 
[4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba
D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè 
Ph­¬ng ph¸p
T×m tËp x¸c ®Þnh.
XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè
T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®­êng tiÖm cËn.
LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm:
+ T×m ®¹o hµm, xÐt dÊu ®¹o hµm, xÐt chiÒu biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ.
+ §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng.
3. VÏ ®å thÞ cña hµm sè.
+ VÏ ®­êng tiÖm cËn nÕu cã.
+ X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn.
+ NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh)
VÝ dô 1. Cho hµm sè: 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
H­íng dÉn
a. 
1. TX§: 
2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè
a. Giíi h¹n t¹i v« cùc
B¶ng biÕn thiªn
Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng 
Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2).
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ yCT = y(1) = -1
3. §å thÞ
	+ Giao víi Oy: cho x = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1)
	+ . §iÓm A (1; 1)
+ NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng.
b. 
Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ vµ y =m
Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn:
m > 3: Ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm.
C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba
Bµi 1(TNTHPT – 2008)
 Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008)
Cho hµm sè y = x3 - 3x2
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Bài 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hàm số y= có đồ thị là (C) .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) .
Bài 4 (TNTHPT - 2006) 
Cho hàm số y= có đồ thị (C) .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
	b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : -m=0 .
Bài 5  (TNTHPT – 2004- PB)
 Cho hàm số y= có đồ thị là (C) .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’=0 .
	c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=x+m2-m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu .
Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB)
 Cho hàm số y= .
	a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 .
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 .
Bµi 7 (§H- A- 2002)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= 1
T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh: cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1).
Bµi 8 (C§ SP MGTW- 2004)
Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m
Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1
Bµi 9 (§H-B- 2007)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O.
Bµi 10 (§H - D - 2004)
Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2
T×m m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®­êng th¼ng y = x+ 1
Bµi 8
Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m)
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4
Bµi 3
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2
Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu.
Bµi 5 (§H 2006- D)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
Gäi d lµ ®­êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®­êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0)
Bµi 7
Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1
T×m m ®Ó hµm sè ®· cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0
Bµi 8
Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m)
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4
Bµi 11
Cho hµm sè y = 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1
T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
 Hµm bËc bèn trïng ph­¬ng vµ mét sè bµi tËp cã liªn quan
I. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph­¬ng
Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho 
Hµm sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu cã ba nghiÖm ph©n biÖt 
§å thÞ hµm sè lu«n nhËn Oy lµ trôc ®èi xøng.
NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n.
D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè
VÝ dô 1 (TNTHPT-2008)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2
VÝ dô 2. Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =0
Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi tËp hµm sè trïng ph­¬ng
Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
Bµi 2. 
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n.
Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = 
BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) 
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1
H·y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi 5. (§H Vinh - 2002)
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 6
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè
BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè 
Bµi 7
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1
X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®· cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm
Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002)
Cho hµm sè (Cm)
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox
Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n.
HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )
Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua ñieåm cho tröôùc.
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:
Ta coù : 
 Hoï ñöôøng cong ñi qua ñieåm (1)
Xem (1) laø phöông trình theo aån m. 
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Cuï theå:
Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0
 Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong 
D¹ng 1: 
TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )
	Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm)	
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Goïi laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:
 nghieäm ñuùng m (1)
Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:
 Daïng 1: 
	 Daïng 2: 
 AÙp duïng ñònh lyù: (2)
 (3)
 Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc 
Bµi tËp 
Bµi 1. Cho hä (Cm) . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®­êng cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi 
Bµi 3. Cho hä (Cm) cã ph­¬ng tr×nh: . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 4. Cho hµm sè (Cm): 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
Chøng minh r»ng hä ®­êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5. Cho hµm sè: . Gäi (Hm) lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho.
Chøng minh r»ng víi mäi , hä ®­êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh.
Gäi M lµ giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi.
Bµi 6. Cho hµm sè: . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n qua ba ®iÓm cè ®Þnh vµ 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng.
D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua
Ph­¬ng ph¸p:
B1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
B2: Khi cã ph­¬ng tr×nh: v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®­îc (x0; y0)
B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 1. Cho hµm sè . T×m c¸c ®iÓm mµ (Cm) kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 2. Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
T×m c¸c ®iÓm trªn ®­êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua.
Bµi 3. Cho ®å thÞ hµm sè . Chøng minh r»ng trªn ®­êng cong y = x2 cã hai ®iÓm mµ (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m.
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bình phương 2 vế của phương trình 
Phương pháp 
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Ví dụ 
 Giải phương trình sau : 
Giải: Đk 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 
Bình phương hai vế ta có : 
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình : 
Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện : 
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? 
Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
Bình phương 2 vế ta được: 
Thử lại : l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
 Mà có : thì ta biến đổi 
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Phương pháp 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm 
 Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau : 
Giải: 
Ta nhận thấy : v 
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Bài 3. Giải phương trình :
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 
Ta chứng minh : 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đĩ ta có hệ: 
b) Ví dụ 
Bài 4. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 5. Giải phương trình : 
Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
3. Phương trình biến đổi về tích 
Sử dụng đẳng thức 
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: 
Bi 2. Giải phương trình : 
Giải:
+ , không phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Bài 3. Giải phương trình: 
Giải: 
pt
Bài 4. Giải phương trình : 
Giải: 
Đk: 
Chia cả hai vế cho : 
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Đk: khi đó pt đ cho tương đương :
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải:
Đk: phương trình tương đương : 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải : pttt 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
Bài 2. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là: 
Do nên chỉ nhận các gái trị 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì phương trình trở thnh: ( với 
Từ đó ta tìm được các giá trị của 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
Giải: đk 
Đặt pttt
Bài 5. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện: 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
Đặt , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 
Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
Đặt t=, Ta có : 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách 
Xét phương trình trở thành : 
 thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng : 
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: Đặt 
Phương trình trở thành : 	Tìm được: 
Bài 2. Giải phương trình :
Bài 3: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt có nghiệm :
b).Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
Bài 2.Giải phương trình sau : 
Giải 
Đk . Bình phương 2 vế ta có : 
Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trình : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 
Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta có : 
Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: 
 , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rút thay vào thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên t