Bài giảng môn toán lớp 12 - Toạ độ trong không gian

TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
I.Tọa độ của điểm vaø của vec tơ :
1. Hệ tọa độ : Trong khoâng gian cho ba trục x’Ox; yOy, z’Oz vuoâng goùc với nhau từng đoâi một . 
Treân mỗi trục xaùc định caùc veùc tơ đơn vị ,,
+ Gọi laø hệ trục tọa độ Đecac vuoâng goùc Oxyz trong KG hay đơn giản gọi laø hệ toaï độ Oxyz
+ O laø gốc tọa độ ; mp(Oxy); (Oxz); (Oyz) laø caùc mp tọa độ 
2. Toaï ñoä ñieåm: M(x;y; z) Û = x.+ y.+z. 
3. Toaï ñoä veùc tô: = (x;y;z) Û = x.+ y.+ z.
= (a1;a2; a3) Û= a1+ a2.+ a3.
II. Bieåu thức tọa độ của caùc pheùp toaùn vec tơ :
Định lyù : 	Cho = (a1;a2; a3) , = (b1;b2; b3)
· ±=(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
· k.= (ka1;ka2;ka3) 	k Î R 
cuøng phöông ;¹ Û = k.Û b1=ka1 ; b2=ka2; b3=ka3
Caùc kết quaû : =( xB- xA ; yB-yA;zB -zA) ; 
AB=
· M chia ñoaïn AB theo tæ soá k¹1 
 ( = k)
· I laø trung ñieåm cuûa AB
· G laø troïng taâm tam giaùc ABC 
III.Tích voâ höôùng : = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3=½½.½½Cos j
 Cos j = 
 Û a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 
· Dieän tích tam giaùc ABC : SABC = 
¨ Ñieàu kieän 3 ñieåm thaúng haøng vaø cuøng phöông 
IV. Phöông trình maët caàu :
Maët caàu (S) taâm I(a;b;c) baùn kính R coù phöông trình :
	(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 = R2
Ví duï 1: Laäp phöông trình maët caàu (S):
a) Taâm I(1;-2;1) , baùn kính R = 3
b) Taâm I(2;-1;-3) vaø ñi qua A(3;-7;0) 
c) Coù ñöôøng kính AB vôùi A(2;-5;6) , B(1;9;-11) 
Chuù yù : Phöông trình cuûa maët caàu ( S) coù theå vieát daïng :
 x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C2-D > 0 
 coù taâm I(-A ;-B;-C) ; baùn kính R = 
Ví duï 2: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu coù phöông trình :
a) x2 + y2 + z2 -8x + 2y + 1 = 0	b) 2x2 + 2y2 + 2z2-6x +12y-4z-6 = 0
Baøi taäp :
· Xaùc ñònh ñieåm trong khoâng gian , c/m tính chaát hình hoïc ...
1. a) Vieát toaï ñoä caùc veùc tô sau ñaây : 
= -2+ 3- ; = 11 -4+5; = -2+ 
b) Cho 	=(3;-2;-1) ; =(;3;-6) ; =(7;-1;0)
Tính = 2-5+ 4 ; =12- 7 
2.Cho boán ñieåm A(4;2;3) ,B(-2;1;-1) , C(3;8;7) vaø D(-6;2;z)
a) CMR tam giaùc ABC caân 	b) Xaùc ñònh z ñeå D ABD caân taïi B 
c) Tính dieän tích tam giaùc ABC 
3. Cho A(2;4;-3) ,B(5;-7;-1) 
a) Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB 
b) Xaùc ñònh toaï ñoä ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá -2 
c) Tìm ñieåm N treân x/Ox caùch ñeàu hai ñieåm A vaø B 
4. Cho A(6;4;-2) , B(6;2;0) , C(4;2;-2) 
a) CMR tam giaùc ABC ñeàu 
b) Cho S(3;y;z) .Tìm y, z ñeå S.ABC laø hình choùp ñeàu 
c) Xaùc ñònh toaï ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc ABC 
5. Cho ba ñieåm A(4;-3;2) ,B(-2; m ;3) , C( n ;4;-2) . Tìm m, n ñeå :
a) Ñieåm G(2;-1;1) laø troïng taâm DABC	 b) Ba ñieåm A,B,C thaúng haøng 
c) Tìm giao ñieåm E cuûa ñ. thaúng AG vaø mp(xOz)
6.Cho D ABC coù A(1;-2;6) ,B(2;5;1) , C(-1;8;4) 
a) Xaùc ñònh toaï ñoä E &F laø chaân caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi goùc A cuûa D ABC treân caïnh BC 
b) Tính ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc ñoù 
7. Cho A(1;-1;5) ,B(2;-3;7) , C(0;1;4)
a) Xaùc ñònh toaï ñoä troïng taâm cuûa D ABC 
b) Xaùc ñònh toaï ñoä D ñeå töù giaùc ABCD laø hình bình haønh 
8. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ 
a) bieát A(1;0;1) , B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5) . Tính toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi ?
b) biết A(2;-3;2), B(-1;4;5),A’(0;-2;1), D’(5;-1;-3).Tìm tọa độ các đỉnh còn lại ?
9. Laäp phöông trình maët caàu (S) :
a) Taâm I(1;-3;2) vaø baùn kính R = 5 	b) Taâm I(2;4;-1) vaø ñi qua A(5;2;3) 
c) Taâm I(0;3;-2) vaø ñi qua goác toaï ñoä	d) Ñ. kính AB vôùi A(1;-2;4),B(3;-4;-2) 
10. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu :
a) x2 + y2 + z2 -8x + 2y + 1 = 0	b) x2 + y2 + z2 +4x + 8y -2z -4 = 0
c) 3x2+3y2+3z2+6x-3y+15z-2=0	d) x2+y2 +z2-4x+6y-2z-22=0
e) x2 + y2 + z2 -2x + 4y -4z -16 = 0	f) x2 + y2 + z2 - 4y + 8z = 0
§¨§
· Tích coù höôùng cuûa 2 veùc tô : [,] = 
 * [,] ^ ; [,] ^ 
 · Ñoä daøi cuûa veùc tô tích coù höôùng : ½[,]½=½½.½½.Sinj
 · Ñk ñoàng phaúng cuûa 3 veùc tô :
 	,, ñoàng phaúng Û [,].= 0
· ÑK ñeå 4 ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng ( taïo thaønh töù dieän ) laø: ba veùc tô ,, khoâng ñoàng phaúng [,].¹ 0 
· Dieän tích tam giaùc ABC : SABC = .½[,]½ (môùi )
· Theå tích töù dieän ABCD : VABCD = ½[,].½
· Theå tích hình hoäp : VABCD.A'B'C 'D' = ½[,].½ 
Tích voâ höôùng , tích coù höôùng , goùc giöõa hai veùc tô :
11.Cho =(1;-1;1) ; = 3-4 + ; = (3;2;-1) 
a) Tính (.).	b) .(.)	c) [,].	d) [,].
12. Tính goùc giöõa hai veùc tô trong caùc tröôøng hôïp sau :
a) =(4;3;1)	, =(-1;2;3) 	 	 b) =(2;5;4) , =(6;0;-3) 
c) =(2;1;-2), =(0;-;) 	d) =(-4;2;4),=(2;-2;0) 
e) Cho =(2;1;-3m), =(0;-m+2;) Tính m ñeå vaø vuoâng goùc nhau 
f) Cho =(2;3;1),=(1;-2;-1),=(-2;4;3). Xaùc ñònh veùc tô bieát 
.=3;.= 4 ; .= 2 
Veùc tô ñoàng phaúng , khoâng ñoàng phaúng,theå tích hình hoäp, töù dieän:
13. Xeùt söï ñoàøng phaúng cuûa ba veùc tô ,vaø trong moãi tröôøng hôïp sau 
a) =(1;-1;1) ,=(0;1;2) vaø =(4;2;3)	b) =(4;3;4) ,=(2;-1;2) vaø =(1;2;1)
14.Cho =(2;-3;1) ,=(-1;2;5) vaø =(2;-2;6) , =(3;1;2)
a) Chöùng toû ,, khoâng ñoàng phaúng 	
b) Phaân tích veùc tô theo ba veùc tô ,, 
15. Cho boán ñieåm A(-1;5;-10) B(5;-7;8) , C(2;2;-7) , D(5;-4;2) 
a) Chöùng minh A, B, C, D cuøng naèm treân moät phaúng .
b) Tính dieän tích töù giaùc ABCD 
16. Cho A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) 
a) Chöùng minh A, B, C, D laø boán ñænh cuûa töù dieän 
b) Tìm goùc taïo bôûi caùc caëp caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän 
c) Tính theå tích VABCD vaø tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän haï töø A 
17. Cho hình choùp A.BCD vôùi A(3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4) , D(1;-2;6)
a) Tính dieän tích tam giaùc ACD 
b) Tính theå tích hình choùp & ñoä daøi ñöôøng cao hình choùp keû töø B