Bài giảng môn toán lớp 12 - Tổng hợp lý thuyết đại số và giải tích. Một số bài tập tham khảo

VẤN ĐỀ II: TỔNG HỢP LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH.
MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
I/ LÝ THUYẾT 
**TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
	Qui tắc tìm GTLN – GTNN trên đoạn [a;b].
+ Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ,xn của f(x) trên đoạn [a;b].
+ Tính f(x1); f(x2);; f(xn); f(a); f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: và 
** LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trong khoảng (a;b).
Qui tắc : 
	+ Tính f’’(x) , giải phương trình f’’(x) = 0 tìm nghiệm, lập bản xét dấu
 + Nếu f’’(x) < 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
 + Nếu f’’(x) > 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
** TIỆM CẬN
** KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
Dạng hàm đa thức y = ax3 + bx2 + cx + d(a)
 y = ax4 + bx2 + c (a0)
	Qui trình khảo sát hàm đa thức
1 – Tìm tập xác định
2 – Tính y’ và tìm cực trị (Nếu có )
3 – Tính y’’ và tìm điểm uốn; khoảng lồi lõm (nếu có)
4 – Tính giới hạn
5 – Lập bảng biến thiên ( Ghi các kết quả vừa tìm được ở các bước trên)
6 – Tìm các điểm đặc biệt
7 – Vẽ đồ thị hàm số
 2) Dạng hàm phân thức , 
Qui trình khảo sát hàm hữu tỷ.
1 – Tìm tập xác định
2 – Tính y’ và tìm cực trị (Nếu có )
3 – Tính giới hạn và tìm tiệm cận.
4 – Lập bảng biến thiên ( Ghi các kết quả vừa tìm được ở các bước trên)
5 – Tìm các điểm đặc biệt
6 – Vẽ đồ thị hàm số
** MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường.
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Hãy tìm giao điểm của (C) và (C1).
Giải
Rõ ràng M0(x0;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi x0, y0 là nghiệm cuả hệ pt:. Do đó để tìm hoành độ của (C) và (C1) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (1). Nếu x0, x1, là nghiệm của phương trình (1) thì các điểm M0(x0;f(x0)), M1(x1;f(x1)), là các giao điểm của (C) và (C1).
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Khi đó (C) và (C1) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: Có nghiệm.
VẤN ĐỀ II:TỔNG HỢP LÝ THUYẾT HÌNH HỌC VÀ
 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Phần I: TRONG MẶT PHẲNG
I/LÝ THUYẾT TỔNG HỢP VỀ BA ĐƯỜNG CƠNÍC
I/ ELÍP
(E)
Elíp tâm O, cĩ tiêu điểm trên Ox
Elíp tâm O, cĩ tiêu điểm trên Oy
Phương trình
chính tắc
 với 
với 
Tiêu điểm
F1(-c ; 0) , F2(c ; 0)
F1(0 ; -c ) , F2(0 ; c )
Tiêu cự
2c
2c
Trục lớn
2a
2a
Trục bé
2b
2b
Toạ độ các đỉnh
A1(-a ; 0),A2(a ; 0),B(0 ; -b),B2(0 ; b)
A1(-b ; 0),A2(b ; 0),B(0 ; -a),B2(0 ; a)
Tâm sai
Bán kính qua tiêu của điểm M(x ; y)
 ; 
 ; 
Đường chuẩn
Ứng với tiêu điểm F1, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F2, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F1, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F2, cĩ 
Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;y0)
Điều kiên đường thẳng tiếp xúc với (E)
II/ HYPERBOL
(H)
Hyperbol tâm O, tiêu điểm trên Ox
Hyperbol tâm O, tiêu điểm trên Oy
Phương trình 
chính tắc
 với 
với 
Tiêu điểm
F1(-c ; 0) , F2(c ; 0)
F1(0 ; -c ) , F2(0 ; c )
Tiêu cự
2c
2c
Trục thực
2a
2a
Trục ảo
2b
2b
Toạ độ các đỉnh
A1(-a ; 0) , A2(a ; 0)
A1(0 ; -a) , A2(0 ; a)
Tâm sai
Tiệm cận
Bán kính qua tiêu của điểm M(x ; y)
Đường chuẩn
Ứng với tiêu điểm F1, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F2, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F1, cĩ 
Ứng với tiêu điểm F2, cĩ 
Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;y0)
Điều kiên đường thẳng tiếp xúc với (H)
III/ PARABOL
(P)
Parabol tâm O, tiêu điểm trên Ox
Parabol tâm O, tiêu điểm trên Ox
Phương trình 
chính tắc
Trục đối xứng
Ox
Ox
Oy
Oy
Tiêu điểm
Đường chuẩn
Tâm sai
Bán kính qua tiêu điểm của M(x;y)
Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;y0)
Điều kiên đường thẳng tiếp xúc với (H)
Ghi chú
Cĩ thể sử phương trình cĩ nghiệm kép
II/BÀI TẬP ÁP DỤNG
 1/ ELÍP
Bài I: Viết phương trình chính tắc của Elíp, từ đó tìm các yếu tố của (E) biết :
Một tiêu điểm và tâm sai 
Độ dài tiêu cự bằng 6 và khoảng cách từ một đỉnh trên trục nhỏ đến tiêu điểm bằng 5.
(E) đi qua hai điểm và 
 (E) đi qua và từ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 
Bài II: Trên mặt phẳng cho 
 Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ tiêu điểm, độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ, tâm sai và phương trình đường chuẩn.
Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E) , song song với và cắt (E) tại hai điểm M,N phân biệt. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN?
Tìm giá trị của để đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
Tìm điểm sao cho 
Tìm điểm sao cho ngắn nhất.
Tìm điểm sao cho từ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
 Tìm điểm sao cho từ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 
Tìm điểm sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất? 
Bài III. Tiếp tuyến của .
 Cho 
 Tính các bán kính qua tiêu của điểm 
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm 
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến đi qua điểm 
 Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp: và 
ĐHSPHN2 – 96: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp: và 
Viết phương trình tiếp tuyến chung của và đường tròn 
 Cho 
Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến vuông góc với 
Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp (E) và 
Một đường kính bất kì của (E) cắt (E) tại M và N. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và N song song với nhau.
Chứng minh rằng tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến một tiếp tuyến bất kì của (E) luôn bằng bình phương của bán trục bé
Xét một đường thẳng tiếp xúc với (E) cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B. Hãy xác định phương trình của sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ ELIP.
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của một Elíp đến một tiếp tuyến tuỳ ý của nó thì luôn bằng bình phương của bán trục bé.
Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp: và 
 a) Hãy lập phương trình chính tắc của Elíp (E), biết nó có hai tiêu điểm là và bán trục lớn .
b) Xét đường thẳng tiếp xúc với (E) và cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B. Hãy xác định đường thẳng sao cho tam giác OAB có diện tích lớn nhất.
 Cho Elíp 
Hãy xác định các tiêu điểm của Elíp.
Giả sử M là một điểm di động trên (E). Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm phải và đến đường thẳng là luôn luôn không đổi.
Cho đường tròn . Xét một đường tròn thay đổi nhưng luôn đi qua và tiếp xúc ngoài với đường tròn . Hãy tìm quỹ tích tâm N của đường tròn .
 Cho Elíp . Xét các điểm ; ; ( thay đổi ). 
Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi 
Giả sử M, N thay đổi nhưng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ tích giao điểm I của hai đường thẳng và .
Với giả thiết như câu b) , hãy xác định toạ độ M,N sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Giả sử MN tiếp xúc với (E). Chứng minh rằng đoạn thẳng MN được nhìn từ hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông. 
Phần II: MỘT SỐ LÝ THUYẾT PHẦN KHƠNG GIAN
I/ LÝ THUYẾT
** PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
VTPT , Cặp VTCP , Quan hệ VTPT và VTCP: 
Tính chất: - Một mp(P) có vô số VTPT và vô số cặp VTCP
mp(P) và mp(Q) phân biệt có cùng VTPT hoặc cặp VTCP 
thì là một VTCP của (Q) và 
 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết:
- đi qua một điểm và có một VTPT 
- đi qua một điểm và có cặp VTCP 
- đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Phương trình: Phương trình tổng quát: Mp (P) đi qua và nhận làm VTPT có phương trình là:
Phương trình đoạn chắn:Mp(P) đi qua 3 điểm có phương trình là: 
Các phương trình của các mặt phẳng đặc biệt: 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Véc tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng: - Phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc.
Chú ý: Từ phương trình tổng quát, ptts, ptct ta tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
** VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG – CHÙM MẶT PHẲNG
Vị trí tương đối.
Cho . Xét 
 Khi thì phương trình của 
Chùm mặt phẳng : Mọi mặt phẳng đi qua giao tuyến đều có phương trình dạng:
** PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R
Cho phương trình mặt cầu khi đĩ mặt cầu cĩ tâm I(-a;-b;-c) và cĩ bán kính 
Giao của mặt cầu và mặt phẳng là một đường trịn cĩ phương trình 
Phương trình mặt phẳng tiếp diện () của mặt cầu tại M0(x0 ; y0 ; z0) 
	+ là VTPT của mặt phẳng ()
	+ M0(x0 ; y0 ; z0) thuộc mặt phẳng ()
 Khi đĩ phương trình mặt phẳng () cĩ dạng: 
II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG
** PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng : 
ĐHCĐ 99: Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB, biết 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua và có cặp VTCP là 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua và // với mp(Q): 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua và // mặt phẳng (xOz); 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua và song song với trục 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và // với trục 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng .
ĐHLuật 99: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua và vuông góc với hai mặt phẳng : ; 
ĐHĐLạt – 97: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ và vuông góc với hai mặt phẳng : và 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục toạ độ.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các mặt phẳng toạ độ.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có 
Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A,B và //CD
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa Ox
Viết phương trình mặt phẳng đi qua B và // mặt phẳng (ACD)
Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).
** PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua M(1;0;1) và nhận VTCP 
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua A(1;-2;3) và // với 
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua B( -1;2; 4) và // với 
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua C( -2; 0; 3) và // với 
ĐHTSản _KB- 98:Viết ptctắc của đường thẳng đi qua M(1;1;2) và // 
Viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng đi qua A(2;0;-3) và vuông góc .
Cho đường thẳng , hãy viết phương trình tham số của (d).
Đề 55_Va: Viết phương trình chính tắc của (d), biết 
 Cho đường thẳng , hãy viết phương trình tổng quát của (d).
 LUYỆN TẬP:
ĐHHuế 99: Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Hãy viết ptts, ptct, pttq của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với (P).
ĐHTCKToán 99: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(1;1;-2) và song song mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d), biết: 
** VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG – CHÙM MẶT PHẲNG
Bài 1: Viết phương trình của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
Mặt phẳng (P) đi qua M(1;0;1) và đi qua giao tuyến của và . Với , 
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với mặt phẳng(Q). Với 
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của và vuông góc với mặt phẳng (Q). ; ; 
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và // Oz, với 
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng , với 
** PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1)Tìm tâm và bán kính của của các mặt cầu:
 	 a) x2 + y2 + z2 +2x -6y +4z - 2 = 0
	b) 
 2)Tìm tâm và bán kính của của các mặt cầu:
	a) Tìm giao của mặt cầu với mp: 3x – y +2z – 1 = 0
** MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài toán 1. Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. ( Tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng)
Phương pháp giải toán:
Bài tập.
ĐHĐà Nẵng 2001.Cho và điểm 
Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và // mp(P)
Tìm toạ độ hình chiếu M’ của điểm M trên mp(P)
Tìm toạ độ điểm N đối xứng với M qua mp(P)
 Cho điểm A(2;3;-1) và . Xác định hình chiếu vuông góc H của A trên (P). Từ đó tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
 ĐHKTCN 97. Cho A(1;2;3) và .
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).
Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
 ĐHGTVT 99. Cho A(1;1;2), B(-2;1;-1); C(2;-2;-1). Xác định toạ độ hình chiếu của O trên mp(ABC).
ĐHTCKT 2000. Cho điểm A(2;3;5) và . Xác định điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
Cho và đường thẳng 
Xác định giao điểm A của (d) và .
Lập phương trình đường thẳng đối xứng với (d) qua 
 Cho điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Tìm hình chiếu D’ của D trên mp(ABC). Tính thề tích khối tứ diện ABCD.
Bài toán 2. Tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng.
Phương pháp giải toán.
Bài tập.
Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng (d):. Xác định điểm H là hình chiếu của M trên (d). Từ đó xác định điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Cho điểm A(1;2;-1) và đường thẳng , tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d).
ĐHBK 97. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng , gọi N là điểm đối xứng với M qua (d), hãy tính MN?
ĐHTMại 99. Cho và điểm A(3;-1;2). Tìm điểm đối xứng của A qua (d).
Bài toán 3. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng trên .
Phương pháp giải toán.
Bài tập.
ĐHQGHCM 98-99: Cho đường thẳng và . Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên 
CĐHQuan 98: Cho đường thẳng và 
Tìm giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P)
Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mp(P)
 ĐHYDược TPHCM.2000: Cho đường thẳng 
Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) trên mp(Oxy)
CMR đường thẳng (d’) luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trên mp(Oxy)
 ĐHQGHCM 98: Trong không gian cho và hai đường thẳng , 	
Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên mp(P). Tìm toạ giao điểm I của và 
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa và vuông góc với mp(P)
ĐHTMại 95. Cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên mp(P).
ĐHBK 99. Cho đường thẳng và .
Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên mp(P).
Bài toán 4. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau – Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.
PP giải: 
PP1. 
PP2.
PP tính khoảng cách: 
Nếu phương trình hai đường thẳng cho ở dạng tham số: 
Bài tập:
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau.
a) và 
b) và 
c) và 
d) và 
ĐHHH -96: Cho hai đường thẳng và 
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
ĐHQG 94. Cho hai đường thẳng và 
 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng.
 c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
 ĐHKT,DHQGHCM 97. Cho hai đường thẳng. 
 và 
 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng.
 c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả hai đường thẳng khác.
Dạng: Cho hai đường thẳng (d), (d’). Viết phương trình đường thẳng cắt cả (d) , (d’) đồng thời thoả mãn điều kiện X.
Ppgiải: 
PP1.
Pp2. 
PP3.
Bài tập. 
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;1;1) và cắt cả hai đường thẳng (d), (d’) với: 
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3;-1;3) và cắt cả hai đường thẳng , 
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng : , , 
ĐHXD 98: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): và cắt cả hai đường thẳng ,