Bài giảng môn toán lớp 12 - Ứng dụng đạo hàm để giải toán

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
1. Khi nào thì sử dụng hàm số : 
Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm số) hoặc chúng không thể chuyển về được dạng cơ bản .
- Nhẩm nghiệm 
- Chứng minh chỉ có các nghiệm đó bằng phương pháp đạo hàm 
w VD : Giải phương trình : (1)
v Giải : Rõ ràng x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình vì PT(1) thỏa.
 ta chứng minh chỉ có hai nghiệm đó .
Xét hàm số 
 .
 Hàm số có duy nhất một cực trị 
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình y=0 có nhiều nhất 2 nghiệm.
Vậy x=0 và x=1 là các nghiệm của PT .
2. Xét phương trình dạng : f(x) = m (m là tham số)
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của PT là số giao điểm của hàm số y=f(x) với đường thẳng y=m .
- Nếu f(x) đồng biến trên thì miền giá trị 
Phương trình : f(x) = m có nghiệm 
- Nếu f(x) nghịch biến trên thì miền giá trị 
Phương trình : f(x) = m có nghiệm 
w VD1: Tìm m để phương trình : có nghiệm.
v Giải: 
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=m cùng phương với trục hoành.
 Xét hàm số trên R
Với thì 
Bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm khi 	
w VD2: Định m để phương trình sau có đúng hai nghiệm :
v Giải : Đặt 
Thu được phương trình : 
Khi đó : 
Xét hàm số : 
 và 
Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy : 
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng 
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
w VD3 : Định giá trị của m để phương trình sau có ngiệm :
 (1)
v Giải : Điều kiện : .
 Nhận thấy rằng : 
Nên tồn tại góc sao cho :
 và 
với 
Xét hàm số : 
 . 
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn và 
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi : 
3. Xét bất phương trình dạng : ( m là tham số )
TH1 : Nếu f(x) đồng biến trên thì miền giá trị 
- Bất phương trình : có nghiệm và
- Bất phương trình : có nghiệm 
TH2 : Nếu f(x) nghịch biến trên thì miền giá trị 
- Bất phương trình : có nghiệm và 
- Bất phương trình : có nghiệm 
w VD : Cho bất phương trình : (m là tham số)
Tìm m để BPT thỏa 
v Giải : 
Đặt 
Tìm điều kiện của t : 
Thu được bất phương trình : với 
Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để ,
Xét hàm số trên đoạn 
 . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn .
 Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi trên đoạn Max
4. Khi gặp hệ phương trình có dạng : 
Cách giải :
- Xét hàm số y=f(t) và nếu chứng minh được hàm số đơn điệu thì kết luận x=y. Khi đó đưa bài toán về giải hoặc biện luận PT : g(x,y) =0 theo một ẩn.
- Nếu hàm số y = f(t) có một cực trị tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi đi qua a .Từ phương trình đầu suy ra x = y hoặc x,y nằm về hai phía của a. 
w VD1: Giải hệ phương trình : 
v Giải : Từ PT : (1)
Xét hàm số đại diện : .
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định . 
PT (1) có dạng f(x) = f(y) , suy ra x = y .
Thế vào PT ( 2 ) ta được PT : 
Hệ có nghiệm là: (-1;-1); 
w VD2 : Giải hệ phương trình : 
v Giải : x > -1 ; y > -1 .
Xét hàm số đại diện : . 
Ta có : . Hàm số đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghịch biến trong khoảng .
thay vào PT ta có nghiệm x = y =0 .
BÀI TẬP 
Bài 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm
 (ĐỀ THI ĐHKB-2004)
Bài 2 : CMR với mọi giá trị của m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: (ĐỀ THI ĐHKB-2007)
Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
 (ĐỀ THI ĐHKA -2007) 
Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 
 (ĐH KTQS KA-2001)
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
 (ĐH KA-2002 -TOÀN QUỐC)
Bài 6 : Tìm m để đều thoả bất phương trình sau 
 (ĐH SPHN KA- 2001)
Bài 7: Giải phương trình : (UD ĐH)
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – 
NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
w VD1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số 
v Giải: Cách 1:
·Áp dụng BĐT Cauchy: 
Dấu đẳngthức xảy ra khi: 
·Mặt khác ta cũng có:
Dấu đẳngthức xảy ra khi: sin x=0 hoặc cosx=0.Suy ra: 
Cách 2: 
Đặt xét hàm số 
Lập bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất bằng 5 và nhỏ nhất bằng 4.
w VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số 
v Giải : Vì nên 
Đặt : xét hàm số với 
Ta có Vậy ta kết luận :
w VD3 : Cho tam giác ABC thỏa : A > B > C .
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
v Giải: TXĐ 
 .
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
* Các bất đẳng thức thường sử dụng 
1. Bất đẳng thức Cauchy 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
2. BĐT miền giá trị của hàm số sin và cosin : 
3. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
 4. Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Với mọi số thực a,b,ta có:
|a+b||a|+|b| (1)
|a-b||a|+|b| (2)
|a+b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab0.
|a-b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab0.
* Chứng minh bất đẳng thức 
- Dùng các bất đẳng thức nêu trên
- Dùng đạo hàm 
w VD2: Cho ba số dương bất kỳ a,b,c sao cho :
 CMR : 
w Giải : Giả thiết 
Xét hàm số trên đoạn .
Đạo hàm 
Ta có : 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
wVD2: Cho . CMR : (ĐH KD 2007) 
 v Giải: 
Xét hàm số: 
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và ĐPCM.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm k lớn nhất để BPT sau thỏa với mọi x thực :
 (UDĐH)
Bài 2: Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 (ĐỀ THI ĐH KB 2007)
Bài 3: Cho ba số không âm bất kỳ x; y; z sao cho x+y + z = 1 
 CMR : ( UD ĐH )
Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức : 
Bài 5: Tìm số dương nhỏ nhất sao cho có một số dương mà thỏa mãn bất đẳng thức sau đây : . Với tìm được, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của thỏa điều kiện trên.