Bài giảng môn toán lớp 12 - Ứng dung tích phân

ỨNG DUNG TÍCH PHÂN
A//Diện tích hình phẳng
Công thức : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 là S = 
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 a) (C): y = 3x4 – 4x2 + 5 ; Ox ; x = 1; x = 2 
 b) (C): y = x2 – x và (d): y = 4 – 4x ; Oy ; đường thẳng x = 3
 c) y = sinx ; y = cosx ; x = 0; x = p d) y = x2 – x ; Ox
	 d) y = (2 + cosx)sinx ; y = 0 ; x = p/2 ; x = 3p/2
 e)y = – x2 ; x + y + 2 = 0 f)x = y5 ; y = 0 ;x = 32 
 g) (C): y = x2 + x – 5 và (C’): y = – x2 + 3x + 7
 h)(C): y = x2 – 4x + 2 ; tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;– 1) và Oy
 i)(C): y = x3 + 3x2 – 6x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có 
 hoành độ xo= 1
 k)(C): y = – x3 + 2x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có
 hoành độ xo = 2
 l)(C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có
 hoành độ xo= – 1/2
	 m) y = , x = – 1 ,x = 1 và Ox
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 a)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2;x = 4
 b)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 0;x = – 1
 c)(C): y = – x2 + 2x + 3 và 2 tiếp tuyến tại 2 điểm A(0;3); B(3;0)
 d)(C): y = x2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3/2;– 1)
 e) y = ex ; y =1 ; x = 2 f) y = (x – 1)(x + 2)(x – 3) ;y = 0 
 g) x = ; y = – 2x + 3 ;Ox h) y = – và x2 + 3y = 0
3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 a) y = x2 và y = b) ax = y2 và ay = x2 ( a > 0 )
 c) y = xex , y = 0 , x = – 1, x = 2 d) y = |lnx| và y = 1
 e) y = (x – 6)2 và y = 6x – x2 f) x2 + y2 = 8 và y2 = 2x 
 g) x2 + y2 = 16 và y2 = 6x 
 4. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c có đỉnh là I(1;2)
 a)Tính b,c theo a
 b)Biết hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng y = x + 1 
 có diện tích bằng 1/6 .Tìm phương trình (P)
5.Cho (P): y = x2.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và có hệ số góc 
 là k.Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất
6.Lập phương trình parabol (P) biết rằng (P) có đỉnh là S(1;2) và hình phẳng giới hạn bởi (P), Ox, x = – 1, x = 2 có diện tích bằng 15
7.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): y = (x – 3a)2 với a > 0 , y = 0, x = 0.Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;9a2) chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau
8.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường : y = , y = 0, x = – 1.Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm O chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau
9.Cho M là điểm tuỳ ý trên (P): y = 2x2 ,(d) là đường thẳng song song với tiếp tuyến của (P) tại M và (d) cắt (P) tại A và B. Hãy so sánh diện tích ∆MAB và diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)
B//Thể tích hình tròn xoay
 Công thức : Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới 
 hạn bởi : là V = 
1.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:
 a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/4
 c)y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = p/2
 d)y = ; y = 0 ; x = p/4; x = p/2 
 e)y = xex ; y = 0 ;x = 0 ; x = 1 f)y= .lnx ; y = 0 ; x =1 ; x = e
 g)y = ; y = 0 ; x = 1;x = 4 h)y = 2x ,y = – x + 3 , Ox
 i)y = x2 , y = 2 – x, Ox j)y = x2 ,y = 2 – x, Oy
 k)y = ,y = – 2x + 7 l)y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2
2.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:
 a)y = 3x – x2 ; y = 0 b)y = x2 ; y = 3x c)y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1
 d)y = ; y = – x + 5 e)y = 2x ; y = – x +3 ; y = 0
 g)y = x2 ; y = 2 – x ; y = 0 (phần nằm ngoài y = x2)
 h)y = x2 ;y = 10 – 3x ; y = 1 (phần nằm ngoài y = x2)
3. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) có hệ số góc k < 0 ,(d) lần lượt cắt Ox và Oy tại A và B. 
a)Tính thể tích vật thể tròn xoay do tam giác OAB tạo thành khi quay quanh Ox 
b)Tìm k để thể tích ấy nhỏ nhất